高三数学下期中模拟试题附答案(9)

高三数学下期中模拟试题附答案(9)

一、选择题

1．在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3

A b π

==ABC ?

则a 的值为（ ） A ．2

B

C

．

2

D ．1

2．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94

-

B ．

94

C ．

274

D ．274

-

3．已知点(),P x y 是平面区域()

4

{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设

()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r

的最小值为M ,

若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）

A ．11,35??-????

B ．11,,35

????-∞-?+∞ ????

???

C ．1,3??-+∞????

D ．1,2??

-

+∞????

4．在等差数列{}n a 中，若

10

9

1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15

B ．16

C ．17

D ．14

5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－

，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A

．1 B

．1 C ．

＋2

D ．

2

6．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ?为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）

A ．2a b =

B ．2b a =

C ．2A B =

D ．2B A =

7．定义在()(),00,-∞?+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若

(){}n

f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()

,00,-∞?+∞上的如下函数： ①()3

f x x =；

②()x

f x e =；

③()f x x =

；

④()ln f x x =

则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．②④

8．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式

2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）

A ．-3

B ．1

C ．-1

D ．3

9．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16

B ．26

C ．8

D ．13

10．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15?的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60?和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

A ．

33

23

B ．

53

23

C ．

73

23

D ．

83

23

11．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，

D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距

6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，

接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）

A ．120km

B ．606km

C ．605km

D ．3km

12．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若

cos cos sin ,c B b C a A += ()

22234

S b a c =+-，则B ∠=

A ．90?

B ．60?

C ．45?

D ．30?

二、填空题

13．已知0a >，0b >，当()2

1

4a b ab

++

取得最小值时，b =__________． 14．已知实数x ，y 满足不等式组2202x y y y x

+-≥??≤??≥?

，则1y

x +的最大值为_______.

15．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则

12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞

+++=L ________________.

16．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________．

17．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥??

+≤??≥-?

，则3z x y =-的最小值为__________．

18．已知12

0,0,2a b a b

>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 19．设

是定义在上恒不为零的函数，对任意

，都有

，若

，

，

，则数列

的前项和

的取值范围是__________．

20．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使

()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.

三、解答题

21．解关于x 的不等式()2

22ax x ax a R -≥-∈.

22．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且

sin sin sin 2sin a A b B c C a B +=+

()1求角C ；

()2求

3sin cos 4A B π?

?-+ ??

?的最大值．

23．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且

222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-．

（1）求角B ；

（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，5

cos()5

A C -=

，求线段DC 的

长．

24．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且

4cos 5

A =． （1）求2

sin

cos 22

B C

A ++的值； （2）若2b =，ABC ?的面积3S =，求a 的值．

25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1

n n n a S S -=+（*n N ∈，且2n ≥） （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：当2n ≥时，

12311113232

n a a a na ++++

B AB B

C π

=

==.点,M N 分别在边AB 和AC 上，将

AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=

（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积，

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】

试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得13

1sin ,2,23c c π??=∴=由余弦定理得

考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．

2．C

解析：C 【解析】

设等比数列的公比为q （q ＞1），1+（a 2-a 4）+λ（a 3-a 5）=0，可得λ=24

53

1a a a a +--则

a 8+λa 9=a 8+

666

929498385888222535353111

a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-，（t ＞0），q 2=t+1，则设f （t ）

=()()()()()()3

2

3

2

6

222

13112111t t t t t t q f t q t t t

++-+-+=='=∴-当t ＞12时，f （t ）递增； 当0＜t ＜1

2

时，f （t ）递减． 可得t=

12处，此时

q=2

f （t ）取得最小值，且为274，则a 8+λa 9的最小值为274； 故选C.

3．C

解析：C 【解析】

试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()

4{0

4y x y x m y ≤-≤≥-对应

的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r

的最小值为0M =

，满足M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()

4

{0

4y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则

()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r

的最小值为0M =

，满足M ≤，当0m <时，由约束条件()

4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r

的最小值为

M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m m

B m m --

，所以OB =u u u r

，由

≤1135m -≤≤，所以1

03

m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是

1,3??-+∞????

，故选C.

考点：简单的线性规划.

【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】

∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列，

又10

9

1a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()

118181802

a a S +=

<，()

117179171702

a a S a +=

=>，

∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17， 故选C ． 【点睛】

本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．

5．D

解析：D 【解析】

由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3，

得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－

∵a 、b 、c >0.

∴(a ＋c )·(a ＋b )≤2

2b c 2a ++?? ?

??

(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，

∴2a ＋b ＋c

＝

1)＝

－2. 故选：D

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误

6．A

解析：A 【解析】

sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+

所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =?=?=，选A.

【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到

2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()

()

1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，则

1

n n

a q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，

()()3

3

131

12n n n n n n f a a a q f a a a +++??=== ???

，该函数为“保等比数列函数”；

对于②中的函数()x

f x e =，

()()1

11n n n n a a a n a n f a e e f a e

++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数(

)f x =()

(

)

1n n f a f a +==

=，该函数为“保等比数

列函数”；

对于④中的函数()ln f x x =，()()1

1ln ln n n n n

a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函

数”.故选：C. 【点睛】

本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

8．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出

,a b ，可得答案.

【详解】

由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().

因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b

-+=-??-?=?,即=12a b -??=-?. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】

本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.

9．D

解析：D 【解析】 【详解】

试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，

∴1134101313()13()

1322

a a a a S ++=

==，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

如解析中图形，可在HAB ?中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ?中求出直角边

HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】

如图，由题意45,105HAB HBA ∠=?∠=?，∴30AHB ∠=?，

在HAB ?中，

sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102

sin 45sin 30HB =

??

，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=?=，

10353

4623

v =

=

（米/秒）． 故选B ． 【点睛】

本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．

11．D

解析：D 【解析】 【分析】

先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得

cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】

取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.

因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以

60DE km =,60ADE ∠=o ,

在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,

因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o ,

所以240CD =

==km ,

所以cos 2404

BD BDC CD ∠===

, 因为1

360904

DF km =?

=, 所以在三角形BDF 中,

222222cos 90290BF BD DF BD DF BDF =+-??∠=+-?g 10800=,

所以BF =km .

故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改

变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有. 故选D . 【点睛】

本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.

12．D

解析：D 【解析】 【分析】

由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】

由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2

sin cos sin cos sin ,C B B C A +=

()2sin sin sin 1C B A A ?+=?=,因为000180A <<，所以090A =；

由余弦定理、三角形面积公式及)

2224S b a c =

+-，得1sin 2cos 24

ab C ab C =,

整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】

本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．

二、填空题

13．【解析】【分析】根据均值不等式知即再由即可求解注意等号成立的条件【详解】（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）

故答案为【点睛】本题主要考查了均值不等式不等式等号成立的条件属于中

解析：1

4

【解析】 【分析】

根据均值不等式知，4a b +≥=()2

416a b ab +≥，再由

41684ab a b +

≥=?即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】

4a b +≥=Q （当且仅当4a b =等号成立），

()2

416a b ab ∴+≥（当且仅当4a b =等号成立），

()2

444a b a b ∴++≥?8=（当且仅当4a b =等号成立）， ()2

2

4

281a a a ∴+

=?=. 故答案为14

b =. 【点睛】

本题主要考查了均值不等式，不等式等号成立的条件，属于中档题.

14．2【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域根据目标函数的几何意义结合图象即可求解得到答案【详解】由题意作出不等式组表示的平面区域如图所示又由即表示平面区域内任一点与点之间连线的斜率显然直线的斜率最

解析：2 【解析】 【分析】

作出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图象，即可求解，得到答案. 【详解】

由题意，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，

又由()011y y x x -=+--，即1

y x +表示平面区域内任一点(),x y 与点()1,0D -之间连线的斜率，

显然直线AD 的斜率最大， 又由2202x y y +-=??=?

，解得()0,2A ，则02

210AD k -=

=--， 所以

1

y

x +的最大值为2.

【点睛】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

15．【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时 解析：

323

【解析】 【分析】

求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++L ，即可计算出所求极限值. 【详解】 由已知321

2a q a =

=，23112()()22

n n n a --=?=，3225211111

()()()2()2224

n n n n n n a a ----+=?==?，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公

比为1

'4

q =

的等比数列， 11223118[(1()]

3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--L ，

1223132132

lim ()lim [1()]343

n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=L . 故答案为323

. 【点睛】

本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

16．an=4n=12n+1n≥2【解析】【分析】根据和项与通项关系得结果【详解】当n≥2时an ＝Sn －Sn －1＝2n ＋1当n ＝1时a1＝S1＝4≠2×1＋1因此an ＝4n=12n+1n≥2

【点睛】本题考 解析：

【解析】 【分析】

根据和项与通项关系得结果. 【详解】

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝.

【点睛】

本题考查和项与通项公式关系，考查基本分析求解能力.

17．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为

解析：-10 【解析】

作出可行域如图所示：

由3z x y =-得33x z y =

-，平移直线33

x z

y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33

x z

y =-的截距最大，此时z 最小

由1{2

x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--?=- 故答案为10-

18．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换 解析：

92

【解析】 【分析】 先化简1112

2(2)2(2)()22a b a b a b a b

+=?+?=?+?+，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a

+=

?+?=?+?+=++ 1229

(52)22

a b b a ≥

+?=. 当且仅当2212

2

3222a b a b

a b

?+=?==??=?即时取等. 故答案为：9

2

【点睛】

本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换.

19．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy ∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=ny=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析：

【解析】

试题分析：由题意，对任意实数

，都有

，则令

可得 ，即，即数列是以

为首项，

以为公比的等比数列，故

考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质

20．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【

解析：3

(3,)2

-

【解析】

试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定

是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0

{

(1)0

f f ≤-≤，即

2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得222390{210

p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以

二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是

3

(3,)2

-.

考点：一元二次方程的根与系数的关系.

【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.

三、解答题

21．当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-； 当0a >时，不等式的解集为2

{|x x a

≥

或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2

{|

1}x x a

≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a

-≤≤. 【解析】 【分析】

将原不等式因式分解化为()()210ax x -+≥，对参数a 分5种情况讨论：0a =，

0a >，20a -<<，2a =-，2a <-，分别解不等式． 【详解】

解：原不等式可化为()2

220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥，

①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ??

-+≥ ???

， 解得2

x a

≥

或1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ??

-

+≤ ??

?

.

当2

1a >-，即2a <-时，解得21x a -≤≤； 当2

1a

=-，即2a =-时，解得1x =-满足题意； 当

21a

<-，即20a -<<时，解得2

1x a ≤≤-.

综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-； 当0a >时，不等式的解集为2

{|x x a

≥

或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2

{|

1}x x a

≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a

-≤≤. 【点睛】

本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a 分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述. 22．()()124

C π

=2

【解析】

试题分析：（1）由正弦定理得到222a b c +=，再由余弦定理得到

()222cos 0224

a b c C C C ab π

π+-==∈∴=，；（2）由第一问得到原式等价于

3

cos 44A A ππ??--+ ???，化简后为2sin 6A π?

?=+ ??

?，再根据角的范围得到三角函数

的范围即可． 解析：

()

2221sin sin sin sin a A b B c C B a b c +=∴+=Q

即2

2

2

a b c +-=由余弦定理()222cos 024

a b c C C C ab π

π+-==∈∴=，

（2cos 4A B π?

?

-+

= ??

?

31

cos cos 2cos 4422A A A A A A π

π????--+=-=+ ? ? ?????

2sin 6A π?

?=+ ??

?

()110,,6612

A A π

πππ??∈+

∈ ???

Q ，， 12sin 26A π?

?-≤+≤ ??

?

cos 4A B π?

?-+ ??

?的最大值为2

23．（Ⅰ）6

B π

=;

（Ⅱ）5AD =．

【解析】

【试题分析】（1

）运用正弦定理将已知中的222sin sin sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件DA DC =，且11a =，

(

)cos A C -=

，再运用正弦定理建立方程求解：

（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a c b +-=

所以cos B =． 因为()0,B π∈，所以6

B π

=

．

（Ⅱ）由条件．由(

)(

)cos sin A C A C -=

?-=

．设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ?中，由正弦定理得

sin sin BD AD

BAD B

=∠

．故

512x

x =?=

．所以5AD DC ==． 24．（Ⅰ）59

50

（Ⅱ）a

【解析】 【分析】 【详解】

222221131

sin cos 2cos 12sin cos 12sin cos 2sin 222222 B C A A A A A A A ++=+-=++-=+-?

3

sin 5A =

,4cos 5

A ∴= 2

231314959sin cos 2cos 2sin 2222225 5 250

B C A A A ++=+-=+?-?= （2）13

3sin ,2,sin 25

bc A b A =

==

25．(1) 21n a n =- (2)见证明 【解析】 【分析】

(1)由题意将递推关系式整理为关于n S 与1n S -的关系式，求得前n 项和然后确定通项公式即可；

(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式. 【详解】 （1）由1n n n a S S -=11n n n n S S S S ---=+11(2)n n S S n -=≥，

所以数列

{}n

S 111S a ==为首项，以1为公差的等差数列，

1(1)1n S n n =+-?=，即2

n S n =，

当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，

当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-； （2）当2n ≥时，

111(21)(22)n na n n n n =<--111112(1)21n n n n ??==- ?--??

， 所以

123111123n a a a na +++???+1111111122231n n ??<+-+-++- ?-??L 313222

n =-< 【点睛】

给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 26．()1212sin 42AM ππθθ??=≤≤ ?

?? ()2433；=S 【解析】 【分析】

（1）在直角A BM '?中，得出A M '与θ的关系，从而得出AM 与θ的不等式； （2）在AMN ?中，利用正弦定理求出AN ，得出AN 的最小值，从而得出CN 的最大值. 【详解】

（1）设MA MA x '==，则1MB x =-， 在直角A BM '?中，1cos(1802)x

x

θ--=

o

，

解得2111cos 22sin x θθ=

=-，即21

2sin AM θ

=，

因为A '在边BC 上，所以4

2

π

π

θ≤≤

.

（2）因为,1,2

B AB B

C π

∠=

==2AC =，所以60BAC ∠=o ，

在AMN ?中，由AMN θ∠=，可得18060120ANM θθ∠=--=-o o o ， 又由2

1

2sin MN θ

=

， 根据正弦定理，可得sin sin(120)

AN AM

θθ=-o ， 所以sin 1

sin(120)2sin sin(120)

AM AN θθθθ?=

=--o o ，

令212sin sin(120)2sin (sin )sin cos 2

2

t θθθθθθθθ=-=?+

=+o

1112cos 2sin(230)222

θθθ=

-=+-o ， 因为4590θ<

2

， 即当60θ=o 时，AN 有最小值23

， 所以CN 的最大值为

43

，

当60θ=o 时，AMN ?为等边三角形，AMN ?面积为22()3S ==

【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.