2020版高考数学一轮复习第8章立体几何6第6讲空间向量及其运算教案理

第6讲 空间向量及其运算

1．空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数

λ，使得a ＝λb ．

(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝π

2，

则称向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b . (2)两向量的数量积

两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (3)向量的数量积的性质

①a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)； ②a ⊥b ?a ·b ＝0； ③|a |2

＝a ·a ＝a 2

； ④|a ·b |≤|a ||b |.

(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②a ·b ＝b ·a (交换律)；

③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算

(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．

a ＋

b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，

λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3， a ⊥b ?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，

a ∥

b ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )，

cos 〈a ，b 〉＝a ·b |

a |·|

b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3

a 21＋a 22＋a 23·

b 21＋b 22＋b 2

3

. (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则AB →＝OB →－OA →

＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →

为直线l 的方向向量，与AB →

平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个． (2)平面的法向量

①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．

②确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组

为?

????n·a ＝0，n·b ＝0. 5．空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示

直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2

l 1∥l 2 n 1∥n 2?n 1＝λn 2 l 1⊥l 2 n 1⊥n 2?n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m l ∥α n ⊥m ?n ·m ＝0 l ⊥α n ∥m ?n ＝λm 平面α，β的法向量分别为n ，m

α∥β n ∥m ?n ＝λm α⊥β

n ⊥m ?n ·m ＝0

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( )

(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )

(4)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) (6)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√

在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA|＝

|PB|，则P 点坐标为( )

A ．(3，0，0)

B ．(0，3，0)

C ．(0，0，3)

D ．(0，0，－3)

解析：选C .设P(0，0，z)，则有 （1－0）2

＋（－2－0）2

＋（1－z ）2

＝（2－0）2

＋（2－0）2

＋（2－z ）2

，解得z ＝3.

(教材习题改编)在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →

相等的向量是( ) A ．－12a ＋1

2b ＋c

B.12a ＋1

2b ＋c C ．－12a －1

2

b ＋c

D.12a －1

2

b ＋

c 解析：选A.由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →

)

＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋1

2

b ＋

c .

(教材习题改编)已知a ＝(2，4，x )，b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值为________．

解析：因为a ＝(2，4，x )，|a |＝6，则x ＝±4， 又b ＝(2，y ，2)，a ⊥b ， 当x ＝4时，y ＝－3，x ＋y ＝1. 当x ＝－4时，y ＝1，x ＋y ＝－3. 答案：1或－3

若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y ，2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，

z )，且α∥β，则y ＋z ＝________．

解析：因为α∥β，所以u 1∥u 2，所以－36＝y －2＝2z ，

所以y ＝1，z ＝－4，所以y ＋z ＝－3. 答案：－3

空间向量的线性运算

[典例引领]

如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．

(1)化简A 1O →－12AB →－12AD →

＝________．

(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→

＝________．

【解析】 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →

＝A 1O →＋OA →＝A 1A →

.

(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →

)．

所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→

＝12AB →＋12

AD →＋AA 1→. 【答案】 (1)A 1A →

(2)12AB →＋12

AD →＋AA 1→

若本例条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→

，

试求x ，y ，z 的值． 解：EO →＝ED →＋DO → ＝－23DD 1→＋12(DA →＋DC →)

＝12AB →－12AD →－23

AA 1→， 由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23

.

用已知向量表示某一向量的方法

[通关练习]

1．在空间四边形ABCD 中，若AB →＝(－3，5，2)，CD →

＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →

的坐标为( ) A ．(2，3，3)

B ．(－2，－3，－3)

C ．(5，－2，1)

D ．(－5，2，－1)

解析：选B.因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，O 为坐标原点，所以EF →＝OF →－OE →，OF →

＝12(OA →＋OD →)，OE →＝12

(OB →＋OC →)． 所以EF →＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →)

＝1

2[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)] ＝1

2

(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)． 2.在三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示(1)MG →；(2)OG →

. 解：(1)MG →＝MA →＋AG →

＝12OA →＋23AN → ＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.

(2)OG →＝OM →＋MG → ＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC → ＝13OA →＋13OB →＋13

OC →.

共线、共面向量定理的应用

[典例引领]

已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：

(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .

【证明】 (1)连接BG (图略)， 则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12

(BC →＋BD →)

＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，

由共面向量定理的推论知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →

)

＝12

BD →

，所以EH ∥BD . 又EH ?平面EFGH ，BD ?平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .

(1)证明空间三点P 、A 、B 共线的方法 ①PA →＝λPB →

(λ∈R )；

②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →

(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →

(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；

②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →

；

③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →

(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或PA →∥MB →或PB →∥AM →

)．

[通关练习]

1．已知a ＝(λ＋1，0，2)，b ＝(6，2μ－1，2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12

B ．－13，12

C ．－3，2

D ．2，2

解析：选 A.因为a ∥b ，所以b ＝k a ，即(6，2μ－1，2λ)＝k (λ＋1，0，2)，所以?????6＝k （λ＋1），2μ－1＝0，2λ＝2k ，

解得?????λ＝2，μ＝12或????

?λ＝－3，μ＝1

2. 2．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →

)．

(1)判断MA →，MB →，MC →

三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．

解：(1)由题知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →

， 所以OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →

)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， 所以MA →，MB →，MC →

共面．

(2)由(1)知，MA →，MB →，MC →

共面且基线过同一点M ， 所以M ，A ，B ，C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内．

空间向量的数量积

[典例引领]

如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC 1→

的长；

(2)求BD 1→与AC →

夹角的余弦值．

【解】 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→

＝c ，

则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， 所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝1

2

.

|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2

＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×? ????12＋12＋12＝6，

所以|AC 1→

|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →

＝a ＋b ， 所以|BD 1→|＝2，|AC →

|＝3，

BD 1→·AC →

＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，

所以cos 〈BD 1→

，AC →

〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|

＝66.

即BD 1→与AC →

夹角的余弦值为66

.

(1)空间向量数量积计算的两种方法 ①基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．

②坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.

(2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 ①a ≠0，b ≠0，a ⊥b ?a ·b ＝0. ②|a |＝a 2

.

③cos 〈a ，

b 〉＝a ·b

|a ||b |

.

[通关练习]

1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143

C.145

D ．2

解析：选D.由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2

－λa ·b ＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.

2．已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →

. (1)求a 和b 夹角的余弦值； (2)设|c |＝3，c ∥BC →

，求c 的坐标．

解：(1)因为AB →＝(1，1，0)，AC →

＝(－1，0，2)， 所以a ·b ＝－1＋0＋0＝－1，|a |＝2，|b |＝5，

所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×5

＝－10

10.

(2)BC →

＝(－2，－1，2)．设c ＝(x ，y ，z )， 因为|c |＝3，c ∥BC →

，

所以x 2＋y 2＋z 2

＝3，存在实数λ使得c ＝λBC →，

即????

?x ＝－2λ，y ＝－λ，z ＝2λ，联立解得?????x ＝－2，y ＝－1，z ＝2，λ＝1，或?????x ＝2，y ＝1，z ＝－2，λ＝－1，

所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)．

利用空间向量证明平行和垂直(高频考点)

空间几何中的平行与垂直问题是高考试题中的热点问题．考查形式灵活多样，可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，是高考中的重要得分点．高考对空间向量解决此类问题常有以下两个命题角度：

(1)证明平行问题； (2)证明垂直问题．

[典例引领]

角度一 证明平行问题

如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角

三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．求证： (1)PB ∥平面EFG . (2)平面EFG ∥平面PBC .

【证明】 (1)因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形， 所以AB ，AP ，AD 两两垂直．

以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．

法一：EF →＝(0，1，0)，EG →

＝(1，2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即?

???

?y ＝0，x ＋2y －z ＝0，

令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量， 因为PB →

＝(2，0，－2)， 所以PB →·n ＝0，所以n ⊥PB →，

因为PB ?平面EFG ，所以PB ∥平面EFG .

法二：PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →

＝(1，1，－1)． 设PB →＝sFE →＋tFG →，

即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，

所以?????t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，

解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →，

又因为FE →与FG →不共线，所以PB →，FE →与FG →

共面． 因为PB ?平面EFG ，所以PB ∥平面EFG . (2)因为EF →＝(0，1，0)，BC →

＝(0，2，0)， 所以BC →＝2EF →，

所以BC ∥EF .

又因为EF ?平面PBC ，BC ?平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC ，

同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC . 又EF ∩GF ＝F ，EF ?平面EFG ，GF ?平面EFG ， 所以平面EFG ∥平面PBC . 角度二 证明垂直问题

如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面

ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)

证明：AP ⊥BC ；

(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC . 【证明】 (1)如图所示，以O 为坐标原点，以射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz . 则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，

B (4，2，0)，

C (－4，2，0)，P (0，0，4)．

于是AP →＝(0，3，4)，BC →

＝(－8，0，0)， 所以AP →·BC →

＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0， 所以AP →⊥BC →

，即AP ⊥BC .

(2)由(1)知AP ＝5，又AM ＝3，且点M 在线段AP 上， 所以AM →＝35AP →＝? ????0，95，125，又BA →

＝(－4，－5，0)，

所以BM →＝BA →＋AM →＝? ?

???－4，－165，125，

则AP →·BM →＝(0，3，4)·? ????－4，－165，125＝0，

所以AP →⊥BM →

，即AP ⊥BM ， 又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，

所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ?平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .

(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤

①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系；

②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；

③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题． (2)空间线面位置关系的坐标表示

设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)． ①线线平行

l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.

②线线垂直

l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.

③线面平行(l ?α)

l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0.

④线面垂直

l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3.

⑤面面平行

α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4.

⑥面面垂直

α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.

[通关练习]

1.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，

A 1M ＝AN ＝

2a

3

，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定

解析：选B.因为正方体棱长为a ，A 1M ＝AN ＝2a

3

， 所以MB →＝23A 1B →，CN →＝23

CA →，

所以MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23A 1B →＋BC →＋23CA →

＝23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →

) ＝23B 1B →＋13

B 1

C 1→. 又因为C

D 是平面B 1BCC 1的法向量，

且MN →·CD →＝? ????23B 1B →＋13B 1C 1→·CD →

＝0，

所以MN →⊥CD →

，又MN ?平面B 1BCC 1， 所以MN ∥平面B 1BCC 1.

2．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N →＝λNC →

，且

AB 1⊥MN ，则λ的值为________．

解析：如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以MC →，MA →，MP →

的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 因为底面边长为1，侧棱长为2，则A ? ??

??

0，

32，0，B 1(－12，0，

2)，C ? ????12，0，0，C 1? ????12，0，2，

M (0，0，0)，设N ? ??

??12

，0，t ，

因为C 1N →＝λNC →，所以N ? ????1

2，0，21＋λ，

所以AB 1→＝? ????－1

2，－32，2，MN →＝? ????12，0，21＋λ.

又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1→·MN →

＝0. 所以－14＋41＋λ＝0，所以λ＝15.

答案：15

3．在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，

PB 的中点．

(1)求证：EF ⊥CD ；

(2)在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 坐标；若不存在，试说 明理由．

解：(1)证明：由题意知，DA ，DC ，DP 两两垂直．

如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，

则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，

E ?

????a ，a 2

，0，P (0，0，a )，F ? ??

??a 2，a 2，a 2.

EF →

＝? ??

??－a

2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)．

因为EF →·DC →

＝0，

所以EF →⊥DC →

，从而得EF ⊥CD . (2)假设存在满足条件的点G ，

设G (x ，0，z )，则FG →＝? ????x －a

2

，－a 2，z －a 2，

若使GF ⊥平面PCB ，则由

FG →·CB →＝? ????x －a

2

，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)

＝a ? ?

?

??

x －a 2＝0，得x ＝a

2； 由FG →·CP →＝? ????x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 2

2＋a ? ??

??z －a 2＝0，得z ＝0. 所以G 点坐标为? ??

??a

2，0，0， 故存在满足条件的点G ，且点G 为AD 的中点．

建立空间直角坐标系的原则

(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直． (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 利用空间向量坐标运算求解问题的方法

用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化． 易错防范

(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别．

(2)共线向量定理中a ∥b ?存在唯一的实数λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0.

(3)在利用MN →＝xAB →＋yAC →

①证明MN∥平面ABC 时，必须说明M 点或N 点不在面ABC 内(因为①式只表示MN →与AB →，AC →

共面)．

(4)找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角．

(5)a ·b <0不等价为〈a ，b 〉为钝角，因为〈a ，b 〉可能为180°；a ·b >0不等价为〈a ，b 〉

为锐角，因为〈a ，b 〉可能为0°.

1.已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →

＝

b ，OC →＝

c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →

等于( )

A.1

2(b ＋c －a ) B.1

2(a ＋b ＋c ) C.1

2(a －b ＋c ) D.1

2

(c －a －b ) 解析：选D.MN →＝MA →＋AO →＋ON →＝1

2

(c －a －b )．

2．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B ．9 C.647

D.657

解析：选D.由题意知存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ， 即(7，5，λ)＝x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2)， 由此得方程组????

?7＝2x －y ，5＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y .

解得x ＝337，y ＝177，所以λ＝997－347＝65

7

.

3．已知A (1，0，0)，B (0，－1，1)，O 为坐标原点，OA →＋λOB →与OB →

的夹角为120°，则λ的值为( ) A ．±66 B.66

C ．－

66

D ．± 6

解析：选C.OA →＋λOB →

＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝

λ＋λ1＋2λ2

·2

＝－12，得λ＝±6

6.

经检验λ＝

66不合题意，舍去，所以λ＝－66

. 4．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →

>0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形

D ．空间四边形

解析：选 D.由AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →

>0，知该四边形一定不是平面图形．

5．(2018·唐山统考)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12

MC →

1，N 为

B 1B 的中点，则|MN →

|为( )

A.

216a B.66a C.156

a D.

153

a 解析：选A.以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ， 则A (a ，0，0)，C 1(0，a ，a )，

N ? ??

??a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )，

因为点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→

，所以(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，所以x ＝23

a ，y ＝

a

3，z ＝a

3.

所以M ?

??

?

?2a 3，a 3，a 3，所以|MN

→| ＝

? ????a －23a 2＋? ????a －a 32＋? ??

??a 2－a 32

＝216a . 6．已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，用a 、

b 、

c 表示向量MN →

＝________．

解析：如图所示， MN →

＝12

(MB →＋MC →

)＝12

[(OB →－OM →)＋(OC →－OM →

)]＝12

(OB →＋OC →－2OM →

)＝12

(OB →＋OC

→－OA →)＝1

2

(b ＋c －a )．

答案：1

2

(b ＋c －a )

7.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π

3，则cos

〈OA →，BC →

〉的值为________． 解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，

由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π

3，且|b |＝|c |，

OA →·BC →

＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝12|a ||c |－1

2|a ||b |＝0， 所以OA →⊥BC →，

所以cos 〈OA →，BC →

〉＝0. 答案：0

8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →

＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →

是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →

.其中正确的是________． 解析：因为AB →·AP →＝0，AD →·AP →

＝0， 所以AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确． 又AB →与AD →

不平行，

所以AP →

是平面ABCD 的法向量，则③正确．

因为BD →＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →

＝(－1，2，－1)， 所以BD →与AP →

不平行，故④错． 答案：①②③

9．已知a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)． (1)求|2a ＋b |；

(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →

⊥b ？(O 为原点) 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)， 故|2a ＋b |＝02

＋（－5）2

＋52

＝5 2. (2)令AE →＝tAB →

(t ∈R )，

所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB → ＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →

·b ＝0，

所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝9

5.

所以－3＋t ＝－65，－1－t ＝－145，4－2t ＝2

5，

因此存在点E ，使得OE →

⊥b ， 此时E 点的坐标为(－65，－145，2

5

)．

10．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)． (1)求以AB ，AC 为边的平行四边形的面积；

(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →

垂直，求向量a 的坐标． 解：(1)由题意可得： AB →

＝(－2，－1，3)，AC →

＝(1，－3，2)，

所以cos 〈AB →，AC →

〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|

＝

－2＋3＋6

14×14＝714＝12

.

所以sin 〈AB →，AC →

〉＝32

，

所以以AB ，AC 为边的平行四边形的面积为

S ＝2×12

|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →

〉

＝14×

3

2

＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，

由题意得????

?x 2＋y 2＋z 2

＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，

解得?????x ＝1，y ＝1，z ＝1或????

?x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1，

所以向量a 的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．

1．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( ) A ．(1，1，1) B.? ????2

3，23，1 C.? ????2

2，22，1 D.?

??

??2

4，24，1 解析：选C.设M 点的坐标为(x ，y ，1)，因为AC ∩BD ＝O ，所以O ? ??

??2

2，22，0， 又E (0，0，1)，A (2，2，0)，

所以OE →＝? ?

???－22，－22，1，AM →＝(x －2，y －2，1)，

因为AM ∥平面BDE ，所以OE →∥AM →

，

所以?????x －2＝－

22

，y －2＝－22，??????x ＝2

2，y ＝2

2，

所以M 点的坐标为?

??

??2

2，22，1. 2．已知ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列四个命题： ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2

； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →

)＝0；

③向量AD 1→与向量A 1B →

的夹角是60°；

④正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →

|. 其中正确命题的序号是________．

解析：①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3A 1B 1→2

，故①正确； ②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→

，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；

③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但AD 1→与A 1B →

的夹角为120°，故③不正确； ④中|AB →·AA 1→·AD →

|＝0，故④也不正确．

答案：①②

3.如图，在多面体ABC -A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊1

2BC ，二面角A 1-AB -C 是直二面角．

求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .

证明：因为二面角A 1-AB -C 是直二面角， 四边形A 1ABB 1为正方形， 所以AA 1⊥平面BAC . 又因为AB ＝AC ，BC ＝2AB ， 所以∠CAB ＝90°， 即CA ⊥AB ，

所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，

设AB ＝2，则A (0，0，0)，B 1(0，2，2)，A 1(0，0，2)，C (2，0，0)，C 1(1，1，2)． (1)A 1B 1→＝(0，2，0)，A 1A →＝(0，0，－2)，AC →

＝(2，0，0)， 设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则?????n ·A 1A →＝0，n ·AC →＝0，即?

???

?－2z ＝0，2x ＝0，

即?

????x ＝0，

z ＝0，取y ＝1，则n ＝(0，1，0)． 所以A 1B 1→

＝2n ， 即A 1B 1→

∥n .

所以A 1B 1⊥平面AA 1C .

(2)易知AB 1→＝(0，2，2)，A 1C 1→＝(1，1，0)，A 1C →

＝(2，0，－2)， 设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则?????m ·A 1C 1→＝0，m ·A 1C →＝0，即????

?x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1

＝0，

令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1， 即m ＝(1，－1，1)．

所以AB 1→

·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， 所以AB 1→

⊥m ，

又AB 1?平面A 1C 1C ， 所以AB 1∥平面A 1C 1C .

4.如图所示，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． (1)求证：AC ⊥SD .

(2)若SD ⊥平面PAC ，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．

解：(1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，连接SO ，则AC ⊥BD . 由题意知SO ⊥平面ABCD .

以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →

分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图．

设底面边长为a ，则高SO ＝6

2

a ， 于是S ? ????0，0，

62a ，D ? ??

??－22a ，0，0， B ?

????22a ，0，0，C ? ??

??

0，22a ，0，

OC →

＝? ?

???0，

22a ，0，SD →＝? ?

???－22

a ，0，－62a ， 则OC →·SD →

＝0. 故OC ⊥SD . 从而AC ⊥SD .

(2)棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC . 理由如下：

由已知条件知DS →

是平面PAC 的一个法向量， 且DS →＝? ????2

2a ，0，62a ，CS →＝? ????0，－22a ，62a ，

BC →

＝? ?

?

??－

22a ，22a ，0. 设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →

＝? ??

??－

22a ，22a （1－t ），62at ， 而BE →·DS →

＝0，

空间向量与立体几何(整章教案)

空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教

材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与

空间向量和立体几何练习题及答案.

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，

学案37 空间向量及其运算(理科 )

空间向量及其运算（理科 ） 一、 学习目标： 1、知识与技能：了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，用向量的数量积判断向量的共线与垂直 2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。 3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，体会数学的科学价值，获得学习的快乐。 二、知识梳理：：已知向量111222(,,),(,,)x y z x y z ==a b 1、±=a b 2、λa = 3、?a b = 4、共线向量定理：（1）//a b ()≠?0b ? （2）//a b 222(0)x y z ≠? （3）与)0(≠a a 共线的单位向量是 5、共面向量定理： 6、空间向量分解定理： 7、空间向量b a ,的数量积（1）夹角 ； （2）两个向量b a ,数量积的定义： ； （3）两个向量b a ,数量积的性质 ， ， ， 。 （4）数量积满足的运算律： ， ， 。 8、两个向量的夹角及长度的计算：设),,(),,,(321321b b b b a a a a ==， 则=a ________，cos= ____________ 三、基础训练： （1）在空间四边形OABC 中，,,,OA OB OC === a b c 点M 在OA 上，且 OM=2MA ，N 是BC 的中点，则MN = . （2）已知,R λ∈a 为非零向量，则下列结论正确的是（ ） （A ）λa 与a 同向 （B ）|λa |=λ|a | （C ）（λa ）//a (D) |λa |=|λ|a （3）设非零向量a ，b ，c ，,|||||| =++a b c p a b c 那么||p 的取值范围是（ ） （A ）[0,1] （B ）[1,2] （C ）[0,3] (D) [1,3] （4）在平行六体ABCD A B C D ''''-中,AB=4,AD=3,5,AA '=90BAD ∠= ,

空间向量及其运算详细教案

空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量

空间向量在立体几何中的应用教案

空间向量在立体几何中的应用 教学目标: （1）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 （2）能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 （3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题 重点与难点: 用向量方法解决线面角、二面角问题 教学过程： 1.利用空间向量求两异面直线所成的角的方法及公式为: 异面直线所成角 设分别为异面直线的方向向量，则 2.利用空间向量求直线与平面所成的角的方法及公式为: 线面角 设是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3.利用空间向量求二面角的方法及公式为: 二面角)1800(00≤≤θθ 设 分别为平面 的法向量，则θ与 互补或相等， 注意：运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为： （1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。 例1：已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1 2AB ，N 为AB 上一点， AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. （1）证明：CM ⊥SN ； （2）求SN 与平面CMN 所成角的大小. 分析：本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB 、AC 、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标

系，如图。 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0)，S(1,1 2,0) （1） 111(1,1,),(,,0), 222 11 00 22 1 (II)(,1,0), 2 (,,)CMN 022,(2,1,2) 1021 -1-22|cos |= 22 32 SN CMN CM SN CM SN CM SN NC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=?-+=??==-??-+=??<>=? 因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o 45角为 例2：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥， 2AB EF =，90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 分析：本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解： ,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥ 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 A E F B C D H G X Y Z

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本 来法向量就己经存在了 ，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧 ，但法向量找出来了 ， 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B

空间向量高中数学教案课程

空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：

1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．

人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案空间向量及其加减运算

空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算 预习课本P84～85，思考并完成以下问题 1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？ 2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合律吗？ [新知初探] 1．空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模． (3)表示法：????? ①几何表示法：空间向量用有向线段表示. ②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也 可以记作AB ，其模记为|a |或|AB |. 2．几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a |＝1或|AB |＝1 相反向量 与a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量 －a

相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或AB＝CD 3.空间向量的加法和减法运算 空间向量的运算 加法OB＝OA＋AB＝a＋b 加法Z CA＝OA－OC＝a－b 运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同() (2)零向量没有方向() (3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致() 答案：(1)√(2)×(3)√ 2．化简PM－PN＋MN所得的结果是() A．PM B．NP C．0 D．MN 答案：C 3．在四边形ABCD中，若AC＝AB＋AD，则四边形ABCD的形状一定是() A．平行四边形B．菱形 C．矩形D．正方形 答案：A 4．在空间中，把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． 答案：球面 空间向量的概念辨析 [典例] A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC [解析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|

数学选修空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：

①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

2019高考数学考点突破——空间向量与立体几何空间向量及其运算学案

空间向量及其运算 【考点梳理】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π 2 ，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 2 3 考点一、空间向量的线性运算 【例1】如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB → ＝b ，AD → ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)MP →＋NC 1→. [解析] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1 2 b . (2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP → ＝12 A 1A →＋AP → ＝－12a ＋? ? ???a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→

利用空间向量立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向 量也叫做共线向量或平行向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ （b ρ≠0ρ）， a ρ b ρa ρb ρλ=)1(=++=y x y x 其中 a ± 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件 是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量 p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三 个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐 标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位 正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。空间中任一向量k z j y i x a ++==（x,y,z ） （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，

空间向量及其线性运算(教案)

课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，

高考数学一轮复习(北师大版理科)：第7章立体几何第6节空间向量及其运算学案

第六节空间向量及其运算 [考纲传真]1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． (对应学生用书第120页) [基础知识填充] 1．空间向量的有关概念 2. (1)共线向量定理：空间两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在实数λ，使 得a＝λb. (2)空间向量基本定理：如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量．a是空间任 一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，其中e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底． 3．两个向量的数量积及运算律 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①交换律：a·b＝b·a； ②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c； ③(λa)·b＝λ(a·b)． 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( ) (2)对任意两个空间向量a ，b ，若a ·b ＝0，则a ⊥b .( ) (3)若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角．( ) (4)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA → ＝0.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．(教材改编)如图7-6-1所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB → ＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM → 相等的向量是( ) 图7-6-1 A ．－12a ＋1 2b ＋c B ．12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －1 2 b ＋c D ．12a －1 2 b ＋ c A [BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB → )＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12 b ＋ c .] 3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥d C ．c 不平行于d ，c 也不垂直于d D ．以上三种情况均有可能 B [由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面． ∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面．∴c ⊥d .] 4．已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 2 6 [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0， ∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2 ＋22 ＋22 ＝2 6.]

高中数学空间向量与立体几何的教学反思

空间向量与立体几何的教学反思 本部分是高三理科数学复习的一个重要部分，是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。 利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系 一、现将原大纲目标与新课程目标进行简单的比较：

《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的

过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。 新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题，这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或工作、生活中应用数学，打下更好的基础。 二、教学要求 本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程。 本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。主要要思想方法是： （1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）； （2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。

空间向量及其运算学案

8.6空间向量及其运算 考情分析 1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 基础知识 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2．空间向量的线性运算及运算律 (1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA →＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R )． (2)运算律：(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a . (3)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (4)数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做 向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b 则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，即a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )；

②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．基本定理 (1)共线向量定理：空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 使p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c . 注意事项 1.用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ， c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题． 2.(1)共线向量定理还可以有以下几种形式： ①a ＝λb ?a ∥b ； ②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R 使λa ＝μb . ③若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”． 3.空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习． 题型一 空间向量的线性运算 【例1】已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1 →＋xAB →＋yAD →，则x 、y 的值分别为( )

高中数学选修2-1教案 第三章 空间向量与立体几何 3.2立体几何中的向量方法

3.2立体几何中的向量方法 第一课时 立体几何中的向量方法（1） 教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题． 教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程： 一、复习引入 1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？ 2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？ ⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a b a b ??，可求两个向量的数量积或夹角 问题； ⑵利用性质a ⊥b ?a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题． 二、例题讲解 1. 出示例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥． 证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ． ∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=． ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =． ∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥ 2. 出示例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离． 解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥． 由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120， ∴2||CD ＝2()CA AB BD ++＝2||CA ＋2||AB ＋2||BD ＋2(·CA AB ＋·CA BD ＋·AB BD ) ＝22222cos120b a b b +++＝22a b +． ∴CD 3. 出示例3：如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的 棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 解：∵MN ＝1(')2CC BC +，'CD ＝'CC CD +， ∴·'MN CD ＝1(')2CC BC +·(')CC CD +＝12 (2|'|CC ＋'CC CD ＋·'BC CC ＋·BC CD )． ∵'CC CD ⊥，'CC BC ⊥，BC CD ⊥，∴'0CC CD =，·'0BC CC =，·0BC CD =， ∴·'MN CD ＝122|'|CC ＝12． …求得 cos ＜,'MN CD ＞12 =，∴＜,'MN CD ＞＝60. 4. 小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．