第二章 群论基础与晶体对称

群论-群论基础

物理学中的群论 ——群论基础 主讲翦知渐

群论教材教材与参考书 教材： 自编 参考书群论及其在固体物理中的应用 参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）

群论-群论基础 第章群论基础 第一章 群的基本概念和基本性质 §1.1 集合与运算 §1.2群的定义和基本性质 §1.3 子群及其陪集 13 §1.4 群的共轭元素类 §1.5 正规子群和商群 §1.6 直积和半直积 16 §1.7 对称群 §1.8 置换群

§1.1集合与运算抽象代数的基本概念 1集合 抽象代数研究的对象 什么都不是，所以什么都是 集合的直乘： C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的 C A表示“ 一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即： , a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={a A}B b b}则集合 1 C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。

定义设是两个集合若有种规则使得2映射 定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为 就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → B f ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。对应规则函数对应规则：函数

满射 单射 一一映射 逆映射：f -1 恒等映射：e 变换恒等映射： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若 f 是一一映 射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。变换有性质： f f -1= f -1f = e

群论的应用

群论的基础及应用 第二章群论的应用 2.1图论的结构群应用 在所有数学分支以及计算科学中，结构的概念是最基本的，以不正式的角度看，一个结构s是在点集U的一个construction r，它由一对点集组成。 e 4 图 2.1 通常说，U是结构s 的底图集，图2.1描述了两个结构的例子：一个有根树，和一个有向圈。在集合论上，题中的树可以描述为s=（γ，U），其中U={a，b，c，d，e，f}， γ=（{d}，{{d，a}，{d，c}，{c，b}，{c，f}，{c，e}}） 出现在γ上第一部分的 根点{d}指的是树的根节点。对于有向圈它可以写成形式为 s=（γ，U）， 其中 U={x，4，y，a，7，8}， γ={（4，y）（y，a）（a，x）（x，7）（7，8）（8，4）}

U={a ，b ，c ，d ，e ，f} σ V={x ，3，u ，v ，5，4} 图2.2 考虑有根树s=（γ，U ）它的底图集是U ，通过图2.2中的σ变换，将U 中每一个元素替换成V 中的元素，这幅图清晰的显示了变换中如何将结构树s 对应到集合V 上相应的树t=（τ，V ），我们说树t 可以由树s 通过变换σ得到。记作t=σ·s.则树s 和树t 是同构的，σ叫做s 到t 的同构。 我们可以将底图的点视为无标记的点，这样就得到同构图的通用形式。如果σ是U 到U ，则它是自同构。此时树的变换σ·S 等价于树s ，即s=σ·s. 我们已经知道结构s 的定义，那么可以定义它在规则F 下的结构群，我们用F[U]表示集合U 上所有满足F 的结构 F[U]={f|f=（γ，U ），γ??[U]} 其中?[U]表示U 中所有未排序的元素对所组成的边。 一个结构群满足规则F ： 1.对任意一个有限集U ，都存在一个有限集F[U] 2.对每一个变换σ：U →V ，存在一个作用 F[σ]:F[U]到F[V] 进一步F[σ]满足下列函数性质： 1.对所有的变换σ：U →V 和τ ：V →W F[σ·τ]=F[τ]·F[σ]； 2.对恒等映射一个元素s 数域F[U]叫做U 上的一个F 结构，作用F[σ]称为F 结构在σ下的变换。 例：对所有的整数0≥n ，指定n S 是由},,2,1{][n n Λ=的置换作成的对称群，在群作用的操作下，集合F[n]是[n]上的F-结构。说明对每个0≥n ，每个F-结构群，通过令)]([s F s σσ=?（对n S ∈σ和][n F s ∈）诱导出群n S 在集合F[n]上的一个作用 ][][n F n F S n →?（1） 证明： 设F[n]是[n]上的F-结构，不妨令][)),(,(|{][]2[21n i i i s s n F n ?γγ∈==Λ， 对任意][n F s ∈和n S ∈σσ作用在s 上等价于

第2章 晶体学基础(1)

第二章晶体学基础 1、晶体结构与空间点阵 2、晶向、晶面及指标 3、晶面间距 4、晶面族 5、倒易空间以及倒易点阵

教学目标 通过本章学习，掌握表达晶体周期性结构与它的点阵的各种概念；掌握晶面指数与晶向指数的标定，晶面间距与晶面夹角的表达；倒易点阵。 学习要点 ⑴⑵⑶(4) 晶体结构周期性与点阵。 7个晶系和14种Bravias空间格子。 晶胞，晶带，晶向，晶面，晶面间距，晶面夹角。倒易点阵 学时安排 学时----- 2学时

2.1、晶体结构与空间点阵 2.1.1空间点阵（Space Lattice） 晶体结构的几何特征是其结构基元（原子、离子、分子或其它原子集团）一定周期性的排列。通常将结构基元看成一个相应的几何点，而不考虑实际物质内容。 这样就可以将晶体结构抽象成一组无限多个作周期性排列的几何点。这种从晶体结构抽象出来的，描述结构基元空间分布周期性的几何点，称为晶体的空间点阵。几何点为阵点。

结构基元 在晶体的点阵结构中每个阵点所代表的具体内容，包括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式排列的结构，称为晶体的结构基元。结构基元是指重复周期中的具体内容。 点阵点 点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的抽象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上，按同一种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。 所以可简单地将晶体结构示意表示为： 晶体结构= 点阵+ 结构基元

2.1.2 基本矢量与晶胞 一个结点在空间三 个方向上，以a , b , c 重 复出现即可建立空间点 阵。重复周期的矢量a , b , c 称为点阵的基本矢 量。 由基本矢量构成的 平行六面体称为点阵的 单位晶胞。

《群论基础》习题

《群论基础》习题 1．讨论以下集合是否构成群： （1）除0以外的全体偶数集合对数的乘法； （2）1的任何次根（n k i n e π 21=，k ＝0，1，…，n-1）的全体复数集合对于乘法； （3）绝对值等于1的全体复数集合（θi e ，πθ20≤≤）对于乘法； （4）m ?n 矩阵的集合对于矩阵加法（m ≠n ）； 2．回答问题： （1）什么是群中的“类”，请证明阿贝尔群中所有元素都自成一类。 （2）什么是“特征标”，群中同类元素的特征标有何特点。 （3）什么是“群表示”和“群的不可约表示”。 （4）不可约表示特征标有何特点？如何判断一个表示是否可约？ （5）什么点群的分子既有偶极距又有旋光性？具有偶极距或旋光性的分子其分子对称性有 何特点？ 3. 从下列点群中补充或减少指定的对称元素，将得到什么点群？ (1) C 3加i (2) C 3加S 6 (3) C 5v 加σh (4) S 6减i (5)S 4加i (6) D 3d 减S 6 (7)C 3v 加i (8)T d 加i 4．一个正方体，如果把互相错开的顶角都锯掉同样的一个小正三棱体，得到的多面体属于 哪一个点群。 5．确定以下分子所属点群： （1）1，3-二氯代丙二烯 （2）乙二醇 （3）8-羟基喹啉 （4）肼 （5）对称三氮杂苯 （6）对称三氯代苯 （7）六氯代苯（相邻的C-Cl 上下交错地偏离苯环平面12°） （8）环戊二烯 （9）环丁烷 （10）六氯乙烷 （11）丁二烯 6．构成点群C 2h 的乘法表，并将群元素分类。 7．构成点群C 2h 的特征标表，并标出它的不可约表示。 8．利用C 2h 的特征标表说明： （1） 将C 2轴看做是Z 轴，σh 为xy 平面，在C 2h 点群中x 、y 和z 属于哪一种表示。 （2） d xy ，d xz 和d yz 属于哪一种表示。 9．试对H 2O 分子中氧原子的d 轨道进行对称性分类。 11．对D 6h 群，写出下列直积表示的特征标，并确定组成它们的不可约表示： A 1g ? B 1g A 1u ? A 1u B 2u ? E 1g E 1g ? E 2u E 1g ? B 2g A 2u ? E 1u 12．用对称性匹配函数的方法造出环丁二烯的分子轨道。（D 2点群）

北师大 结构化学 第4章 分子对称性和群论

北师大 结构化学 课后习题 第4章 分子对称性和群论 习题与思考题解析 1. 以H 2O 为例说明对称操作和对称元素的含义。 解：H 2O 分子为V 型结构，若将该分子经过O 原子且平分H-O-H 键角的直线旋转1800便可得到其等价图形，该直线称为对称元素-对称轴，其轴次为2，即为二重轴，用2C 表示。 绕2C 轴的对称操作叫旋转，用2 ?C 表示。 2. 写出HCN ，CO 2，H 2O 2，CH 2==CH 2和C 6H 6分子的对称元素，并指出所属对称元素系。 答：HCN 分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个v σ面，属于'v C ∞对称元素系。 CO 2分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个2C 轴、1个h σ、∞个v σ面和i 对称中心；属于'h D ∞对称元素系。 H 2O 2分子的对称元素：只有1个2C 轴，属于'2C 对称元素系。 CH 2==CH 2分子的对称元素：3个相互垂直的2C 轴、3个对称面（1个h σ、2个v σ）， 对称中心i ；属于'2h D 对称元素系。 C 6H 6分子的对称元素：1个6C 轴、6个垂直于6C 轴的2C 轴、1个h σ面、6个v σ面、 和对称中心i ，属于'6h D 对称元素系。 3. 试证明某图形若兼有2C 轴和与它垂直的h σ对称面，则必定存在对称中心i 。 证明：假设该图形的2C 轴与z 轴重合，则与它垂直的h σ对称面为xy 平面。则对称元 素2()C z 和()h xy σ对应的对称操作2 ??(),()h C z xy σ的矩阵表示为： 2 1 00?()0100 01C z -=- 和 100?()010001h xy σ=- 则 21 00100100???()()010010010001001 001h C z x y i σ--=-=-=--

课程名称物理学中的群论基础

课程名称：物理学中的群论基础 一、课程编码：1800008 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理论物理、凝聚态物理、计算物理 三、先修课程：线性代数、量子力学、固体物理（晶体结构部分） 四、教学目标 通过本课程的学习，使学生掌握群的基本概念与定理和群的线性表示理论及其在物理学中对称性分析上的一些基本应用。此外，本课程还将使学生了解并掌握晶体点群与空间群、SU(2)与SO(3)群、以及李群的基本概念。 五、教学方式 课堂讲授。 六、主要内容及学时分配 1. 群的基本概念 6学时 1.1 群 1.2 子群与陪集 1.3 共轭元与共轭类 1.4 群的同态与同构 1.5 群的直积 2. 群表示理论 16学时 2.1 群的表示 2.2 舒尔引理 2.3 正交性定理 2.4 正规（正则）表示 2.5 完全（完备）性关系 2.6 特征标表 2.7 函数变换和表示的构造 2.8 对称变换群基函数的性质 2.9 投影算符 2.10 基础表示 2.11 分导表示、诱导表示 2.12 表示的直积与CG系数 2.13 直积群的表示 3. 置换群 6学时 3.1 置换 3.2 共轭类、配分和Young图 3.3 Young盘和图形方法 3.4 Young算符 3.5 分支律与外积 4. 点群和空间群 16学时 4.1 点群的对称操作 4.2 第一类点群

4.3 第二类点群 4.4 点群的特征标表 4.5 晶体的宏观性质与对称性 4.6 平移群和Bravais格子 4.7 空间群简介 5. 李群 6学时 5.1 李群的概念 5.2 无穷小生成元 5.3 无穷小算符 5.4 群上的不变积分 5.5 李代数简介 6. SO(3)群和SU(2)群 6学时 6.1 三维幺模正交群SO(3) 6.2 二维幺模幺正群SU(2) 6.3 SU(2)群的不可约表示 6.4 SO(3)群的不可约表示及双群 7. 群论与量子力学 8学时 7.1 哈密顿算符的群 7.2 微扰引起的能级劈裂 7.3 矩阵元定理与选择定则 7.4 不可约张量算符和Wigner-Eckart定理 7.5 实表示 7.6 时间反演对称性和附加简并 7.7 角动量的耦合 七、考核与成绩评定 成绩以百分制衡量，评定依据：平时作业及考勤占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 徐建军，《物理学中的群论基础》，清华大学出版社，2010. 2. 徐婉棠，喀兴林《群论及其在固体物理中的应用》高等教育出版社，1999. 3. 马中骐，《物理学中的群论（第三版）——有限群篇》，科学出版社，2016. 4. 陶瑞宝，《物理学中的群论》，高等教育出版社，2011. 5. 谢希德、蒋平、陆奋，《群论及其在物理学中的应用》，科学出版社，2010. 九、大纲撰写人：刘贵斌

学习群论后的体会

学习群论后的体会 群论是数学的一个重要分支，它在很多学科都有重要的应用。这门课的目的是为了使学生对群论的基本理论有感性的认识和理性的了解。这门课主要介绍了群论的基本理论及某些应用。主要内容有：首先介绍群、子群、群同构的概念及有关性质，这是了解群的第一步。然后较为详细地讨论了两类最常见的群：循环群与置换群，包括一些例题和练习，可以熟悉群的运算和性质，加深对群的理解。并且介绍置换群的某些应用。然后对群论中某些重要的概念作详细讨论。首先定义并讨论群的子集的运算；由群的子集的运算，引出并讨论了子群的陪集的概念与性质。定义并讨论了正规子群与商群的概念与性质。借助于商群的概念证明了群同态基本定理，从而对群的同态象作出了系统的描述。这部分内容是群论中最基本的内容，并且给出群的直积的概念，这是研究群的结构不可缺少的工具。最后是群表示论的基本理论及应用。 利用群的子群研究群的性质与结构是群论研究的一个常用方法.正规子群是群论中的一个核心概念,它在群论研究中起着极其重要的作用,它的重要性在于由它及群G本身可得到阶比|G|小且与G的运算密切相关的一个新的群。 群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段。同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构。而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系。特别重要

的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构。在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态。保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的去研究它们。另外，群的自同构和自同态也是研究群的重要手段。 群在集合上的作用及群作用是研究有限群的一个有效工具，其中有Sylow定理的证明使用的是群在集合上的作用这一有效工具来证明的，Sylow定理是有限群研究的基石，不仅指出了一类子群的存在性,还讨论了这类子群的一些性质，还提供了群的算术性质和结构性质之间的精巧联系,它是有限群最基本的结果之一。Sylow定理在有限群的单性、可解性、幂零性等许多方面都有着广泛的应用。因而Sylow定理作为研究群论特别是有限群的重要工具,因此对Sylow定理的深刻理解对从事有限群论的研究有着重要的意义。 群论思想的产生和发展对数学产生的重大的影响,群论也是关于运算及运算规则的研究,但它是关于一般的元素集合上的运算和运算规则的研究,使得新的数学对像如矩阵,变换等的运算有了理论依据,从而把数学理论抽象到新的层次.

晶体学基础知识点小节

第一章晶体与非晶体 ★相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。） ★ 空间格子的要素：结点、行列、面网 ★ 晶体的基本性质： 自限性: 晶体能够自发地生长成规则的几何多面体形态。 均一性:同一晶体的不同部分物理化学性质完全相同。晶体是绝对均一性，非晶体是统计的、平均近似均一性。 异向性：同一晶体不同方向具有不同的物理性质。例如：蓝晶石的不同方向上硬度不同。 对称性：同一晶体中，晶体形态相同的几个部分（或物理性质相同的几个部分）有规律地重复出现。最小内能性：晶体与同种物质的非晶体相比，内能最小。 稳定性：晶体比非晶体稳定。 ■本章重点总结：本章包括3 组重要的基本概念: 1）晶体、格子构造、空间格子、相当点；它们之间的关系。 2）结点、行列、面网、平行六面体; 结点间距、面网间距与面网密度的关系. 3）晶体的基本性质：自限性、均一性、异向性、对称性、最小内能、稳定性，并解释为什么。 第二章晶体生长简介 2.1 晶体形成的方式 ★液-固结晶过程:⑴溶液结晶: ①降温法②蒸发溶剂法③沉淀反应法 ⑵熔融结晶: ①熔融提拉②干锅沉降③激光熔铸④区域熔融 ★固-固结晶过程: ①同质多相转变②晶界迁移结晶③固相反应结晶④重结晶⑤脱玻化 2.2 晶核的形成 ?思考：怎么理解在晶核很小时表面能大于体自由能，而当晶核长大后表面能小于体自由能？因为成核过程有一个势垒：能越过这个势垒的就可以进行晶体生长了，否则不行。 ★均匀成核：在体系内任何部位成核率是相等的。 ★非均匀成核：在体系的某些部位（杂质、容器壁）的成核率高于另一些部位。 ?思考：为什么在杂质、容器壁上容易成核？为什么人工合成晶体要放籽晶？ 2.3 晶体生长 ★层生长理论模型（科塞尔理论模型）层生长理论的中心思想是：晶体生长过程是晶面层层外推的过程。 ★ 螺旋生长理论模型（BCF 理论模型） ? 思考：这两个模型有什么联系与区别？联系：都是层层外推生长；区别：生长新的一层的成核机理不同。 ?思考：有什么现象可证明这两个生长模型？环状构造、砂钟构造、晶面的层状阶梯、螺旋 纹 2.4 晶面发育规律 ★★布拉维法则（law of Bravais）：晶体上的实际晶面往往平行于面网密度大的面网。 为什么？面网密度大—面网间距大—对生长质点吸引力小—生长速度慢—在晶形上保留—生长速度快—尖灭 ★ PBC （周期性键链）理论： 晶面分为三类：F面（平坦面，两个Periodic Bond Chain PBC）晶形上易保留。 S面（阶梯面，一个PBC）可保留或不保留。K面（扭折面，不含PBC）,晶形上不易保留。 ★居里-吴里弗原理（最小表面能原理）：晶体上所有晶面的表面能之和最小的形态最稳定。 ?思考：以上三个法则－理论－原理的联系？

群论的发展历史及基础知识

第一章群论的发展历史及基础知识 1.1群论的发展历史 早在古巴比伦时期，人们就能用根式求解一元二次方程的解，并随着时间的推移，可以对一些特殊的一元三次方程做出求解，但是一直无法找出一般的解法。直到十六世纪初，意大利人才解决了一元三次方程的一般解法。然后意大利人似乎不满足于一元三次方程，也是在十六世纪初，意大利人费尔拉里又求解出一元四次方程的根是由系数的函数开四次方所得。 1770年前后，法国数学家拉格朗日提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，虽然他一度认为四次以上代数方程不可能有根式解，但是其思维方法和研究根的置换方法给后人以启发，相继的，鲁菲尼和高斯在一元n次方程的一般解做出研究。 随着时间的推移，1824年到1826年期间，挪威数学家阿贝尔着手考察可用根式求解的方程具有何种共性，并且严格证明了，如果一个方程可以用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可以表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理证明了著名的阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数的求解。并且解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，这类方程后来被称为阿贝尔方程。 虽然阿贝尔解决了构造任意次数可解的问题的方法，但是却没能给出已知方程是否可以用根式求解的问题。 这时，群的发明者伽罗华继承阿贝尔的事业，然而这位英年早逝的才子只是在他死后留下的遗书中为以后的数学发展做出贡献。在他的遗书中，他提出了群的概念，用群的方法彻底解决了根式求解方程的问题，并且发展出一套关于群和域的理论。正是这套理论为此后的数学发展提供了重要的工具——群论，对近世代数的形成和发展产生了巨大的影响。 伴随着群论的发展，作为其他学科重要工具的数学，自然而然的群论成为其他学科，包括物理、化学、生物等学科，重要的研究工具，并且为这些学科的发展起到了不可磨灭的推动作用。 1.2 群论基础 群的定义：设G是一个非空集合，如果再G上定义一个代数运算，成为乘

群论课程教学大纲

群论课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 所属专业：理论物理 课程性质：专业基础课 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 课程简介：群论作为一种数学工具，已广泛应用于粒子物理、核物理、固体物理等物理分支。群论课程主要介绍群的基本知识、有限期的基本表示理论、点群、李群和李代数的基本知识。通过本课程的学习，使学生掌握群论的基本概念、基本性质和基本方法，理解对称性及其在物理学中的应用，为学生继续深造和从事科学研究工作打下必要的数学基础。本课程是为本科高年级学生所开设的课程，总教学时数为54学时，3学分，开课学期为本科生第七学期。 目标与任务：让大学四年级理论物理专业的研究生掌握《群论》这一门数学工具的基础知识，为研究生阶段的课程(如《量子场论》、《高等量子力学》、《李群和李代数》等)打下坚实的数学基础。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：线性代数、微积分 后续相关课程：李群和李代数 关系：《群论》课的基础主要为《线性代数》和《微积分》，《线性代数》的线性空间理论和矩阵理论为《群论》线性表示理论的基础，《微积分》为《群论》中微积分相关内容的基础知识。《群论》课为后续课程《李群和李代数》的基础，《李群和李代数》是《群论》课的关于连续群的进一步深入，两者之间在内容上为承上启下的关系。 （四）教材与主要参考书。 教材：自编讲义 主要参考书： 1. 段一士教授《群论》讲义 2. 韩其志、孙洪洲，《群论》，北京师范大学出版社，1987年 3. 马中骐，《物理学中的群论》 3. 约什，《物理学中的群论基础》［M］ 4. 怀邦，《典型群及其在物理中的应用》［M］ 5. 徐婉棠、喀兴林，《群论及其在固体物理学中的应用》 6. W. Joshim, 《Elements of Group Theory for Physics》