《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续
一、填空题
1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)
1()34(lim
22
x x x x 。 3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x
x k
x 成立的k 为 。
5、=-∞
→x e x
x arctan lim 。
6、???≤+>+=0,0
,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→x
x x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→x
x a
x a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(3
12-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。 12、函数x
x
x f +=13arcsin )(的定义域就是__________。 13
、lim ____________x →+∞
=。
14、设8)2(
lim =-+∞→x
x a
x a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=____________。
二、选择题
1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。
(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。 2、x
x
x +-=
11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。 (Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。
3、函数??
???=-≥≠-+-+=0)1(0,1
111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续,则=k 。
(Ａ)23; (Ｂ)3
2
; (C)1; (D)0。
4、数列极限=--∞
→]ln )1[ln(lim n n n n 。
(Ａ)1; (Ｂ)1-; (C)∞; (D)不存在但非∞。
5、???
?
???>=<+=0
1cos 00
0sin )(x x x x x x x x x f ,则0=x 就是)(x f 的 。
(Ａ)连续点;(Ｂ)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)振荡间断点。
6、以下各项中)(x f 与)(x g 相同的就是( )
(Ａ)2
lg )(x x f =,x x g lg 2)(=; (Ｂ)x x f =)(,2)(x x g =
;
(C)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g ;(D)1)(=x f ,x x x g 2
2tan sec )(-=。
7、 |
|sin lim
0x x
x →= ( )
(Ａ) 1; (Ｂ) -1; (C) 0; (D) 不存在。 8、 =-→x
x x 10
)1(lim ( )
(Ａ) 1; (Ｂ) -1; (Ｃ) e ; (Ｄ) 1
-e 。
9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界就是)(lim 0
x f x x →存在的( )
(Ａ)充分必要条件;(Ｂ) 充分条件;(C)必要条件;(D)既不充分也不必要条件、 10、 =-+∞
→)1(lim 2
x x x x ( )
(Ａ) 1; (Ｂ) 2; (C)
2
1
; (D) 0。 11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且∞===∞
→∞
→∞
→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ,则必有( )
(A)n n b a <对任意n 成立; (B)n n c b <对任意n 成立; (C)极限n n n c a ∞
→lim 不存在 ; (D)极限n n n c b ∞
→lim 不存在。
12、当1→x 时,函数
1
1
21
1---x e x x 的极限( ) (Ａ)等于２; (Ｂ)等于０; (Ｃ)为∞; (Ｄ)不存在但不为∞。
三、计算解答 1、计算下列极限 (1)1
2sin
2lim -∞
→n n
n x ; (2)x
x
x x cot csc lim
0-→ ;
(3))1(lim 1-→∞x
x e x ; (4)x
x x x 31212lim ??
?
??-+∞→ ;
(5)1cos cos 21
cos 2cos 8lim 223
-+--→
x x x x x π; (6)x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→;
(7)????
??+++?+?∞→)1(1321211lim n n n Λ; (8)32324arctan )21ln(lim x x x --+→。 ３、试确定b a ,之值,使21
11lim 2=???
? ??--+++∞→b ax x x x 。 ４、利用极限存在准则求极限
(1)n
n n n 13121111
131211lim
++++++++++
∞
→ΛΛ。
(2)设01>>a x ,且),2,1(1Λ==+n ax x n n ,证明n n x →∞
lim 存在,并求此极限值。
5、讨论函数x
x x
x n n n n n x f --∞→+-=lim )(的连续性,若有间断点,指出其类型。
6、设)(x f 在],[b a 上连续,且b x f a <<)(,证明在),(b a 内至少有一点ξ,使ξξ=)(f 。
第一单元 函数极限与连续习题解答
一、填空题
1、x 2
sin 2 。 2
sin 22)2sin
21(1)2(sin 22x x x f -=-+=, 222)(x x f -=∴ x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴。
2、0 。 016
249lim )1()34(lim
3222=+-++=-+∞→∞→x
x x x x x x x x 。 3、高阶 。 0)cos 1(lim )
cos 1(tan lim sin tan lim 000=-=-=-→→→x x x x x x x x x x Θ,
x x sin tan -∴就是x 的高阶无穷小。
4、0>k 。
x 1sin Θ为有界函数,所以要使01
sin lim 0=→x
x k x ,只要0lim 0=→k x x ,即0>k 。
5、 0 。 0arctan lim =-∞
→x e x x ))2,2(arctan ,0lim (π
π-
∈=-∞
→x e x
x Θ。
6、2=b 。 b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0
Θ, 2)1(lim )(lim 0
=+=++→→x
x x e x f Θ,
,)0(b f = 2=∴b 。
7、 21
2
163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x Θ。
8、 e x ≤≤1 根据题意 要求1ln 0≤≤x ,所以 e x ≤≤1。
9、21
-=-x e
y )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y Θ,12-=+y e x ,
21-=∴-y e x ,)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y 。
10、a
e 2 原式=a a
a x x
a a
x x e a
x a 222)21(lim =-+
?-?-∞→。 11、23-=a 由231
231~1)1(ax ax -+(利用教材P58(1)1a
x ax +-:)与221~1cos x x --,以及
1322
131lim 1cos 1)1(lim 2
203
1
20=-=-=--+→→a x ax x ax x x , 可得 2
3
-=a 。
12、21
41≤≤-x 由反三角函数的定义域要求可得
?????≠+≤+≤-0
11
131x x x 解不等式组可得 ?????-≠≤≤-12
141x x ,?)(x f 的定义域为2141≤≤-x 。 13、0
lim
lim
x x =
22lim
0x ==。
14、2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t=3x a
a
-,所以x=3at a +
即:3211
lim(
)lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t
→∞→∞+=++-g =38a e =
2ln 3
2ln 8ln 318ln 33
===?=a a 。
15、2 )
2(2
)1(lim )2)(1(lim n n n n n n n n n n ++?++=-++++∞→+∞→
212
1)
1
11(2lim =++++=+∞→n
n n 。
二、选择题
1、选(Ｄ) 令)()()()(x h x g x f x F =,由)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l - 上的奇函数,)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴。
2、选(Ｃ) ])1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim
31311x x x
x x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βαΘ
2
3
)1(3
1
)1(1lim 1=-?+-=→x x x x (利用教材P58(1)1a x ax +-:)
3、选(A) 233
1
21lim
1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x x
x x x f x x x Θ(利用教材P58(1)1a x ax +-:) 4、选(Ｂ) 1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1n
n n n n n n -→∞→∞--=--=-
5、选(Ｃ) 1)0(=-f , 0)0(=+
f , 0)0(=f
6、选(Ｃ) 在(A)中2
ln )(x x f =Θ的定义域为0≠x ,而x x g ln 2)(=的定义域为0>x ,)
()(x g x f ≠∴故不正确
在(B)x x f =)(Θ的值域为),(+∞-∞,2)(x x g =的值域为0>x ,故错 在(D)中1)(=x f Θ的定义域为R,x x x g tan sec )(2
-=的定义域为
}2,{π
π+≠∈k x R x ,)()(x g x f ≠∴,故错
7、选(Ｄ) 1sin lim ||sin lim 00==++
→→x x x x x x Θ,1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→x x
x x x x |
|sin lim 0x x x →∴不存在 8、选(Ｄ) 1)1(1
010
)]
(1[lim )1(lim --?-→→=-+=-e x x x
x x
x Θ,
9、选(Ｃ) 由函数极限的局部有界性定理知,)(lim 0
x f x x →存在,则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界,而
)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0
x f x x →存在,例如x x 1sin
lim 0
→,函数11
sin 1≤≤-x
有界,但在0=x 点极限不存在
10、选(Ｃ)
(lim )lim x x x x x →∞
→∞
==Q
2
111
11lim
2
=
++
=∞
→x x
11、选(D) (A)、(Ｂ)显然不对,因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情况,不
可能得出“对任意n 成立”的性质。
(Ｃ)也明显不对,因为“无穷小·无穷大”就是未定型,极限可能存在也可能不存在。
12、选(D) 002)1(lim 11lim 11
1
1
121=?=+=---→-→--
x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++11
1
1121)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限,也不就是∞。
三、计算解答 1、计算下列极限: (1)解:x x
x n n n n n
n 222lim 2
sin
2lim 1
1
=?
=-∞
→-∞
→。
(2)解:2
200001cos csc cot 1cos 1
sin sin 2lim lim lim lim sin 2
x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-
--====。
(3)解:11
lim )1(lim 1
=?=-∞→∞→x
x e x x x x 。
(4)解:3
21
2133])2
111[(lim )1221(lim )1212(
lim +-∞→∞→∞→-
+=-+=-+x x x x x x x x x x 。 11
3
332211[lim(1)][lim(1)]1122
x x x e x x -→∞→∞
=+?+=-- (5)解:)1)(cos 1cos 2()
1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3
223
+-+-=-+--→
→x x x x x x x x x x ππ
212
1
12141
cos 1
cos 4lim 3
=++?
=
++=→
x x x π
。
(6)解:)
cos sin 1(tan cos sin 1lim
tan cos sin 1lim 00x x x x x x
x x x x x x x x x ++-+=-+→→ 2020202cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin lim x x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→434121=+=。
2x →=Q
(7)解:])
1(1
321211[
lim +++?+?∞→n n x Λ
)]1
1
1()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x Λ 1)1
1
1(lim =+-=∞→n x 。 (8)解:3312323
2323241
)21(lim 42lim 4arctan )21ln(lim =
+=--=--+→→→x x
x x x x x x 。 ３、解:1
)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b x b a ax x b ax x x x x Θ
211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ?????=+-=-∴21)(01b a a ???
???-==231b a
４、(1)Θ1111211111312111++<+++++++++<
n n
n n ΛΛ 而 1111lim =+++∞→n x 11
3121111131211lim =++++++
++++∴+∞→n
n n x ΛΛ。 (2)先证有界(数学归纳法)
1=n 时,a a a ax x =?>=12
设k n =时,a x k >, 则 a a ax x k k =>=+21
数列}{n x 有下界, 再证}{n x 单调减,
11
<==+n
n
n n n x a
x ax x x Θ
且 0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减,n n x ∞
→∴lim 存在,设A x n n =∞
→lim ,
则有 aA A =
?0=A (舍)或a A =,a x n n =∴∞
→lim
５、解:先求极限 得 0
001
01
11lim )(22<=>?
??
??-=+-=∞→x x x n n x f x
x
n 而 1)(lim 0
=+→x f x 1)(lim 0
-=-→x f x 0)0(=f
)(x f ∴的连续区间为),0()0,(+∞-∞Y
0=x 为跳跃间断点、
。 ６、解:令x x f x F -=)()(, 则 )(x F 在 ],[b a 上连续
而0)()(>-=a a f a F 0)()(<-=b b f b F
由零点定理,),(b a ∈?ξ使0)(=ξF 即 0)(=-ξξf ,亦即 ξξ=)(f 。
第二章 导数与微分
一、填空题
1、已知2)3(='f ,则h
f h f h 2)
3()3(lim
0--→= 。
2、)0(f '存在,有0)0(=f ,则x x f x )
(lim 0→= 。
3、π
ππ
1arctan ++=x y x ,则1='x y = 。
4、)(x f 二阶可导,)sin 1(x f y +=,则y '= ;y ''= 。
5、曲线x
e y =在点 处切线与连接曲线上两点),1(),1,0(e 的弦平行。 6、)]1ln[arctan(x y -=,则dy = 。
7、4
2
sin x y =,则
dx dy = ,2dx dy
= 。 8、若tx
x x t t f 2)11(lim )(+=∞→,则)(t f '= 。
9、曲线12
+=x y 于点_________处的切线斜率为2。
10、设x
xe y =,则_______)0(=''y 。
11、设函数)(x y y =由方程0)cos(=++xy e
y
x 确定,则
________=dx
dy
。 12、设???=+=t
y t x cos 12则________2
2=dx y
d 。 二、单项选择 1、设曲线x
y 1=
与2
x y =在它们交点处两切线的夹角为?,则?tan =( )。 (Ａ)1-; (Ｂ)1; (C)2-; (Ｄ)3。
3、函数x k
e x
f tan )(=,且e f =')4(π
,则=k ( )。
(Ａ) 1; (Ｂ) 1-; (C) 2
1
; (Ｄ)2。
4、已知)(x f 为可导的偶函数,且22)
1()1(lim 0-=-+→x
f x f x ,则曲线)(x f y =在)2,1(- 处切线的方程就
是 。
(Ａ)64+=x y ;(Ｂ)24--=x y ;(C)3+=x y ;(Ｄ)1+-=x y 。
5、设)(x f 可导,则x
x f x x f x ?-?+→?)
()(lim 220= 。
(Ａ) 0; (Ｂ) )(2x f ; (C) )(2x f '; (Ｄ))()(2x f x f '?。
6、函数)(x f 有任意阶导数,且2)]([)(x f x f =',则)()
(x f n = 。
(Ａ)1
)]
([+n x f n ;(Ｂ)1
)]
([!+n x f n ;(C)1
)]
()[1(++n x f n ;(Ｄ)2
)]([)!1(x f n +。
7、若2
)(x x f =,则x
x f x x f x ?-?+→?)
()2(lim
000=( )
(Ａ)02x ; (Ｂ)0x ; (C)04x ; (Ｄ)x 4。
8、设函数)(x f 在点0x 处存在)(0x f -'与)(0x f +',则)()(00x f x f +-'='就是导数)(0x f '存在的( )
(Ａ)必要非充分条件; (Ｂ)充分非必要条件;
(C)充分必要条件; (Ｄ)既非充分又非必要条件。 9、设)99()2)(1()(---=x x x x x f Λ则=')0(f ( ) (Ａ)99; (Ｂ)99- ; (C)!99; (Ｄ)!99-。
10、若)(u f 可导,且)(2
x f y -=,则有=dy ( )
(Ａ)dx x f x )(2
-';(Ｂ)dx x f x )(22
-'-;(C)dx x f )(22
-';(Ｄ)dx x f x )(22
-'。 11、设函数)(x f 连续,且0)0('>f ,则存在0>δ,使得( ) (A))(x f 在),0(δ内单调增加; (B))(x f 在)0,(δ-内单调减少;
(C)对任意的),0(δ∈x 有)0()(f x f >;(D)对任意的)0,(δ-∈x 有)0()(f x f >。
12、设?????≤+>=00
1sin )(2
x b
ax x x
x x f 在0=x 处可导,则( ) (A)0,1==b a ; (B)b a ,0=为任意常数; (C)0,0==b a ; (C)b a ,1=为任意常数。
三、计算解答 1、计算下列各题
(1)x
e y 1
sin 2
=,求dy ; (2)?
??==3
ln t y t x ,求122=t dx y
d ; (3)y y x =+arctan ,22dx
y d ; (4)x x y cos sin =,求)
50(y ;
(5)x
x
x y )1(+=,求y ';
(6))2005()2)(1()(+++=x x x x x f Λ,求)0(f ';
(7))()()(x a x x f ?-=,)(x ?在a x =处有连续的一阶导数,求)()(a f a f '''、;
(8)设)(x f 在1=x 处有连续的一阶导数,且2)1(='f ,求)1(cos lim 1-+→x f dx
d
x 。
2、试确定常数b a ,之值,使函数?
??<-≥+++=010
2)sin 1()(x e x a x b x f ax
处处可导。 3、证明曲线a y x =-2
2与b xy =(b a ,为常数)在交点处切线相互垂直。
4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升,其速率为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问观察员视角的倾角增加率为多少。
5、若函数)(x f 对任意实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+,且1)0(='f ,证明)()(x f x f ='。
6、求曲线532
3
-+=x x y 上过点)3,1(--处的切线方程与法线方程。
第二章 导数与微分习题解答
一、填空题
1、1- 1)3(2
1
)21()3()3(lim 2)3()3(lim
00-='-=-?---=--→→f h f h f h f h f h h
2、)0(f ' )0(0
)
0()(lim )(lim
00f x f x f x x f x x '=--=→→ 3、ππ+x ln 1
ln -+='ππππx y x ππ+='∴=x y x ln |1
4、x x f cos )sin 1(?+' ,x x f x x f sin )sin 1(cos )sin 1(2
?+'-?+''
x x f y cos )sin 1(?+'=',x x f x x f y sin )sin 1(cos )sin 1(2?+'-?+''=''
5、)1),1(ln(--e e 弦的斜率10
11
-=--=
e e k 1)(-==='∴e e e y x x ?)1ln(-=e x ,当)1ln(-=e x 时,1-=e y 。
6、]
)1(1[)1arctan(2x x dx
-+?--
)1()
1(11
)1arctan(1)]1[arctan()1arctan(12
x d x x x d x dy --+?-=--=
]
)1(1[)1arctan(2x x dx
-+?--
=
7、432sin 4x x ,4
22sin 2x x 433442sin 44cos sin 2x x x x x dx
dy =??=
4222sin 22x x xdx
dy
dx dy == 8、t t te e 222+ t
tx x te x
t t f 22)11(lim )(=+=∞→ t t te e t f 222)(+='∴
9、)2,1( x y 2='Θ,由220=x ?10=x ,2112
0=+=y
12+=∴x y 在点)2,1(处的切线斜率为2
10、 2 x x xe e y +='Θ,x
x x xe e e y ++=''
2)0(00=+=''∴e e y
11、)
sin()sin(xy x e xy y e y x y x ---++ 方程两边对x 求导得 0)')(sin()'1(=+-++xy y xy y e y
x
解得 )
sin()
sin('xy x e xy y e y y x y x ---=++。
12、3
4cos sin t t
t t - 由参数式求导公式得t t x y dx dy t t 2sin ''-==, 再对x 求导,由复合函数求导法得
3
2224cos sin 21sin cos 21'')'()'(t
t
t t t t t t t x y y dx d dx y d t t x x -=?--===。 二、选择题
1、 选(Ｄ) 由?????
==
2
1x
y x y ?交点为)1,1( ,1|)1(11
-='==x x k , 2|)(122='=x x k 3|1||)tan(|tan 2
11212=+-=-=∴k k k
k ???
3、 选(Ｃ) x x k e x f k x
k
21tan
sec tan )(??='-
由e f =')4(π得 e k e =??2?2
1=k
4、 选(A) 由x f x f x f x f x x 2)
1()1(lim
2)1()1(lim 00----=-+→→ 2)21()1()21()1()1(lim 0-=-?-'=-?-----=→f x f x f x ?4)1(=-'f ∴切线方程为:)1(42+=-x y 即 64+=x y
5、 选(Ｄ) )()(2])([)
()(lim
2220x f x f x f x
x f x x f x '?='=?-?+→? 6、 选(Ｂ) )(2)()(2})]({[)(3
2x f x f x f x f x f ='?='=''
)(32)()(32])(2[)(423x f x f x f x f x f ?='??='=''' 设)(!)(1)(x f n x f n n +=,则)()()!1()()
1(x f x f n x f
n n '?+=+)()!1(2x f n n ++= )(!)(1)(x f n x f n n +=∴
7、 选(Ｃ) )(22)
()2(2lim )()2(lim
0000000x f x
x f x x f x x f x x f x x '=?-?+?=?-?+→?→? 又x x x f 2)()(2
='='Θ,004)(2x x f ='∴
8、 选(Ｃ) )(x f Θ在0x 处可导的充分必要条件就是)(x f 在0x 点的左导数)(0x f -'与右导数)(0x f +'都存在且相等。 9、 选(Ｄ)
)99()3)(1()99()2()99()2)(1()(---+--+---='x x x x x x x x x x x f ΛΛΛΘ
)98()2)(1(---++x x x x ΛΛ
!99!99)1()990()20)(10()0(99-=?-=---='∴Λf
另解:由定义,)99()2)(1(lim 0
)
0()(lim )0(00---=--='→→x x x x f x f f x x Λ
!99!99)1(99-=?-=
10、 选(Ｂ) )(2)()(])([2
222x f x x f x f -'-='-?-'='-Θ
dx x f x dy )(22-'-=∴
11、由导数定义知
0)
0()(lim
)0('0
>-=→x
f x f f x ,
再由极限的保号性知 ,0>?δ当),(δδ-∈x 时0)
0()(>-x
f x f ,
从而 当)),0()(0,(δδ∈-∈x x 时,)0(0)0()(><-f x f ,因此C 成立,应选C 。 12、由函数)(x f 在0=x 处可导,知函数在0=x 处连续
b b ax x f x
x x f x x x x =+===--++→→→→)(lim )(lim ,01
sin lim )(lim 00200,所以0=b 。 又a x
ax x f x f f x x x x f x f f x x x ==--===--=-+
+→-
→→+0)0()(lim )0(,01sin
lim 0)0()(lim )0(0200, 所以0=a 。应选C 。
三、计算解答 1、计算下列各题
(1)dx x x x e x d e
dy x
x
)1(1cos 1sin 2)1(sin 21
sin 2
1sin 22
-??==dx e x x x
1
sin 222sin 1-= (2)
32313t t
t dx
dy ==,3
222
919t t t dx y d ==,9|122=∴=t dx y d (3)两边对x 求导:y y y
'='?++2
111?12
+='-y y )11
(2)1(2223233+-=+?-='?-=''---y
y y y y y y
(4)x x x y 2sin 2
1
cos sin ==Θ
)2
2sin(2cos π
+
=='∴x x y )2
22sin(2)22cos(2π
π
?+=+
=''x x y 设)2
2sin(21)
(π
?+=-n x y n n
则)2
)1(2sin(2)22cos(2)
1(π
π++=?+=+n x n x y
n n n
x x y 2sin 2)2
502sin(24949)50(-=?+=∴π
(5)两边取对数:)]1ln([ln ln x x x y +-=
微积分期末测试题及复习资料
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
微积分C试卷(附答案)
《微积分C 》期末试卷（A ） 一、填空题（每小题4分共12分） 1、50 lim(12)x x x →-=10e -； 2、0 21lim(sin sin )5x x x x x →+=15 ； 3、x y tan =，求dy=2sec ； 二、选择题（每小题4分共8分） 1、设)(x F 是)(x f 的原函数，则?dx x f )(=（ B ） A 、)(x CF B 、 C x F +)( C 、)(Cx F D 、)(C x F + 2、关于函数)(x f y =在点x 处连续、可导及可微三者的关系，正确的是（B ） A 、连续?可微 B 、可微?可导 C 、可微不是连续的充分条件 D 、连续?可导 三、计算题（每小题7分,共70分） 1、求01cos 2lim sin x x x x →-. 解：原式= 2lim lim 2 22 lim lim 002 22sin sin 2()2sin 22(=2)x x x x x x x x x x x x x →→→→====（2） 另解：I
2、求011lim ln(1)x x x →?? - ?+??. 解：原式= lim lim lim lim lim 0 01 00 1ln(1)1110011ln(1)lim(1)1(1)ln(1)lim(1)ln(1)11 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→--+---++==+++++++++? ++ + lim lim 00 2 ln(1)11(22 x x x x x x I x x →→-+-+===-解二： 3 、2()f x =)1(f '。 解：3113' ' 2 222 '31 ()2231 (1)2 22 f x x x x x f --=+∴=+=（-）= 4、设函数)(x f y =由方程ln sin 0x y y x +=所确定，求 dx dy 。 解：'' ' 1ln sin cos 0cos ln 1 sin y x y y x y x y y x y y x x y +? ?+=--∴= +? ＋ 5、设cos5x y e =求y '。 解：' cos5(sin5)5x y e x =?-?
高中数学必修3各章节知识点梳理与测试题附加答案.doc
...... 高中数学必修 3 知识点 第一章算法初步 1.1.1算法的概念 1、算法概念： 在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或 步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 2.算法的特点 : (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不 应当是模棱两可 . (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有 一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题 . (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算 法. (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都 要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.
...... 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念： （一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字 说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外 必要文字说明。 （二）构成程序框的图形符号及其作用 程序框名称功能 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图 起止框 不可少的。 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算 输入、输出框 法中任何需要输入、输出的位置。 赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、 处理框公式等分别写在不同的用以处理数据的处理 框内。 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标 判断框 明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N ”。
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限
微积分试卷及答案
微积分试卷及答案Revised on November 25, 2020
2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+
2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）
微机原理及接口技术考试各章重点题库及答案
微机原理与接口技术试题库 第一章基础知识 一、填空 1、计算机中采用二进制数，尾符用B 表示。 2、西文字符的编码是ASCII 码，用 1 个字节表示。 3、10111B用十六进制数表示为H，八进制数表示为O。 4、带符号的二进制数称为真值；如果把其符号位也数字化，称为原码。 5、已知一组二进制数为-1011B，其反码为10100B ，其补码为10101B 。 6、二进制码最小单位是位，基本单位是字节。 7、一个字节由8 位二进制数构成，一个字节简记为1B ，一个字节可以表示256 个信息。 8、用二进制数表示的十进制编码，简称为BCD 码。 9、8421码是一种有权BCD 码，余3码是一种无权BCD 码。 二、选择 1、计算机中采用 A 进制数。 A. 2 B. 8 C. 16 D. 10 2、以下的 C 编码是一种有权码。 A. 循环码 B. BCD码 C. 8421码 D. 余3码 3、八进制数的尾符是 B 。 A. B B. O C. D D. H 4、与十进制数254等值的数是 A 。 A. 11111110 B. 11101111 C. 11111011 D. 11101110 5、下列不同数制表示的数中，数值最大的是 C 。 A. 11011101B B. 334O C. 1219D D. DAH 6、与十六进制数BC等值的数是B 。 A. 10111011 B. 10111100 C. 11001100 D. 11001011 7、下列字符中，ASCII码值最小的是 A 。 A. K B. Y C. a D. i 8、最大的10位无符号二进制整数转换成十进制数是C 。 A. 51 B. 512 C. 1023 D. 1024 9、A的ASCII码值为65D，ASCII码值为68D的字母是C 。 A. B B. C C. D D. E 10、下列等式中，正确的是 D 。 A. 1KB=1024×1024B B. 1MB=1024B
大一上学期微积分期末试卷及答案
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 微积分课件完整版 微积分课件完整版 微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 词目释义 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿。 （1）运动中速度与距离的互求问题 求物体在任意时刻的速度和加速度； 反过来，已知物体的加速度表为以时间为 变量的函数公式，求速度和距离。这类问 题是研究运动时直接出现的，困难在于， 所研究的速度和加速度是每时每刻都在变 化的。比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能像计算平均速度那样，用移动 的距离去除运动的时间，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是 是无意义的。但是，根据物理，每个 运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。已知速度公式求移动距离 的问题，也遇到同样的困难。因为速度每 时每刻都在变化，所以不能用运动的时间 乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。 （2）求曲线的切线问题 这个问题本身是纯几何的，而且对于 科学应用有巨大的重要性。由于研究天文 的需要，光学是十七世纪的一门较重要的 科学研究，透镜的设计者要研究光线通过 透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角 度以便应用反射定律，这里重要的是光线 与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于 切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现 于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹 上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。 第十七章超敏反应 一、单项选择 1.由细胞免疫介导的变态反应是型： 2.I 型过敏反应可通过下列哪种成分转移给正常人？ A. 患者的致敏淋巴细胞 B. 患者的血清 C. 致敏淋巴细胞释放的转移因子 D. 巨噬细胞释放的淋巴细胞激活因子 E. 以上均不是 3.关于Ⅱ型变态反应下列哪项是错误的？ A.属于细胞毒型 B. 有NK 细胞和巨噬细胞参与 C. 没有补体参与 D. 可由病菌与自身组织间的共同抗原引起 E. 是由 IgG 和IgM 介导的 4.下列疾病属于 III 型变态反应的是： A.特应性皮炎 B. 输血反应 C. 免疫复合物性肾小球肾炎 D. 接触性皮炎 E. 移植排斥反应 5. I 型超敏反应主要是由哪一种抗体介导的 6.参与 I 型超敏反应主要的细胞是： A．肥大细胞和嗜碱性粒细胞B． B 细胞 C．T 细胞 D．NK 细胞 E．内皮细胞 7.不属于 I 型超敏反应的疾病是 A．青霉素过敏性休克 B．花粉过敏引起哮喘 C．皮肤荨麻疹 D．红细胞溶解破坏导致的输血反应E．过敏性鼻炎 8.不属于 I 型超敏反应发生机制的是： A．变应原刺激机体产生特异性IgE B ．IgE 与致敏靶细胞表面 IgE 受体结合 C．肥大细胞发生脱颗粒 D．组胺等生物活性介质引起相应症状 E．IgG 激活补体溶解破坏靶细胞 9.在抢救过敏性休克中具有重要作用的药物是： 10.某同学，每年春季便出现流鼻涕、打喷嚏不止，可能的原因是对花粉产生了： A．I 型超敏反应 B．II 型超敏反应 C．III 型超敏反应 D．IV 型超敏反应 E．不属于超敏反应 11.不属于 II 型超敏反应的疾病是： A．新生儿溶血症 B．花粉过敏引起哮喘 C．红细胞溶解破坏导致的输血反应 D．药物过敏性血细胞减少症 E． Graves’病（甲状腺功能亢进） 12.下列关于 II 型超敏反应错误的是 A．自身组织细胞是受到攻击的靶细胞 B．输血反应是典型的 II 型超敏反应 C．参与的抗体主要是 IgG 和 IgM D．吞噬细胞和 NK 细胞的杀伤是组织损伤的直接原因 E．参与的抗体主要是 IgE 13. II 型超敏反应中的靶抗原不包括 A．ABO 血型抗原 B．链球菌胞壁成分与关节组织的共同抗原 C．改变了的自身抗原 D．结合在自身细胞表面的抗原E．游离的病毒颗粒 14.新生儿溶血症属于哪一型超敏反应 15.Ⅰ型超敏反应不具有的特点是： A．有明显的个体差异和遗传背景B．发生迅速，消退也快 C．特异性 IgE 参与 D．无补体参与 E．免疫病理作用以组织细胞的破坏为主 大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在 二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。 《微积分及其应用》考试题（一） 开卷( ) 闭卷(√) 适用专业：经管类专业 学号： 姓名： 班级： 本试题共四大题25小题，共4页，满分100分。考试时间120分钟 注：1、答题前，请准确、清楚地填各项，涂改及模糊不清者、试卷作废 2、试卷若有雷同以零分计 一、 填空题，每题2分，共20分。 1、函数2 2()x f x x x = -，当()x =时为可去间断点，当()x =时为不可去间断点 2、 0 sin lim ( )x x x x →+= 3、设?? ?==t b y t a x cos sin , 则()dy dx = 4、2 2 sin cos ()1sin x x dx x =+? 5、2 sin ()a a x xdx -=? 6、2 ()()() df x f x =? 7、幂级数∑ ∞ =1 n n n x 的收敛半径为 ( ) 收敛区间为( ) 8、 x -11展开成x 的幂级数为( ) 9、?-11 dx ? -2 10 ),(x dy y x f 交换积分次序后是（ ） 10、方程'''y y =的通解是（ ） 二、单项选择题，每题4分，共20分。 1、下列命题，正确的是（ ） A ． 若0 0lim ()()x x f x f x →=，则0'()f x 存在. B ． 若0'()0f x =，则0x 是极值点. C ． 若 y z x z ????, 存在，则(,)z f x y =可微. D ． 若()f x 是[,]a a -上的连续奇函数，则?-=a a dx x f 0)(. 2、当0x →时，)(2 1,112 2 x x x x += -++= βα的关系是（ ） A ．α是与β等价的无穷小量. B. α是与β同阶但不等价的无穷小量. C ．α是比β高阶的无穷小量. D. α是比β低阶的无穷小量. 3、 2 2 2 12 3 3 x y z - - =是旋转曲面，旋转轴为（ ） A ．X 轴. B ． Y 轴或Z 轴. C ． 直线z y x ==. D ． 直线?? ?==0 z y x . 4、 33y x x =-上（ ）点处的切线平行于X 轴 A ． (0,0). B ． (1,2)-. C ． (1,2). D ． (1,0). 5、若xy e z =，则=dz （ ） A ． dx e xy . B ． )(xdy ydx e xy +. C ．xdy ydx +. D ． xy e y x )(+. 三、解答题，每题6分，共48分。 1、若2 1 lim 11 x x ax b x →++=-，求b a , 微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 三. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A│< ε。 四. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 五. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 六. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 七. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 八. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 九. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 十. ='?))((dx x f x d 。 十一. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大 时产量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 十二. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极 限一定不存在 十三. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 十四. =+-∞→13)1 1(lim x x x （ ）。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 十五. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 十六. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以 除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 十七. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 十八. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线， 又有垂直渐近线 十九. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 二十. 若?(x )的导函数是2 -x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x 第一章免疫学概论 一、单项选择 1. 免疫应答水平过高会引起： A. 超敏反应 B. 持续感染 C. 免疫缺陷 D. 癌症 E. 易衰老 2. 机体免疫防御反应异常增高，可引发： A．严重感染B．自身免疫病C．肿瘤D．免疫缺陷病E．超敏反应 3. 机体免疫自稳功能失调，可引发： A．免疫缺陷病B．自身免疫病C．超敏反应D．病毒持续感染E．肿瘤 4. 免疫防御功能低下的机体易发生： A．反复感染B．肿瘤C．超敏反应D．自身免疫病E．免疫增生性疾病 5. 机体免疫监视功能低下时易发生： A．肿瘤B．超敏反应C．移植排斥反应D．免疫耐受E．自身免疫病 6. 医学免疫学研究的是： A．病原微生物的感染和机体防御能力B．抗原抗体间的相互作用关系 C．人类免疫现象的原理和应用D．动物对抗原刺激产生的免疫应答 E．细胞突变和免疫监视功能 7. 免疫功能低下时易发生： A. 自身免疫病 B. 超敏反应 C. 肿瘤 D. 免疫增生病 E. 移植排斥反应 8. 免疫是指： A．机体排除病原微生物的功能B．机体抗感染的防御功能 C．机体识别和清除自身突变细胞的功能 D. 机体清除损伤和衰老细胞的功能E．机体识别和排除抗原性异物的功能 9. 免疫对机体是： A．有害的B．有利的C．有害无利D．有利无害 E．正常条件下有利，异常条件下有害 10. 机体抵抗病原微生物感染的功能称为： A．免疫监视B．免疫自稳C．免疫耐受D．免疫防御E．免疫调节 11. 机体免疫系统识别和清除突变细胞的功能称为： A．免疫监视B．免疫缺陷C．免疫耐受D．免疫防御E．免疫自稳 12. 具有特异性免疫功能的免疫分子是： A．细胞因子B．补体C．抗体D．MHC 分子E．抗菌肽 13. 执行特异性免疫功能的细胞是： A．γδT 细胞B．αβT 细胞C．NK 细胞D．DC E．巨噬细胞 14. 在固有和适应性免疫应答过程中均起重要作用的细胞是： A．巨噬细胞B．B 细胞C．T 细胞D．中性粒细胞E．浆细胞 15. 免疫细胞不包括： A．淋巴细胞B．成纤维细胞C．抗原提呈细胞D．粒细胞E．巨噬细胞 16. 适应性免疫应答所不具备的特点是： A．淋巴细胞与相应抗原的结合具有高度特异性B．具有再次应答的能力 C．无需抗原激发D．T/B 细胞库具有高度异质性E．精确区分“自身”和“非己” 17. 固有免疫细胞所不具备的应答特点是： A．直接识别病原体某些共有高度保守的配体分子 B．识别结合相应配体后，立即产生免疫应答 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 . 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 3 1 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设 ()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). . (A) 2π (B) 22π (C) (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 13(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 1 1(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1. 2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.设 arctan y z x =，求2,.z z z x y x y ???????， 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 导数和微分在书写的形式有些区别，如y'=f(x),则为导数，书写成dy=f(x)dx,则为微分。积分是求原函数，可以形象理解为是函数导数的逆运算。 通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx，而其导数则为：y'=f'(x)。 设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数），叫做函数f(x)的不定积分，数学表达式为：若f'(x)=g(x)，则有∫g(x)dx=f(x)+c。 向左转|向右转 扩展资料： 设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母） 那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。 通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。 当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X 的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。 微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。 积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。 但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋微积分课件完整版
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