排列组合方法

排列组合方法归纳大全

排列组合方法归纳大全

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，

问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共

2

有多少种不同的排法.

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为

3

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

练习题：

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为

2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法

4

六.环排问题线排策略

例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座

位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不

同排法的种数是

八.排列组合混合问题先选后排策略

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(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合7排列组合问题的常用方法总结1,推荐文档

m m m n ! n m 知识内容 1. 基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中 有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个 步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素） 排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 排列数公式： ， m ， n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合． 表示．规定： 0! = 1 ． 个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个 组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号 表示． 元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中， 组合数公式： ， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ． 1 / 20 排列组合问题的常用方法总 结 1 m (m ≤ n ) m ! C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) = n C m n ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤ n ) N = m 1 ? m 2 ? ? m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) n

排列组合问题的解题策略

排列组合问题的解题策略 排列组合问题的解题策略 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。 评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.

四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种． 解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．3 0 C．20 D．12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相

排列组合常用方法总结

/////////解决排列组合问题常见策略 学习指导 1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。 较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。 排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。 集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。 “正难则反”是处理问题常用的策略。 常用方法： 一. 合理选择主元 例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同 的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。 二. “至少”型组合问题用隔板法 对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。 例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？ 解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有： （种） 三. 注意合理分类 元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。 例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。解：比2015大的四位数可分成以下三类： 第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）； 第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）； 第三类：203×，204×，205×，共有：（个） ∴比2015大的四位数共有237个。

排列组合解题技巧归纳总结

排列组合解题技巧归纳总结 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A =

排列组合常用方法总结

排列组合常用方法总结 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是，请参考！ 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何

一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定。 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。

排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)

种。故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区 不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 解：由题意，选用3种颜色时，C 43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色 方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有 C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72 六、混合问题--先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（ ）种 A. B.3种 C. 种 D. 解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三 个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A 。 例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出 3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共 有（） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种

解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33， ∴种法共有C32A33=18，故选B． 七．相同元素分配--档板分隔法 例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。 解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有2 C种插法，即有15种分 6 法。 2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；③某两个阅览室各得2本，有种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种. 八．转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他

完整版排列组合的二十种解法最全的排列组合方法总结

教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分 析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m i 种不同的方法，在第 2类办法中有m 2种不同的方 法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有叶种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，… 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有: N mi m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 ： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事 ，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少 类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C ； 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3 由分步计数原理得C 4C ；A ； 288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位 置。若 有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排 A 3 ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，冋有 A 5 A 2 A 2 480种不同的

排列组合常用方法总结

排列组合常用方法总结 导读：排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是排列组合常用方法总结，请参考！ 排列组合常用方法总结 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法

中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进 行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi + m2 j + m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有： N = mi江m2汇川X m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进 行,确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 练习题:7种不同的花种在排成一列的xx，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？ 解：把1，5，2，4当作一个小集团与3排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法. 1524

排列组合常用方法总结归纳

排列组合常用方法总结归纳 排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。下面是排列组合常用方法总结，请参考！ 排列组合常用方法总结 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法

中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差，∴2b=a+c, 可知b由a,c决定， 又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2 类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的 排法

排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)

学员数学科目第次个性化教案 授课时间教师姓名备课时间 学员年级高二课题名称排列组合问题的解题策略 课时总数共课时教育顾问学管邱老师 教学目标1、两个计数原理的掌握与应用； 2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握； 3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题） 教学重点1、两个计数原理的掌握与应用； 2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握； 教学难点运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题） 教学过程 教师活动 一、作业检查与评价（第一次课程） 二、复习导入 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 三、内容讲解 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 1 m种不同的方法，在第2类办法中有 2 m种不同的 方法，…，在第n类办法中有 n m种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 1 m种不同的方法，做第2步有 2 m种不同的方法，…， 做第n步有 n m种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 排列组合问题的解题策略

排列组合问题常用方法(二十种)

解排列组合问题常用方法（二十种） 一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法） 例1、由01,2,3,4,5， 可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有1 4C 种组合；最后 排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。由分步计数原理得113344288C C A =。 变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多 少不同的种法？ 分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有5 5A 种排列。由 分步计数原理得25451440A A =。 二、相邻问题捆绑法 例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？ 分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得522522480A A A =。 变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。 分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。 三、相离问题插空法 例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？ 分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个 舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。 变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节 目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。 分析：将2个新节目插入原定5个节目排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有2 6A 种排列， 由分步计数原理得2630A =。 四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法 例4、7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？ 分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。共有不同排法种数为：7733 840A A =。 （空位法）设想有7把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有4 7A 种坐法；甲、乙、丙坐 其余的三个位置，共有1种坐法。总共有47840A =种排法。 思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以） （插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有3 7C 种选法；余下四个空座位让其余四人 就坐，共有44A 种坐法。总共有3474840C A =种排法。 变式4、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的 排法？ 分析：10人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法； 现排成前后两排，因此共有510252C =种排法。

排列组合问题常用的解题方法含答案

高中数学排列组合问题常用的解题方法 一、相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列． 例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的 排法种数有种。 二、相离问题插空法 元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相 离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端． 例2：七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是。 三、定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法． 例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可 不相邻)，那么不同的排法种数有。 四、标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一 个元素，如此继续下去，依次即可完成． 例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。 五、有序分配问题逐分法 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。 例5：有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人 中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有。 六、多元问题分类法 元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。 例6：由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数 字小于十位数字的共有个。 例7：从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？ 例8：从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？ 七、交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 n A B n A n B n A B ?=+-?。 ()()()() 例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙 不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？ 八、定位问题优先法 某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。 例10：1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不

高考数学排列组合解题技巧总结

高考数学排列组合解题技巧总结 一、定义 排列：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中任取m个元素的一个排列. 组合：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列. 二、学习指导 1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的. 2、较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列. 3、排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧. 4、“正难则反”是处理问题常用的策略. 三、常用方法 1、合理选择主元 例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有$A_5^3$种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。 2、“至少”型组合问题用隔板法 对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。 例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？ 解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有:$C_5^3$（种） 3、注意合理分类 元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）

排列组合问题的几种基本方法(复习归纳)

排列组合问题 1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则： ①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1. 分组（堆）问题 例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？ 解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤： ⑴先将四项工程分为三“堆”，有 211421 2 2 6C C C A 种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法. ∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 55A 有=120种排法 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)： 26A 有=30种插入法

120303600∴?共有＝种排法 () 种不同的排法有22 5566P P P -∴ 3.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列. 例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ 解：（1）分两步进行： 甲 乙 第一步，把甲乙排列(捆绑)： 22 A 有＝2种捆法 第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队： 55 A 有＝120种排法 几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔. 几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.

(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合8.排列组合问题的常用方法总结2

1 思维的发掘 能力的飞跃 1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理． ⑴乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???L 种不同的方法．又称乘法原理． ⑴加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑴组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取知识内容 排列组合问题的常用方法总结2

排列组合问题的几种基本方法(复

排列组合问题的几种基本方法(复习归纳)

排列组合问题 1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分； ②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分； ⑤有序等分；⑥有序局部等分.) 处理问题的原则： ①若干个不同的元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1. 分组（堆）问题 例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？ 解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：⑴先将四项工程分为三“堆”，有

211421226C C C A 种分法； ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队， 有3!＝6种给法. ∴共有6×6＝36种不同的发包方式. 2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 55A 有=120种排法 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：

26A 有=30种插入法 120303600∴?共有＝种排法 ()种不同的排法有225566P P P -∴ 3.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列. 例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ 解：（1）分两步进行： 甲 乙 几个元素不能相邻时,先排一 般元素，再让特殊元素插孔.