2020-2021学年四川省成都市郫都区九年级(上)期末数学试卷(一诊)
2020-2021学年四川省成都市郫都区九年级（上）期末数学试卷（一诊）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）
A．x+y﹣1＝0B．x2+＝2C．x2＝2x+3D．xy＝﹣6
2．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）
A．B．C．D．
3．（3分）若x＝m是方程x2+x﹣1＝0的根，则m2+m+2020的值为（）
A．2022B．2021C．2019D．2018
4．（3分）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）
A．a≠2B．a＞0C．a＞2D．a≠0
5．（3分）如图，在正方形网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠BAC的值是（）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，晚上小明在路灯下沿路从A处径直走到B处，这一过程中他在地上的影子（）
A．一直都在变短B．先变短后变长
C．一直都在变长D．先变长后变短
7．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，DE∥BC交MC于点E，AD＝3，BD＝2，则AE与EC 的比是（）
A．3：2B．3：5C．9：16D．9：4
8．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）（x+4）与x轴交点的横坐标分别为（）
A．﹣3，﹣4B．3，4C．﹣3，4D．3，﹣4
9．（3分）如图，过双曲线y＝在第一象限上的一支上的点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则△OAB的面积为（）
A．4B．3C．2D．1
10．（3分）在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）
A．朝上的点数是5的概率
B．朝上的点数是奇数的概率
C．朝上的点数是大于2的概率
D．朝上的点数是3的倍数的概率
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）若＝，则的值为．
12．（4分）反比例函数y＝，在每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围．13．（4分）如图，△OAB与△ODC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若点B的坐标为（﹣2，1），则点C的坐标为．
14．（4分）如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若选取拱形顶点C 为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）计算：|2﹣|++2sin60°﹣2cos45°．
（2）解方程：x2﹣x﹣12＝0．
16．（6分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，a的取值范围是．17．（8分）如图，航拍无人机在C处测得正前方某建筑物顶部A处的仰角为45°，测得底部B的俯角为31°．此时航拍无人机距地面的高度CD为12米，求该建筑物的高度AB（结果保留整数）．（参考数据：tan31°≈0.60．）
18．（8分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
19．（10分）如图，直线y＝x+b与双曲线y＝（k≠0）交于A、B两点，且点A的坐标为（2，3）．（1）求双曲线与直线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）若x+b＞，直接写出x的取值范围．
20．（10分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，连接AE交BD于点G，交CD于点H．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）求证：DG2＝FG?BG；
（3）若AB＝10，BC＝12，求线段GH的长度．
四、填空题（本大题共5分，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）在比例尺是1：200000的地图上，A、B两地间的距离为4cm．若还是用cm单位，则A、B两
地的实际距离用科学记数法表示应为．
22．（4分）在长度分别为3、4、7、9的四条线段中，任意选取三条，端点顺次连接，能组成三角形的概率为．
23．（4分）设a，b分别是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是．
24．（4分）如图，点C在线段AB上，等腰△ADC的顶角∠ADC＝120°，点M是矩形CDEF的对角线DF 的中点，连接MB，若AB＝6，AC＝6，则MB的最小值为．
25．（4分）如图，每个台阶的高和宽分别是1和2，台阶凸出的角的顶点记作T m（其中m为1～8的整数），函数y＝kx﹣1（x＜0）的图象为曲线L．若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的取值范围为．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价促销措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求出商场盈利与每件衬衫降价之间的函数关系式；
（2）若每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？
27．（10分）如图，以△ABC的两边AB、AC分别向外作等边△ABD和等边△ACE，BE与DC交于点P，已知P A＝3，PB＝4，PC＝5．
（1）求证：△ADC≌△ABE；
（2）求∠DPB的度数及BE的长；
（3）若点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心（三边中线的交点），连接AQ、AR、QR，作出图象，求QR的长．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．
（1）求a、b、c的值；
（2）连接P A、PC、AC，求△P AC面积的最大值；
（3）过P作PQ⊥AC，垂足为Q，是否存在这样的点P、Q，使得△CPQ∽△CBO，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）
A．x+y﹣1＝0B．x2+＝2C．x2＝2x+3D．xy＝﹣6
【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）
A．B．C．D．
【解答】解：从上边看，底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：B．
3．（3分）若x＝m是方程x2+x﹣1＝0的根，则m2+m+2020的值为（）
A．2022B．2021C．2019D．2018
【解答】解：∵x＝m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴m2+m+2020＝1+2020＝2021．
故选：B．
4．（3分）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）
A．a≠2B．a＞0C．a＞2D．a≠0
【解答】解：由题意得：a﹣2≠0，
解得：a≠2，
故选：A．
5．（3分）如图，在正方形网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠BAC的值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴tan∠BAC＝．
故选：C．
6．（3分）如图，晚上小明在路灯下沿路从A处径直走到B处，这一过程中他在地上的影子（）
A．一直都在变短B．先变短后变长
C．一直都在变长D．先变长后变短
【解答】解：在小明由A处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短，当他从路灯下走到B处时，他在地上的影子逐渐变长．
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，DE∥BC交MC于点E，AD＝3，BD＝2，则AE与EC 的比是（）
A．3：2B．3：5C．9：16D．9：4
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝．
故选：A．
8．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）（x+4）与x轴交点的横坐标分别为（）
A．﹣3，﹣4B．3，4C．﹣3，4D．3，﹣4
【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣3）（x+4）知，该抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，﹣4．
故选：D．
9．（3分）如图，过双曲线y＝在第一象限上的一支上的点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，则△OAB的面积为（）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：∵过双曲线y＝在第一象限上的一支上的点A作AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝|k|＝×2＝1，
故选：D．
10．（3分）在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）
A．朝上的点数是5的概率
B．朝上的点数是奇数的概率
C．朝上的点数是大于2的概率
D．朝上的点数是3的倍数的概率
【解答】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在35%左右，
A的概率为1÷6×100%≈16.67%，
B的概率为3÷6×100%＝50%，
C的概率为4÷6×100%≈66.67%，
D的概率为2÷6×100%≈33.33%，
即朝上的点数是3的倍数的概率与之最接近，
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）若＝，则的值为．
【解答】解：∵＝，
∴b＝5a，
∴＝＝．
故答案为：．
12．（4分）反比例函数y＝，在每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围m＞3．【解答】解：∵反比例函数y＝，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴m﹣3＞0，解得m＞3．
故答案为：m＞3．
13．（4分）如图，△OAB与△ODC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若点B的坐标为（﹣2，1），则点C的坐标为（4，﹣2）．
【解答】解：∵△OAB与△ODC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，1），
∴点C的横纵坐标都乘以﹣2，即C点坐标为：（4，﹣2）．
故答案为：（4，﹣2）．
14．（4分）如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若选取拱形顶点C 为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为y＝﹣x2．
【解答】解：如图，拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，
由题意知B（6，﹣4），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将点B（6，﹣4）代入，得：﹣4＝36a，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）计算：|2﹣|++2sin60°﹣2cos45°．
（2）解方程：x2﹣x﹣12＝0．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+2+2×﹣2×
＝2﹣+2+﹣
＝2+；
（2）∵x2﹣x﹣12＝0，
∴（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x+3＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝4．
16．（6分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，a的取值范围是．【解答】解：
∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且a﹣1≠0，
即（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0且a﹣1≠0，解得a＜2且a≠1，
∴a的取值范围是a＜2且a≠1．
17．（8分）如图，航拍无人机在C处测得正前方某建筑物顶部A处的仰角为45°，测得底部B的俯角为31°．此时航拍无人机距地面的高度CD为12米，求该建筑物的高度AB（结果保留整数）．（参考数据：tan31°≈0.60．）
【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意可知：
CD⊥BD，AB⊥BD，
∴四边形DBEC是矩形，
∴CD＝BE＝12米．
在Rt△BEC中，∠BCE＝31°，
∴tan31°＝，即≈0.6．
∴CE＝20米．
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE，
∴CE＝AE＝20米，
∴AB＝BE+AE＝32米．
答：该建筑物的高度AB约为32米．
18．（8分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．
【解答】解：（1）∵共有A，B，C，D，4个小区，
∴甲组抽到A小区的概率是，
故答案为：．
（2）根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，
∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为．
19．（10分）如图，直线y＝x+b与双曲线y＝（k≠0）交于A、B两点，且点A的坐标为（2，3）．（1）求双曲线与直线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）若x+b＞，直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）把点A的坐标（2，3）代入一次函数的解析式中，可得：3＝2+b，解得：b＝1，所以一次函数的解析式为：y＝x+1；
把点A的坐标（2，3）代入反比例函数的解析式中，可得：k＝6，
所以反比例函数的解析式为：y＝；
（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，
解得：或，
所以点B的坐标为（﹣3，﹣2）；
（3）由图象可知，若x+b＞，则x的范围是：﹣3＜x＜0或x＞2．
20．（10分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，连接AE交BD于点G，交CD于点H．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）求证：DG2＝FG?BG；
（3）若AB＝10，BC＝12，求线段GH的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵延长BC到点E，使CE＝BC，
∴AD∥CE，AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG，
∴＝，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴AC∥DE，
∵△AGF∽△EGD，
∴＝，
∴＝，
∴DG2＝FG?BG；
（3）解：∵四边形ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，
∴DH＝DC＝AB＝5，AD＝CE＝12，
在Rt△ADH中，AH2＝AD2+DH2
∴AH＝13，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴AE2＝100+576，
∴AE＝26，
∵△ADG∽△BGE，
∴＝＝，
∴AG＝GE，
∴GE＝2AG，
∴AG＝×AE＝，
∴GH＝AH﹣AG＝13﹣＝．
四、填空题（本大题共5分，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）在比例尺是1：200000的地图上，A、B两地间的距离为4cm．若还是用cm单位，则A、B两
地的实际距离用科学记数法表示应为8×105cm．
【解答】解：设A、B两地的实际距离为xcm，
∵比例尺为1：200000，
∴4：x＝1：200000，
∴x＝800000，
∴A、B两地的实际距离用科学记数法表示应为8×105cm．
故答案为：8×105cm．
22．（4分）在长度分别为3、4、7、9的四条线段中，任意选取三条，端点顺次连接，能组成三角形的概率为．
【解答】解：画树状图如图：
共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，
∴能组成三角形的概率为＝，
故答案为：．
23．（4分）设a，b分别是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是2021．【解答】解：a，b分别是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2022＝0，
∴a2+a＝2022，
故a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2022﹣1＝2021，
故答案为2021．
24．（4分）如图，点C在线段AB上，等腰△ADC的顶角∠ADC＝120°，点M是矩形CDEF的对角线DF 的中点，连接MB，若AB＝6，AC＝6，则MB的最小值为9﹣2．
【解答】解：如图，连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T．
∵四边形EFCD是矩形，点M是DF的中点，
∴点M是对角线DF，EC的交点，
∴MD＝MC，
∵MJ⊥CD，
∴DJ＝JC，
∴点M的运动轨迹是直线MJ，当BM⊥MJ时，BM的值最小，
∵DA＝DC，∠ADC＝120°，AC＝6，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∴CD＝＝2，
∴CJ＝DJ＝，
∴CT＝CJ÷cos30°＝2，
∵AB＝6，AC＝6，
∴BT＝BC+CT＝（6﹣6）+2＝6﹣4，
∵∠CJT＝90°，∠JCT＝30°，
∴∠BTM＝60°，
∴BM＝BT?sin60°＝（6﹣4）×＝9﹣2，
∴BM的最小值为9﹣2．
故答案为：9﹣2．
25．（4分）如图，每个台阶的高和宽分别是1和2，台阶凸出的角的顶点记作T m（其中m为1～8的整数），
函数y＝kx﹣1（x＜0）的图象为曲线L．若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的取值范围为﹣36＜k＜﹣28．
【解答】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），
∵L过点T1，
∴k＝﹣16×1＝﹣16，
若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，
若曲线L过点T3（﹣12，3），T6（﹣6，6）时，k＝﹣12×3＝﹣36，
若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40，
∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
∴﹣36＜k＜﹣28，
故答案为：﹣36＜k＜﹣28．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价促销措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）求出商场盈利与每件衬衫降价之间的函数关系式；
（2）若每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？
【解答】解（1）设每件降低x元，获得的总利润为y元
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800；
（2）∵当y＝1200元时，即﹣2x2+60x+800＝1200，
∴x1＝10，x2＝20，
∵需尽快减少库存，
∴每件应降低20元时，商场每天盈利1200元．
27．（10分）如图，以△ABC的两边AB、AC分别向外作等边△ABD和等边△ACE，BE与DC交于点P，已知P A＝3，PB＝4，PC＝5．
（1）求证：△ADC≌△ABE；
（2）求∠DPB的度数及BE的长；
（3）若点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心（三边中线的交点），连接AQ、AR、QR，作出图象，求QR的长．
【解答】解：（1）∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝∠AEC＝∠ACE＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
在△ADC与△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（2）∵△ADC≌△ABE；
∴∠ADP＝∠ABP，
设AB，PD交于O，
∵∠AOD＝∠POB，
∴∠DPB＝∠DAB＝60°；
如图①在PE上取点F，使∠PCF＝60°，
同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC＝∠EAC＝60°，
∴EF＝AP＝3，△CPF为等边三角形，
∴BE＝PB+PF+FE＝4+5+3＝12；
（3）如图②，过点Q作QG⊥AD于G，设QG＝x，
∵点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心，
∴AQ＝2x，AG＝x，AB＝2x，
∵＝＝，∠QAR＝∠QAB+∠BAC+∠RAC＝30°+∠BAC+30°＝60°+∠BAC，
∴∠QAR＝∠BAE，
∴△ABE∽△AQR，
∴QR：BE＝AQ：AB，
∴QR＝×12＝4．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．
（1）求a、b、c的值；
（2）连接P A、PC、AC，求△P AC面积的最大值；
（3）过P作PQ⊥AC，垂足为Q，是否存在这样的点P、Q，使得△CPQ∽△CBO，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．