《概率论与数理统计》课后习题答案chapter2

习题解答

1．现有10件产品，其中6件正品，4件次品。从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量X 、Y 如下：

??

?=。次抽到次品第次抽到正品第11,0;,1X ?

??=。次抽到次品第次抽到正品第22,0;,1Y

试就下面两种情况求),(Y X 的联合概率分布和边缘概率分布。

（1） 第1次抽取后放回； （2） 第1次抽取后不放回。 解 （1）依题知),(Y X 所有可能的取值为)1,1(),0,1(),1,0(),0,0(. 因为

；

25

4104104)

0|0()0()0,0(1101

4

11014=?=?===?====C C C C X Y P X P Y X P ；

25

6106104)0|1()0()1,0(110161101

4=?=?===?====C C C C X Y P X P Y X P .

；

25

6104106)

1|0()1()0,1(1101

4

11016=?=?===?====C C C C X Y P X P Y X P ；

25

9106106)

1|1()1()1,1(1101

611016=?=?===?====C C C C X Y P X P Y X P 所以),(Y X 的联合概率分布及关于X 、Y 边缘概率分布如下表为：

] …

（2）类似于（1），可求得

；

15

293104)

0|0()0()0,0(19131101

4

=?=?===?====C C C C X Y P X P Y X P ；

15

496104)0|1()0()1,0(19161101

4

=?=?===?====C C C C X Y P X P Y X P ；

15

494106)1|0()1()0,1(191

4

11016=?=?===?====C C C C X Y P X P Y X P ；

15

595106)1|1()1()1,1(191

511016=?=?===?====C C C C X Y P X P Y X P 、

所以),(Y X 的联合概率分布及关于X 、Y 边缘概率分布如下表为：

2. 已知10件产品中有5件一级品，2件废品。现从这批产品中任意抽取3件，记其中的一级品数与废品数分别为X 、Y ，求),(Y X 的联合概率分布和边缘概率分布。 $

解 依题知X 、Y 所有可能的取值分别为3,2,1,0及2,1,0，故

；

120

1)0,0(31033====C C Y X P ；201)1,0(3101223=?===C C

C Y X P

；401)2,0(3102213=?===C C C Y X P ；81)0,1(3

10

2315=?===C C C Y X P

；

41)1,1(31013121

5

=??===C

C C C Y X P ；241)2,1(3102

215=?===C C

C Y X P ；41)0,2(310

1325=?===C C C Y X P ；61)1,2(3

10

1

225=?===C C C Y X P ；

0)2,2(===Y X P ；121)0,3(310

3

5

====C C Y X P ；0)1,3(===Y X P ；0)2,3(===Y X P

所以),(Y X 的联合概率分布及关于X 、Y 边缘概率分布如下表为：

{

3. 已知随机变量X 、Y 的概率分布分别为

且1)0(==?Y X P ，求

（1）X 和Y 的联合概率分布； （2）)(Y X P =.

解 （1）因为 )

1,0()0,0()

0,1()0,1()0(=======-===?Y X Y X Y X Y X Y X

所以 ：

X P ; 41 21 41 Y P 0 1 21 21 】

1

)1,0()0,0()

0,1()0,1()0(22213111=+++==+==+==+=-===?p p p p Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P ＝

又根据12

13

1

=∑∑==j i ij

p

得03212=+p p ，从而03212==p p . 于是由表

@

可得

4

111=p ， 4131=p ， 2122=p ， 0212221=-=p p .

故),(Y X 的联合概率分布为

\

《

(2) 由(1)知0)1,1()0,0()(===+====Y X P Y X P Y X P . 4. 设二维随机向量),(Y X 的联合概率密度为

??

?>>=+-其它。,

0;

0,0,),()2(y x Ae y x f y x 试求：（1）常数A ；

（2）),(Y X 关于X 、Y 的边缘概率密度； （3）)30,20(≤<≤

*

（5）)(Y X P <.

解 （1）由联合概率密度分的性质知

1),(0

)2(=?=??

??

+∞

+∞

+-+∞∞-+∞

∞

-dy e A dx dxdy y x f y x ，

即 10

2=???+∞+∞--dy e dx e A y

x ， 求得2=A .

（2）当0>x 时，有 x y x e dy e dy y x f x f -+∞

+-+∞

∞

-==

=

?

?

)2(1),()(.

当0≤x 时，有0)(1=x f . 所以),(Y X 关于X 的边缘概率密度为

??

?≤>=-.

0,0;

0,)(1x x e x f x (

同理可得),(Y X 关于Y 的边缘概率密度为

??

?≤>=-.

0,

0;0,

2)(22y y e y f y

（3）

=

≤<≤<)30,20(Y X P ?

?+-?2

3

0)2(2dy e dx y x

??--?=2

30

22dy e dx e y

x

)1)(1(6

2

----=e e .

（4）积分区域如图阴影部分

)12(≤+Y X P ??

-+-?=

1

02

10

)2(2x y x dy e dx

.

21)

(11

210

2-----=-?=?e dx

e e

x y

x

*

（5）积分区域如图阴影部分

)(Y X P < ?

?+∞

+∞

+-?=

)2(2x

y x dy e dx

??∞

+-+∞

∞

+--=-?=0

30

02)(dx

e dx e e x y x

=3

1.

5．设二维随机向量),(Y X 的联合概率密度为

￥

??

???≤≤≤≤+=其它。,0;

20,10,3

1),(2y x xy x y x f 试求：（1）),(Y X 关于X 、Y 的边缘概率密度； （2）??

?

?

?<<

21|21Y X P . 解 （1）当10≤≤x 时，有

x x dy xy x dy y x f x f 3

22)31(),()(22

021+=+==??

+∞

∞-； 当10>

??

???≤≤+=其它。,0;10,3

22)(21x x x x f

同理可得),(Y X 关于Y 的边缘概率密度为

.

?????≤≤+=其它。,

0;

20,6131)(2y y y f

（2）由条件概率的定义知

()

(

)

()

2

1

21

,2121|21<<<=

<

()=

<<2

1,21Y X P 192

5)31(2

10

2

10

2

=+??dy xy x dx ；

()=<21Y P 48

9)31(1

2

1

2

=+??dy xy x dx ； 于是

()

36

548

91925

21|21==<

6．设二维随机向量),(Y X 的联合概率密度为

)

??

?>>=-其它。,

0;

,0,),(x y x e y x f y

试求：（1）),(Y X 关于X 、Y 的边缘概率密度； （2）()4,2<>Y X P . 解 （1）当0>x 时，有

x x

y e dy e dy y x f x f -+∞

-+∞

∞

-==

=

?

?

),()(1；

当0≤x 时，有0)(1=x f . 所以),(Y X 关于X 的边缘概率密度为

???≤>=-。

0,0;0,)(1x x e x f x

同理当0>y 时，有 y y

y ye dx e dy y x f x f --+∞

∞

-==

=?

?

2),()(；

$

当0≤y 时，有0)(2=x f . 所以),(Y X 关于Y 的边缘概率密度为

??

?≤>=-.

0,

0;

0,

)(2y y ye y f y （2） ()4,2<>Y X P ==

?

?-4

2

4

x

y dy e dx 4

23---e e .

7. 某公司经理和他的秘书定于本周星期日中午12点至下午1点在办公室会面，并约定先到者等20分钟后即可离去，试求二人能会面的概率。 解 记经理和他的秘书到达办公室的时间分别为12点X 分与12点Y 分。依题可假定),(Y X 服从区域

{},600,600),(≤≤≤≤=y x y x D

上的均匀分布，其联合概率密度为

?????∈=其它。,

0;

),(,36001),(D y x y x f

（

“二人能会面”这一事件

（图中所示阴影部分）可表示为 ()20||≤-Y X ^ 于是

()20||≤-Y X P

.9

53600

40

403600=?-=

习题解答

1.设随机变量X 与Y 相互独立同分布，且2

1)1()1(=-==-=Y P X P ，

2

1)1()1(====Y P X P ，则( ).

（A ）2

1)(==Y X P （B ）1)(==Y X P

（C ）41)0(==+Y X P （D ）4

1)1(==XY P

解 由X 与Y 相互独立同分布知),(Y X 的联合概率分布为

于是有

.2

1)1,1()0,0()(===+====Y X P Y X P Y X P

2.设随机变量i X )4,3,2,1(=i 相互独立同分布，且6.0)0(==i X P ，

4.0)1(==i X P )4,3,2,1(=i ，求行列式4

3

21X X X X X =

的分布列。

解 32414

3

21X X X X X X X X X -==

，而41X X 、32X X 的概率分布分别

为：

由于i X )4,3,2,1(=i 相互独立，所以41X X 与32X X 也独立同分布，故X 的概率分布为

1344.016.084.0)1()0()1,0()1(32413241=?==?=====-= X X P X X P X X X X P X P

7312

.016.016.04.84.0)()()()0()

1,(),0()(3241324132413241=??=?==?========＋８０ ＝１１＋０ １＋００X X P X X P X X P X X P X X X X P X X X X P X P

1344

.016.084.0)

0()1()0,1()1(32413241=?==?====== X X P X X P X X X X P X P

即

3. 设二维随机向量),(Y X 服从矩形区域{}10,20),(≤≤≤≤=y x y x D 上的均匀分布，且

??

?>≤=.,1;,0Y X Y X U ???>≤=.

2,

1;

2,

0Y X Y X V

求U 与V 的联合概率分布。

解 依题),(V U 的概率分布为

4121)()2,()0,0(1

10==≤=≤≤===??x dy dx Y X P Y X Y X P V U P ； 0)2,()1,0(=>≤===Y X Y X P V U P ；

4

121)2()2,()0,1(21

0==

≤<=≤>===??y

y dy dy Y X Y P Y X Y X P V U P ； 2

1)0,1()1,0()0,0(1)1,1(===-==-==-===V U P V U P V U P V U P .

即

4.求习题第4，5，6题中),(Y X 的联合分布函数。

解 （习题第4题） 当0,0>>y x 时，有

X

P -1 0 1

)1)(1(2),(20

)2(y x x

y

s t e e ds e dt y x F --+---==

?

?；

当00<

?

?

?>>--=--其它。,0;

0,0),1)(1(),(2y x e e y x F y x （习题第5题）

当00<

当20,10≤≤≤≤y x 时，有

)4

(31)31(),(20

02y

x y x ds ts t dt y x F x

y

+=+=

?

?；

当2,10>≤≤y x 时，有 )12(3

1)31(),(20

2

02

+=+=

??x x ds ts t

dt y x F x

；

当20,1≤≤>y x 时，有

)4(12

)31(),(1

00

2y y ds ts t dt y x F y

+=+=

??； 当21>>y x 或时，有1),(=y x F . 所以),(Y X 的联合分布函数为

?????

????≥≥<≤≥+≥<≤+<≤<≤+<<=2

,11

20,1)4(1212,10)

12(3

120,10)4(31000),(22y x y x y y y x x x y x y x y x y x y x F 或

（习题第6题）

类似地可求得),(Y X 的联合分布函数为

??

???≤≤--<≤--<<=----.0,1;0,

1;00,0),(x y ye e y x xe e y x y x F y y y

x 或

5．设二维随机向量),(Y X 的联合概率密度为

???≤≤≤≤=其它。,

0;10,10,4),(y x xy y x f

求),(Y X 的联合分布函数。

解 当00<

当10,10≤≤≤≤y x 时，有 220

4),(y x stds dt y x F x

y

==

?

?；

当1,10>≤≤y x 时，有

20

1

04),(x stds dt y x F x

==

?

?；

当10,1≤≤>y x 时，有 2

1

004),(y stds dt y x F y

==??； 当21>>y x 或时，有1),(=y x F .

所以),(Y X 的联合分布函数为

?????

????≥≥<≤≥≥<≤<≤<≤<<=.

1,1,1;10,1,;1,10,;10,10,;00,

0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或

6. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度函数分别为

???≤≤=。其它,0;

10,1)(x x f X ??

?≤>=-。

0,

0;

0,)(y y Ae y f y Y

求：（1）常数A ；

（2）随机变量Y X Z +=2的概率密度函数。

解 (1) A dy e A dy y f y Y =?==

?

?

+∞

-+∞

∞

-0

)(1.

（2）因X 与Y 相互独立，故),(Y X 的联合概率密度为

?

?

?>≤≤=-其他,00

,10,),(y x e y x f y 于是当0

0)2()()(=≤+=≤=z Y X P z Z P z F ；

当20≤≤z 时，有

???

----==≤+=2

22

20

)1()2()(z z x z x

z y

dx e dy e dx z Y X P z F ；

当2>z 时，有

???

----==≤+=1

210

20

)1()2()(dx e dy e dx z Y X P z F z x x

z y

；

利用分布函数法求得Y X Z +=2的概率密度函数为

????

???

≥-<≤-<=--.2,

)1(2

1;20),1(21;0,0)(2

z e e z e z z f z

z Z

7. 设),(Y X 的联合分布函数为

)4

arctan )(3arctan (),(y

C x B A y x F ++=

求： （1）常数C B A ,,；

（2）),(Y X 的联合概率密度；

（3）),(Y X 的边缘分布函数和边缘概率密度； （4）)3(

（5）判断X 与Y 的独立性。

解 （1）依分布函数的性质知

1

)2

)(2()4arctan )(3arctan (lim lim ),(lim lim ),(=++=++==+∞∞+∞→∞→+∞→∞→ππC B A x C x B A y x F F x x x x ＋＋＋

0)2

)(2(),(=--=∞-∞ππC B A F －；

),0()2

()2()0,(-∞=-=-=-∞F C AB C B A F ππ； 解得21π

=A ，2

π==C B .

(2) 41)

16

1(1)3arctan 2(1),(),(2

22?+?

??

? ??+??=???=y

x x x y y x F y x f π

π )

16)(9(122

2

2

++=

y x π;

(3) 依联合分布函数的性质知

3

arctan 121),()(x x F x F X X π+=+∞=，

4

arctan 121),()(y

y F y F Y Y π+=+∞=;

所以),(Y X 的边缘概率密度分别为

)9(3)(22+=x x f X π， )

16(4)(2

2+=y y f Y π. (4) 43)3()3(==

3)4()4(==

16

9)4,3()4,3(==<

(5) 因为

)()()

16)(9(12),(2

22Y f X f y x y x f ?=++=

π 所以X 与Y 相互独立.

8. 设某仪器由两个部件构成，用X 、Y 分布表示两个部件的寿命（单位：小时），已知),(Y X 的联合分布函数为

?

?

?>>+--=+---。其它,0;

0,0,1),()(5.05.05.0y x e e e y x F y x y x 试求：（1）求),(Y X 的两个边缘分布函数；

（2）求),(Y X 联合概率密度与边缘概率密度；

（3）X 与Y 是否独立；

（4）两个部件寿命都超过100小时的概率。

解 （1）当0≥x 时，有 x y x y x

y X e e e e

x F x F 5.0)(5.05.05.01)1(lim ),()(-+---+∞

→-=+--=+∞=；

当0

??

?≤>-=-.0,

0;

0,

1)(5.0x x e x F x X 类似地),(Y X 关于Y 的边缘分布函数为

??

?≤>-=-.

0,

0;

0,

1)(5.0y y e y F y Y (2) 当0,0>>y x 时，有

())

(5.0)(5.05.0225.0)5.05.0(),(),(y x y x y e e e x

x y y x F y x f +-+--=-??

=???= 所以),(Y X 联合概率密度为

?

?

?>>=+-。其它,0;

0,0,25.0),()(5.0y x e y x f y x 相应地其边缘概率密度分别为

???≤>=-.0,0;0,5.0)(5.0x x e x f x X ??

?≤>=-.

0,

0;

0,

5.0)(5.0y y e y f y Y (3) 因为

)()(),(Y f X f y x f ?=

所以X 与Y 相互独立。

(4) 所求事件的概率为

9048

.0)1.0,1.0()1.0()1.0(1)

1.0,1.0(1.0≈+--=>>-e F F F Y X P Y X ＝　

9. 设X 与Y 相互独立，且X 服从3=λ的指数分布，Y 服从4=λ的指

数分布，试求：

（1）),(Y X 联合概率密度与边缘概率密度； （2）)1,1(<

（3）),(Y X 在{}343,0,0),(<+>>=y x y x y x D 取值的概率。

解（1）依题知

??

?>=-其他,00,3)(3x e x f x X ?

??>=-其他,00

,4)(4y e y f y Y 所以),(Y X 联合概率密度

??

?>>=--其他,

00

,0,12),(43y x e y x f y x 当0,0>>y x 时，有

)1)(1(12),(430

043y x x

y

s t e e ds e dt y x F ------==??

所以),(Y X 联合分布函数

?

?

?>>--=--其他,0;

0,0),1)(1(),(43y x e e y x F y x （2）)1)(1()1,1()1,1(4

3----==<

（3）()31

4

330

434112),(-----==

∈??

e dy e dx D Y X P x y x .

10. 对随机变量X ，Y 有

7

3)0,0(=≥≥Y X P ， 74)0()0(=≥=≥Y P X P

求}0),{max(≥Y X P ，}0),{min(

解 依题得

()

()()()

7

5

7374740,000)0()0(}0),{max(=

-+=≥≥-≥+≥=≥≥=≥ Y X P Y P X P Y X P Y X P ()7

4

0,01}0),{min(1}0),{min(=≥≥-=≥-=< Y X P Y X P Y X P 11. ),(Y X 的联合概率密度为

?

??<<<<=其他,0;

0,10,3),(x y x x y x f

求Y X Z -=概率密度函数。

解 当0

0)()()(=≤-=≤=z Y X P z Z P z F ；

当10≤≤z 时，有

2

2333)()(3

10

z z xdy

dx xdy dx z Y X P z F z

x

z

x z x -=+=≤-=??

??-；

当1>z 时，有1)(=z F .

所以Y X Z -=的概率密度函数为

??

???<≤-=其他,01

0),1(23)(2z z z f z

^