第十八章 隐函数存在定理

第十八章 隐函数存在定理

§1 隐函数

1． 设函数(,)F x y 满足

(1) 在区域00:D x a x x a -≤≤+，00y b y y b -≤≤+上连续；

(2) 00(,)0F x y =；

(3) 当x 固定时，函数(,)F x y 是y 的严格单调函数；

则可得到什么结论？试证明之.

2．方程2

sin()0x y xy ++=在原点附近能否用形如()y f x =的方程表示？又能否用 形如()x g y =的方程表示？

3．方程222(,)(1)0F x y y x x =--=在哪些点的附近可唯一地确定单值、连续、且有连续导数的函数()y f x =.

4．证明有唯一可导的函数()y y x =满足方程sin sinh y x +=，并求出导数'()y x ，其中sinh 2

y y

e e y --=. 5．方程ln 1xz xy z y e

++=在点0(0,1,1)P 的某邻域内能否确定出某一个变量是另外两

个变量的函数.

6．设f 是一元函数，试问f 应满足什么条件，方程 2()()()

f x y f x f y =+ 在点(1,1)的邻域内能确定出唯一的y 为x 的函数.

7．设有方程：()x y y ?=+，其中(0)0?=，且当a y a -<<时，'()1y k ?≤<.证明：存在0δ>，当x δδ-<<时，存在唯一的可微函数()y y x =满足方程()x y y ?=+且(0)0y =.

§2 隐函数组

1．试讨论方程组

2221 ,22

x y z x y z ?+=???++=? 在点0(1,1,2)P -的附近能否确定形如()x f z =，()y g z =的隐函数组.

2．求下列函数组的反函数组的偏导数：

(1) 设cos

,sin y y u x v x x x ==，求,,,x x y y u v u v

????????； (2) 设sin ,cos x x u e x y v e x y =+=-，求,,,x x y y u v u v

????????. 3．设2x u r =，2y v r =，2z w r

=

，其中r =. (1) 试求以,,u v w 为自变量的反函数组； (2) 计算(,,)(,,)

u v w x y z ??. 4．设,i i f ?连续可微，且1(,

i F x 1122)((),(),n i x f x x ??=())n n x ? (1,2,i =…n ).求 1212(,,

)(,,)

n n F F F x x x ??. 5．据理说明：在点(0,1)附近是否存在连续可微函数(,)f x y 和g(,)x y 满足(0,1)1,(0,1)f g ==-，且

[][]3

3(,)(,)0,(,)(,)0.

f x y x

g x y y g x y yf x y x +-=+-= 6．设 (,,,),(,,)0,(,)0.u f x y z t g y z t

h z t =??=??=?

在什么条件下u 是,x y 的函数？求,u u x y

????. 7．设函数()u u x =由方程组

(,,),(,,)0,(,,)0u f x y z g x y z h x y z =??=??=?

所确定，求22,du d u dx dx

. 8．设(,)z z x y =满足方程组

(,,,)0,(,,,)0.

f x y z t

g x y z t =??=? 求dz .

9．设

(,,),(,,)0.u f x ut y ut z ut g x y z =---??=?

求,u u x y

????.这时t 是自变量还是因变量？ 10．设0000(,,,)x y z u 满足方程组

()()()(),(,)()()(),(,)()()().f x f y f z F u g x g y g z G u h x h y h z H u ++=??++=??++=?

这里所有的函数假定有连续的导数.

(1) 说出一个能在该点的邻域内确定,,x y z 作为u 的函数的充分条件；

(2) 在23(),(),()f x x g x x h x x ===的情形下，上述条件相当于什么？

11．设,,11u u x u y z uv uw

==

=++，取,u v 为新的自变量，w 为新的因变量，变换方程 2

22z z x y z x y ??+=??.

§3 几何应用

1．求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程“

(1) 22sin ,sin cos ,cos x a t y b t t z c t ===,在点4t π=

；

(2) 222222239,3x y z z x y ++==+,在点(1,-1,2)；

(3) 2226,0x y z x y z ++=++=,在点(1,-2,1)；

(4) 2cos ,3sin ,1cos3x t t y t z t =-=+=+,在点2t π

=.

2．求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程：

(1) 20x z y e --=，在点（1,1,2）； (2) 222

2221x y z a b c ++=在点； (3) 2224z x y =+在点(2,1,12)；

(4) cos ,sin ,x u v y u v z av ===在点000(,)P u v .

3．证明曲线cos ,sin ,t t t x ae t y ae t z ae ===在锥面222x y z +=的母线相交成同一角度.

4．求平面曲线2/32/32/3(0)x y a a +=>上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.

5．求曲面2222321x y z ++=的切平面，使它平行于平面460x y z ++=.

6．证明：曲面(,)0F x az y bz --=的切平面与某一定直线平行，其中,a b 为常数.

7．证明曲面x y z xe =的每一切平面都通过原点.

8．求两曲面

(,,)0,(,,)0F x y z G x y z ==

的交线在Oxy 平面上的投影曲线的切线方程.

§4 条件极值

1． 求下列函数在所给条件下的极值：

(1) f x y =+，若221x y +=；

(2) 22f x y =+，若10x y +-=；

(3) 22f x y z =-+，若2221x y z ++=； (4) 11f x y

=+，若2x y +=；

(5) f xyz =，若222

1x y z ++=，0x y z ++=；

(6) 222f ax by hxy =++，若221x y +=；

(7) 222f x y z =++，若2222222222()x y z a x b y c z ++=++，0lx my nz ++=.

2．求m n p f x y z =在条件x y z a ++=，0a >，0m >，0n >，0p >，0,x > 0,0y z >>之下的最大值.

3．求函数1()2

n n z x y =+在条件(0,1)x y l l n +=>≥之下的极值，并证明：当0,a ≥ 0,1b n ≥≥时

22n

n n a b a b ++??≤ ???. 4．求表面积一定而体积最大的长方体.

5．求体积一定而表面积最小的长方体.

6．求圆的外切三角形中面积最小者.

7．长为a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆。这两段的长各为多少时，它们所围正方形面积和圆面积之和最小.

8．求原点到二平面11110a x b y c z d +++=，22220a x b y c z d +++=的交线的最短距离。

9．求抛物线2

y x =和直线1x y -=间的最短距离.

10．求0,0,0x y z >>>时函数(,,)ln 2ln 3ln f x y z x y z =++在球面 222x y z ++26r =上的极大值.明,,a b c 为正实数时，

6

231086a b c ab c ++??≤ ???. 11．设函数(,,,)f x y u v ，(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 二阶可微，雅克比矩阵

x y u v x y u v F F F F G G G G ?? ? ???

秩为2.

12(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)L x y u v f x y u v F x y u v G x y u v λλ=++，

若00000(,,,)P x y u v 是函数L 的稳定点，证明：当20()()0d L P ><时，0P 是函数f 在约束条

件

G x y u v=

F x y u v=，(,,,)0

(,,,)0

下的条件极小（大）值点.

隐函数存在性的探讨

隐函数存在性的探讨 摘要隐函数存在唯一性定理是一个充分不必要条件。本文把定理中第四个条件要求的改为时,对隐函数存在性作探讨。本文引入了拐点,解决了本文提出的问题。 关键词隐函数存在性 一、引言 应用课本学习过的知识,判断一个较为复杂方程是否存在隐函数时,主要判断其是否满足隐函数存在唯一性定理的条件。通过实际例子知道,这个定理只是一个充分不必要条件。那么在什么情况下方程存在隐函数呢?本文专门研究了这个问题,并取得了一些小小的进展。 二、拐点法证明隐函数的存在性 (一)分析在定理中的作用。 回顾定理的证明过程,第(4)个条件中的,主要是为了说明对于每个固定的,作为的一元函数,必定在上严格单调。而当的时,出现的情况是,在内,作为的一元函数下,可能不具有单调性。而单调性又是在证明隐函数存在唯一性定理中不可缺少的一个条件,所以当,如果再加一个或几个条件,使对于每个固定的,即令,作为的一元函数,也在上严格单调。那么就可满足要求。此时根据隐函数存在唯一性定理,便能证明在该点邻域内能确定隐函数,问题也就解决了。 (二)单调性分析及证明。 在曲面中,如果我们把区域中的每个的值固定,即令,曲面与平面的交线就是以为自变量的一个函数,如果这个函数在点的邻域内具有单调性,那么问题即可解决.其实可以证明如果点为拐点,则在其邻域内具有单调性。 证明:因为点为拐点,拐点即为凸函数和凹函数的分界点。不妨假设在内是凸函数(若在内是凹函数,则可讨论),在上是凹函数。根据数学分析上册定理6.13的等价论断10及论断20,即如果为上的凸函数,则为上的增函数;如果为上的凹函数,则为上的减函数。 假设为的导数,则在上为增函数,因为,所以;在上为减函数。又因为,所以。即在上都有。所以在上单调递增。故有,。问题得证。 问题转化为:如何验证点为函数的拐点?

导数与函数零点问题解题方法归纳

导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数.

函数零点存在性定理基础题

函数零点存在性定理基础题 1．函数()25x f x =-存在零点的区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（4，5） 【答案】B ． 【解析】 函数单调递增，并且()()()23130f f ?=-?<，所以在区间()3,2上存在一个零点． 2．若函数在区间内存在一个零点，则实数的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a <- C ．1a <-或1a > D ．11a -<< 【答案】C ． 【解析】 由零点存在性定理得：(1)(1)0,(1)(1)0,f f a a -<-+<因此1a <-或1a >．选C ． 3．函数f （x ）＝ln x － 2x 的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（1e ，1）和（3，4） D ．（e ，＋∞） 【答案】B ． 【解析】 ∵f （1）＝－2<0，f （2）＝ln2－1<0，又∵f （x ）在（0，＋∞）上是单调增函数， ∴在（1，2）内f （x ）无零点．又∵f （3）＝ln3－ 23 >0，∴f （2）·f （3）<0． ∴f （x ）在（2，3）内有一个零点．故选B ． 4．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有部分对应值表如下： 那么函数()f x 一定存在零点的区间是 （ ） A ．()1-∞, B ．()12, C ．()23, D ．()3+∞, ()1f x ax =+(1,1)-a

【答案】C ． 【解析】 根据函数的对应值表可得(1) 6.10,(2) 2.90,(3) 3.50f f f =>=>=-<，根据函数的零点存在性定理，一定存在零点的区间是()2,3．故选C ． 5．函数f （x ）=log 3x －8+2x 的零点一定位于区间（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（5，6） 【答案】C ． 【解析】 函数f （x ）=log 3x -8+2x 为增函数， ∵f （3）=log 33-8+2×3=-1＜0，f （4）=log 34-8+2×4=log 34＞1＞0， ∴函数在（3，4）内存在零点．故选C ． 6．方程log 3x +x =3的解所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，+∞） 【答案】C ． 【解析】 可构造函数f （x ）=log 3x +x -3，方程log 3x +x =3的解所在的区间是函数f （x ）=log 3x +x -3零点所在的区间，又函数f （x ）=log 3x +x -3在定义域上单调递增，结合零点存在性定理对四个选项中的区间进行验证即可． 由于f （0）不存在，f （1）=-2，f （2）=log 32-1＜0，f （3）=1＞0， 故零点存在于区间（2，3），方程log 3x +x =3的解所在的区间是（2，3） 故选C ．

函数零点存在性定理

?函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点． (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点. ?函数零点个数的判断方法: (1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． (2)代数法：求方程f(x）=0的实数根． 例题1： 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有______（写出所有正确结论的序号）．

根的存在性证明(零点定理)

根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续 0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。 证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。先将[a,b]二等分为],2[],2, [b b a b a a ++，如果0)2 (=+b a f 。则定理获证。如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2 (b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为 ],[22b a ，它满足[a,b]?[11,b a ]],[22b a ?，0)()(2222 22<-=-a f b f a b a b 且。采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:① [a,b]?[11,b a ]?????],[22b a ；②n n n a b a b 2-=-；③0)()(δ，使得f(x)在],[),(b a ?+-δξδξ上与)(ξf 同号。根据所构造的区间的性质②，存在正整数N ，当n>N 时， ],[),(],[b a b a n n ?+-?δξδξ。根据区间的性质③，0)()(

函数零点存在性定理.

? ? 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点． (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点. ?函数零点个数的判断方法: (1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． (2)代数法：求方程f(x）=0的实数根． 例题1： 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有______（写出所有正确结论的序号）．

函数的零点问题

函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有

函数、极限、连续重要概念公式定理

一、函数、极限、连续重要概念公式定理 （一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠= ,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A + -→→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==.

3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ? φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在 常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ????? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2 (1)1~x x x x ααα-+- 是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ? φ≤≤（,且 0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=．

函数零点存在性定理图文稿

函数零点存在性定理文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]

函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)．f(b)0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点． (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点. 函数零点个数的判断方法: (1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点． (2)代数法：求方程f(x）=0的实数根． 例题1：

若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有 ______（写出所有正确结论的序号）． 答案 由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点． （3）正确， （1）不能确定， （2）中零点可能为1， （4）中单调性也不能确定． 故答案为：（3） 例题2： 已知函数有零点，则实数的取值范围是（） 答案： 例题3： 例题4： 函数f（x）=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 1/5; B. a ≤ -1 ; C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ; D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1答案：由题意可得f（-1）×f（1）≤0，解得 ∴（5a-1）（a+1）≥0 ∴a≥ 1/5 或a≤-1 故选D ．

零点存在定理的教案

教案 课题：零点存在定理 授课人： 一、内容及内容解析： 本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根. 各个内容之间的联系： 方程的根?零点?零点存在定理 ? 二分法 二、三维目标： 知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解. 过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到0)()(

隐函数定理及其应用.

S F 01（数） Ch 18 隐函数定理及其应用计划课时： 6 时 P 231 — 236 2002. 09.20 .

231 Ch 18 隐函数定理及其应用 ( 6 时 ) § 1 隐函数 ( 2 时 ) 一． 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. 1. 隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍. 2. 隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质. 二. 隐函数存在条件的直观意义: 三. 隐函数定理: Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: ⅰ> 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2 R ?上连续 ; ⅱ> ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ; ⅳ> ),(00y x F y 0=/. 则在点0P 的某邻域 (0P )?D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间 ) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得 ⑴ )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x (0P )且()0)( , ≡x f x F . ⑵ 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 . ( 证 ) 四. 隐函数可微性定理: Th 2 设函数),(y x F 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D 内),(y x F x 存在且连续 . 则隐函数)(x f y =在区间) , (00αα+-x x 内可导 , 且

连续函数及连续函数的性质

连续函数及连续函数的性质 张柏忱 数学与统计学院 09级汉本 （三） 班 09041100434 摘要：数学分析的发展史告示我们，无论在理论上或在应用中都应从连续函数开始。这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数多是连续函数；另一方面，我们常常直接或间接地借助于连续函数讨论一些不连续的函数。于是连续函数就成为数学分析研究的主要对象。 关键词：连续 该变量 间断点 有界性 最值性 介值性、 一． 连续函数概念 已知函数f(x)在a 存在极限b ，即a b x f a x ,)(lim =→可能属于函数f(x)的定义域；f(a)也 一定等于b 。但是，当f(a)=b 时,有着特殊意义。 定义 设函数f(x)在U(a)有定义。若函数f(x)在a 存在极限，且极限就是f(a)，即 )()(lim a f x f a x =→ （1） 则称函数f(x)在a 连续，a 是函数f(x)的连续点。 函数f(x)在a 连续，不仅a 属于函数f(x)的定义域，且有（1）式极限。因此函数f(x)在a 连续比函数f(x)在a 存在极限有更高的要求。 用极限的“δε- 定义”，函数f(x)在a 连续（即（1）式极限）.|f(a)-f(x)|,|:|,0,0εδδε<<-?>?>??有a x x 将（1）式极限改写为、 0)]()([lim =-→a f x f a x （2） 设x a x x x a x ?-=??+=.或称为自变数a x 在的改变量。设 ),()()()(a f x a f a f x f y -?+=-=? y ?称为函数y 在a 的改变量.如图3.1..0→??→x a x 于是，由（2）式 函数.0lim )(0 =??→?y a x f x 连续在 有时只需要讨论函数a x f 在)(左侧或右侧的连续性，有下面左右连续概念： 定义 设函数a x f 在以)(为左（右）端点的区间有定义。若 ))0()()(lim )(0()()(lim -==+==- + →→a f a f x f a f a f x f a x a x

高中数学必修一 零点存在性定理及典例

零点存在性定理 如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解 （1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点 （2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号 （3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点. ②有1个零点，分别求a 的取值范围. 解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下 则(0)0(3)00032 f f a b a >??>????≥??<-??>?

零点存在定理的应用

葛沽一中整体建构教学模式导学案 高一 年级 数学 学科 主备人： 备课或教研组长审核签字 使用人签字 使用时间 第 11 周 第 5 课 课题： 零点存在定理的应用 教学过程 一、例题精析 应用迁移 拓展提升 1．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是（ ） (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2） 2．(2014·天津模拟)方程log 4x-=0的根所在区间为( ) A. B. C.(3,4) D.(4,5) 3．（2014·北京模拟）已知方程lgx=2-x 的解为x 0,则下列说法正确的是( ) ∈(0,1) ∈(1,2) ∈(2,3) ∈[0,1] 小结： 5.(2014·济南模拟)函数f(x)＝ 的零点个数为( ) 6.函数的零点个数是_________________ 小结： 提示：建议：注意：要求： 二．拓展练习 7.已知函数f(x)= 在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 8.函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4) 9.设函数1 ()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A 在区间1 (,1),(1,)e e 内均有零点。 B 在区间1 (,1),(1,)e e 内均无零点。 C 在区间1 (,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。 D 在区间1 (,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。 10. 函数3()=2+2x f x x －在区间(0,1)内的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 11. 函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( ) B.1 12.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 13.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+lnx 的零点分别为x 1,x 2,则x 1,x 2的大小关系是( ) x 2 =x 2 D.不能确定 ()ln 26f x x x =+-4.求函数的零点个数。 1x 2 1 x ()2 -26 log x x -， 2 x

隐函数的存在性

第十一章 隐函数 §5.3已给出隐函数的概念和隐函数的求导法则.本章将在一个二元方程所确定的隐函数的基础上，进一步推广到方程组所确定的隐函数，并证明隐函数的存在性、连续性、可微性.讨论方程组所确定的隐函数要用到多元函数微分学中的一个重要工具——函数行列式.我们将给出函数行列式的性质及其简单的应用. §11.1 隐函数的存在性 一、隐函数的概念 在§5.3中，已经给出有二元方程0),(=y x F 所确定的隐函数. 例1 二元方程0753),(2 =--+=y x xy y x F .)5(≠∈?x R x ，通过方程对应唯一一 个y ，即x x y --=57 32.显然，有 0)573,(2≡--x x x F 由隐函数定义，x x y --=5732是方程0753),(2 =--+=y x xy y x F 所确定的隐函数. 它的几何意义是，平面曲线x x y --=5732是空间曲面7532 --+=y x xy z 与0 =z （xy 平面）的单值交线. 例2 二元方程0),(2 2 2 =-+=a y x y x F )0(>a ,),(a a x -∈?,通过方程对应两个y .如果限定y 的变化范围+∞<

专题05 零点存在定理中取点问题

max min max 专题五 零点存在定理中取点问题 如果函数 y = f ( x ) 在区间[a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a ) f (b ) < 0 ，那么，函数 y = f ( x ) 在区间(a , b ) 内有零点，即存在c ∈(a , b ) ，使得 f (c ) = 0 ，这个c 也就是方程 f ( x ) = 0 的根. 在实际应用中，如何取 a , b ，是解决问题的难点. 类型一 利用方程的根或部分代数式的根取点 x 典例 1 已知函数 f ( x ) = e - ax +1. （1） 当 a = 1 时，求 y = f ( x ) 在 x ∈[-1,1] 上的值域； （2） 试求 f ( x ) 的零点个数，并证明你的结论. 【答案】（1） [2 - e ,1]（2）当a ≤ 0 时， f ( x ) 只有一个零点；当 a > 0 时， f ( x ) 有两个零点． 【解析】 （1）当 a = 1 时， f ( x ) = x e x - ax +1，则 f '( x ) = 1- x -1 = g ( x ) ， e x 而 g '( x ) = x - 2 < 0 在[-1,1]上恒成立，所以 g ( x ) = e x f '( x ) 在[-1,1]上递减， f '( x ) = f '(-1) = 2e -1 > 0 ， f '( x ) = f '(1) = -1 < 0 ， 所以 f '( x ) 在[-1,1]上存在唯一的 x 0 = 0 ，使得 f '(0) = 0 ，而且 当 x ∈(-1, 0) 时， f '( x ) > 0 ， f ( x ) 递增；当 x ∈(0,1) 时 f '( x ) < 0 ， f ( x ) 递减； 所以，当 x = 0 时， f ( x ) 取极大值，也是最大值，即 f ( x ) = f (0) = 1， x

连续函数性质

连续函数的主要性质 若函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点0(,)x a b ∈都连续，即在每一点0(,)x a b ∈都有 0lim ()()x x f x f x →= 则称函数()f x 在开区间(,)a b 内是连续函数(图1-17)。而称函数()f x 在闭区间[,]a b 上是连续函数，除了它在开区间(,)a b 内每一点都连续外，还满足条件[图1-18]: () lim ()()x a x a f x f a +→>=(右连续) 和 () lim ()()x b x b f x f b -→<=(左连续) 在定义域上连续的函数简称为连续函数。读者在前面看到，多项式、有理函数、指数函数、简单三角函数，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数。从几何上说，区间上的连续函数，它的图形(图象)是连续不断的曲线。 根据函数极限的运算规则，能够很容易地证明下面的结论。 定理1-5 若函数()f x 和()g x 在点0x 都是连续的，则它们的和、差、积、商[除去分母在点0x 等于0]在点0x 也都是连续的。特别，常数λ与函数()f x 的乘积()f x λ在点0x 当然也是连续的。 证 证明是简单的。譬如，因为 []000 00lim ()()()lim ()0()lim ()() x x x x x x f x f x f x g x g x g x g x →→→==≠ 所以商 () () f x g x 在点0x 是连续的。 根据上述定理，连续函数的和、差、积、商在定义域内仍是连续函数。 函数之间的运算，除了加、减、乘、除外，还有一种复合运算。例如，函数2 x a [注意， 22 ()x x a a =，不是22()x x a a =]是由简单指数函数u a 和幂函数2x 复合而成的复合函数。再 如，log a 是由简单对数函数 log a u 、幂函数12u v ==和简单三角函数sin v x =，依次复合成的复合函数。 一般地，若函数()f u 定义在区间,A B 上，而函数()u u x =定义在区间,a b 上，且函数()u x 的函数值在区间,A B 上，则函数[()]f u x 就是定义在区间,a b 上的函数。称它 图1-18 x 图1-17

函数零点存在性定理

函数零点存在性定理: 一般地，如果函数y=f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) . f(b)0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点. (3) 若f(x)在［a，b］上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a) . f(b)<0，则fx)在(a，b)上有唯一的零点. 函数零点个数的判断方法 (1) 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找岀零点. 特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0 在［0，2］上有两个等根，而函数f (x) =x 2-2x +1在［0，2］上只有一个零点 ②函数的零点是实数而不是数轴上的点. ⑵代数法：求方程f(x) =0的实数根. 例题1： 若函数f (x)唯一的一个零点同时在区间(0 ,16 )、( 0，8)、( 0，4 )、( 0，2)内，下列结论: (1)函数f (x)在区间(0, 1)内有零点； (2)函数f (x)在区间(0 , 1)或(1，2)内有零点； (3)函数f (x)在区间［2，16 )内无零点； (4)函数f (x)在区间(0 ,16 )上单调递增或递减. 其中正确的有________ (写岀所有正确结论的序号).

(完整版)第五节隐函数求导法则

第五节 隐函数求导法则 教学目的：会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 教学重点：隐函数的偏导数 教学难点：隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 教学时数：2 教学内容： 一、一个方程的情形 1、 隐函数存在定理1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数, 0000(,)0,(,)0y F x y F x y '=≠, 则方程(,)0F x y =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定 一个连续且具有连续导数的函数()y f x =, 它满足条件()00y f x =, 并有 y x F F dx dy -=. 证明: 将()y f x =代入(,)0,F x y =得恒等式()(,)0,F x f x ≡ 等式两边对x 求导得 0=???+??dx dy y F x F , 由于y F '连续, 且00(,)0y F x y '≠, 所以存在00(,)x y 的一个邻域, 在这个邻域同0y F '≠, 于是得 y x F F dx dy -=. 例1： 验证方程22 10x y +-=在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 0x =时1y =的隐函数(),y f x =并求这函数的一阶与二阶导数在0x =的值. 解： 设22 (,)1F x y x y =+-, 则2x F x '=、2y F y '=、 F (0,1)0=, F (0,1)20.y '=≠因此由定理1可知, 方程2 2 10x y +-=在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 0x =时1y =的隐函数()y f x =.

函数的存在性问题和零点问题

函数的存在性问题和零点问题 【知识梳理】 1．函数的零点： 使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点． (1)函数的零点?方程的根； (2)零点存在理论：在区间[a ，b ]上连续；f (a )·f (b )<0. 2．常见求解方法 (1)直接解方程，如一元二次方程； (2)用二分法求方程的近似解； (3)一元二次方程实根分布规律； (4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点． 画出y ＝f (x )图象可用到以下方法： ①用图象变换法则画复杂函数图象； ②用求导得出较复杂函数的单调性，然后再画图象，如y ＝ln x x ； ③可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程e x ln x ＝1，转化为y ＝ln x ，y ＝? ?? ??1e x ； ④如果是带有参数的方程，可以进行参数分离变为m ＝g (x )，再画y ＝g (x )与y ＝m (常数函数)的图象． 【热点探究】 ? 探究点一 用零点存在定理判断函数零点 零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方法．只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数，不能够准确求解零点的值． 【例1】 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20112011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 20112011 ，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ](a