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全国高考文科数学试题及答案四川

2010年四川省高考数学（文史类）试题

第Ⅰ卷

本试卷共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

1、设集合{}3,5,6,8A =,集合{}4,5,7,8B =,则A

B 等于（）

（A ）{}3,4,5,6,7,8 (B) {}3,6 (C) {}4,7 （D ）{}5,8 2、函数2log y x =的图象大致是（）

（A ） (B) (C) (D) 3、抛物线2

8y x =的焦点到准线的距离是（）

（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8

4、一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人。为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）

（A ）12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6

5、函数2

()1f x x mx =++的图象关于直线1x =对称的充要条件是（）（A ）2m =- （B ） 2m = （C ）1m =- （D ）1m =

6、设点M 是线段的中点，点A 在直线外，

16,BC AB AC AB AC =+=-,则AM =( ) (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 7、将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是（）（A ）sin(2)10y x π=-

（B ）sin(2)5y x π

=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220

y x π

8、某工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品。甲车间加工一箱原料需

耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元；乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元。甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（）

（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱；（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱； (C) 甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱； (D) 甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱；

9、由1,2,3,4,5,组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）（A ）36 (B) 32 (C)28 (D)24

10、椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为F,其右准线与x 轴交点为A ，在椭圆上存在点P 满

足线段的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是（）

（A ）2(0,

2 (B)1(0,]2 (C)21,1) (D)1

[,1)2

11、设0a b >>，则2

()

a a

b a a b +

+-的最小值是（）（A ）1 (B) 2 (C)3 (D) 4 12、半径为R 的球O 的直径垂直于平面α，垂足为B ，BCD ?是平面α内边长为R 的正三角形，线段、分别与球面交于点M 、N ，那么M 、N 两点间的球面距离是（）

（A ）17arccos

25R （B ）18arccos 25

R (C)13R π (D) 4

R π

第Ⅱ卷

本卷共10小题，共90分

二、填空题：本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上。

13、4

2()x x

-的展开式中的常数项为（用数字作答） 14、直线250x y -+=与圆2

8x y +=相交于A 、B 两点，则AB = 15、二面角l αβ--的大小是60?，,AB B l α?∈，与l 所成的角为30?，则与平面β所成角的正弦值是

16、设S 为复数集C 的非空子集，若对任意

的,x y S ∈,都有,,x y x y xy S +-∈,则称S 为封闭集，下列命题：

① 集合{}

3,S a b b =+为整数为封闭集；

② 若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③ 封闭集一定是无限集；

④ 若S 为封闭集，则满足S T R ??的任意集合T 也是封闭集。其中真命题是（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分12分)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶：字样即为中奖，中奖概率为

，甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料，

（Ⅰ）求三位同学都没的中奖的概率；

（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率。

18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点，

（Ⅰ）求证：为异面直线'AA 与'BD 的公垂线；（Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小；

19、(本小题满分12分)

(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ++=-； ② 由()C αβ+推导两角和的正弦公式():sin()sin cos cos sin S αβαβαβαβ++=+。（Ⅱ）已知4cos 5α=，3(,)2αππ∈，1tan ,(,)32

ββπ=-∈求cos()αβ+。

20、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前3项和为6,前8项和为－4.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1(4)((0,)n n n b a q q n N -*

=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

21、(本小题满分12分)已知定点(1,0),(2,0)A F -,定直线1

l x =

，不在x 轴上的动点P 与点

F的距离是它到直线l的距离的2倍，设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线、分别交l于点M、N.

(Ⅰ)求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段为直径的圆是否过点F,并说明理由。

22、(本小题满分14分)设

()(0,1),()

f x a a

g x

=>≠

且是()

f x的反函数，

（Ⅰ）求()g x

（Ⅱ）当[2,6]x ∈时，恒有2

()log (1)(7)

a t

g x x x >--成立，求t 的取值范围。（Ⅲ）当1

a <≤时，试比较(1)(2)()f f f n +++与4n +的大小，并说明理由。

2010年四川省高考数学（文史类）试题

参考解答

一、选择题：本题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

11、解析：由2

()d a ab a a b =+

+-22112()222

2()a a a b b ab a a b a a -=+++++-- 226112()26222()a a a b b

ab a a b a a

-≥=?????-624≥-=，当且仅当22a b ==号

12、解析：先求2tan 2,5AB R

BAC AC R BC R

∠=

===,所以25cos 5BAC ∠=,由余弦定理得222

252R R AM R AM =+-? ,得2545

2AM R R ==，由相似三角形得45AM MN MN R AC R =?=,则球心角余弦值为222

()175cos 2225

R R R MON R +-∠==?, 故有17

arccos 25

MN r =

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 13、24 14、23、3

(16) ① ② 三、解答题：

17、解析：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C,那么1()()()6

P A P B P C ===

, 35125

()()()()()6216

P A B C P A P B P C ??===

. 答：三位同学都没有中奖的概率是125

216

。 ……………（6分）

（Ⅱ）2315125

1())13()()66627

P A B C A B C A B C A B C -??+??+??+??=-??-=

答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为25

18、解法一：连接,取中点K ，则K 为中点，连接，因为点M 是棱'AA 的中点，点O 是'BD 的

中点，∴1'2AM DD OK ==∥1

BD ∥OK ,∴MO AK =,MO ∥AK .

由'AA AK ⊥,得'MO AA ⊥.

因为,'AK BD AK BB ⊥⊥,所以AK ⊥平面''BDD B

∴ 'AK BD ⊥ ,∴'MO BD ⊥.

又∵OM 与异面直线'AA 和'BD 都相交，

故OM 为异面直线'AA 和'BD 的公垂线。 ………………… （5分）

（Ⅱ）取'BB 的中点N ，连接，则⊥ 平面''BCC B ,

过点N 作⊥'BC 于H ，连接，则由

三垂线定理得 'BC MH ⊥,从而MHN ∠为二面角''M BC B --的平面角。

设1AB =,则1221,sin 45224

MN NH BN ==?=

?=，在Rt MNH ?中，tan 222

MN MHN NH =

==故二面角''M BC B --的大小为arctan 22。 …………… （12分）

解法二：以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系D xyz -，设1AB =,则

(1,0,0),(1,1,0)A B ,(0,1,0)C ,'(1,0,1),'(0,1,1),'(0,0,1)A C D .

(Ⅰ)因为点M 是棱'AA 的中点，点O 是'BD 的中点。∴1111(1,0,),(,,)2222

M O

(,,0),'(0,0,1),'(1,1,1)22

OM AA BD =-==--,

'0,'0022

OM AA OM BD ?=?=-++=,

∴ ','OM AA OM BD ⊥⊥,

又∵OM 与异面直线'AA 和'BD 都相交，故OM 为异面直线'AA 和'BD 的公垂线。 ………………… （5分）

（Ⅱ）设平面'BMC 的法向量为1(,,)n x y z =，1(0,1,),'(1,0,1)2

BM BC =-=-

∴110'0n BM n BC ??=???=?? ,即10

y z x z ?-+=???-+=? ，取2z =，则2,1x y ==，从而1(2,1,2)n =。取平面''BC B 的一个法向量为2(0,1,0)n =，121212

cos ,3

91n n n n n n ?<>==

=??。由图可知二面角''M BC B --的平面角为锐角，

故二面角''M BC B --的大小为1

arccos

。 …………………（12分） 19、解析：（Ⅰ）①如图，在直角标系xoy 内作单位圆O ，并作出角,αβ与β-，使角α的始边为Ox 轴，交⊙O 于点1P ,终边交⊙O 于点2p ；角β的始边为2OP ,终边交⊙O 于3P ,角β-的始边为1OP ,终边交⊙O 于4P .

则12(1,0),(cos ,sin )P P αα，

3(cos(),sin())P αβαβ++ 4(cos(),sin())P ββ--

由1324PP P P =及两点间距离公式得

22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--展开并整理，得

22()22(cos cos sin sin )cos αβαβαβ-+=--，

∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- …………………… （4分） ② 由①易得，cos(

)sin ,sin()cos 22

αααα-=-=，

sin()cos[()]cos[()()]22

ππ

αβαβαβ+=-+=-+-cos()cos()sin()sin()22

ππ

αβαβ=-----cos cos sin sin αβαβ=+

∴sin()cos cos sin sin αβαβαβ+=+ …………… （6分）（Ⅱ）由已知4cos 5α=

，3(,)2αππ∈，∴3

sin 5α=-；由1

tan ,(

,)3

ββπ=-∈，得31010

cos 1010

ββ=-

= ， ∴4310310310

cos()cos cos sin sin ()(()5

1051010

αβαβαβ+=-=-?-

--?=。（12分） 20、解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知得11336

8284

a d a d +=??

+=-?。解得13,1a d ==-，

故3(1)4n a n n =--=- …………… （5分）

（Ⅱ）由(Ⅰ)的解答可得1

n n b n q -=?，于是

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