2016年高考数学试题

2016年高考数学试题

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(I 卷)

本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合}

034{2

<+-=x x

x A ，}032{>-=x x B ，则A B =

I

（A ）)23,3(-- （B ）)23,3(- （C ）)23,1( （D ）)3,2

3

( 【解析】：

{}

{}

243013A x x x x x =-+<=<<，

{}32302B x x x x ?

?=->=>

????

．故

332A B x x ??=<

??

I ．

故选D ．

（2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2

【解析】：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y

=??=?

，解得：11x y =??

=?

．所以，

x yi +

故选B ．

（3）已知等差数列}{n

a 前9项的和为27，8

10

=a

，则=

100

a

（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【解析】：由等差数列性质可知：()195

9

59929272

2

a a a S

a +?=

=

==，故

53

a =，而10

8

a

=，因此公差 105

1105

a a d -=

=-

∴100

109098

a

a d =+=．故选C ．

（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至

30

:8之间到达发车站乘

坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车

时间不超过10分钟的概率是

（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）4

3 【解析】：如图所示，画出时间轴：

8:208:10

7:507:40

8:308:007:30

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率

10101

402

P +=

=．故选B ．

（5）已知方程132

2

22=--+n

m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两

焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是 （A ）)3,1(- （B ）)

3,1(- （C ）)3,0( （D ）)

3,

0(

【解析】：

22

2213x y m n m n

-=+-表示双曲线，则()()2

2

30m n m n +->，∴

22

3m n m -<<

由双曲线性质知：()()2

2

22

34c m

n m n m =++-=，其中c 是半焦距，

∴焦距2224c m =?=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．

（6

每个圆中

两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是3

28π

，则它的

表面积是

（A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ）π28 【解析】：原立体图如图所示：是一个球

被切掉左上角的18

后的三视图 表面积是78的球面面积和三个扇形

面积之和

2271

=42+32=1784

S ????πππ，故选A ．

（7）函数x

e

x y -=2

2在]2,2[-的图像大致为

（

（

C ） （

D ）

【解析】：()2

2288 2.80

f e

=->->，排除A ；()2

2288 2.71

f e

=-<-<，排除

B ；

x >时，()2

2x

f x x

e =-，

()4x

f x x e '=-，当10,4x ??∈ ???

时，()0

1

40

4f x e

'

因此()f x 在10,4??

???

单调递减，排除C ；故选D ． （8）若1>>b a ，10<

c

b a

< （B ）c

c

ba ab

< （C ）c

b c a a b

log log

< （D ）

c

c b a log log <

【解析】： 由于01c <<，∴函数c

y x =在R 上单调递增，因此

1c c

a b a b >>?>，A 错误；

由于110c -<-<，∴函数

1

c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴

111c c c c

a b a b ba ab -->>?

要比较log b

a c 和log a

b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c

b b

和ln ln c a a

，只需ln b b 和ln a a ，

构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此

()()11

0ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b

>>?>>?

<

，

又由01c <<得ln 0c <，

∴ln ln log log ln ln a

b

c c

b c a c a a b b

要比较log a

c 和log b

c ，只需比较ln ln c a 和ln ln c

b ，

而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故

11

1ln ln 0ln ln a b a b a b

>>?>>?

<，

又由

01

c <<得

ln 0

c <，∴

ln ln log log ln ln a b c c

c c a b

>?>，D 错误；

故选C ．

（9）执行右面的程序框图，如果输入的

=x 则输出y x ,的值满足

（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4= （D ）x y 5= 【解析】：第一次循环：2

20,1,136

x y x

y ==+=<；

第二次循环：2

2117

,2,3624

x y x

y ==+=

<；

第三次循环：2

23,6,36

2

x y x

y ==+>；

输出32

x =，6y =，满足4y x =；故选C ． （10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的

准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为

（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同

理 设抛物线为2

2y

px =()

0p >，设圆的方程为2

22

x

y r +=，如图：

设(0

,22A x ，52

p D ?- ?，点(0

,22A x 在抛物线2

2y

px

=上，

∴0

82px =……①；点52

p

D ?- ?在圆2

22

x

y r +=上，

∴2

252p r ??+=

??

?

……②；点(0

2A x 在圆

222

x y r +=上，

∴22

8x

r +=……③；联立①②③解得：4p =，

焦点到准线的距离为4p =．故选B ．

（11）平面α过正方体1

1

1

1

D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面1

1

D CB ，

αI

平面ABCD m =，I α平面n

A

ABB =1

1

，则n m ,所成角的正弦值

为 （A ）

2

3

（B ）

2

2 （C ）

33 （D ）3

1 【解析】：如图所示：

α

A

A 1

B

1

D

C

1

D 1

∵1

1

CB D α∥平面，∴若设平面1

1

CB D I 平面1

ABCD m =，则1

m m ∥ 又∵平面ABCD ∥平面111

1

A B C D ，结合平面11

B D

C I 平面

111111

A B C D B D =

∴1

1

1

B D m ∥，故1

1

B D m ∥，同理可得：1

CD n ∥

故m 、

n 的所成角的大小与1

1

B D 、1

CD 所成角的大小相等，F

即11

CD B ∠的大小．

而1

1

1

1

B C B D CD ==（均为面对交线），因此11

3

CD B π∠=

，即11sin CD B ∠=

．

故选A ．

（12）已知函数)2,0)(sin()(π?ω?ω≤>+=x x f ，4

π

-=x 为)(x f 的零点，4

π

=

x 为

)

(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)36

5,18(π

π单调，则ω的最大值为

（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【解析】：由题意知：

12

π

+π 4ππ+π+

42

k k ω?ω??-=???

?=??则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x Q 在π5π,1836??

???

单调，5π,123618122

T

ππω∴

-=≤≤

接下来用排除法：若π11,4ω?==-，此时π()sin 114f x x ?

?=- ???，()f x 在π3π,1844??

???

递增，在3π5π,4436?? ???递减，不满足()f x 在π5π,1836?? ???

单调；若π9,4ω?==，此时π()sin 94f x x ??=+ ???，满足()f x 在π5π,1836?? ???

单调递减。故选B ．

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。 （13）设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||

2

=a ||2+b 2

|，则=m ．

【解析】：由已知得：

()

1,3a b m +=+r r

，∴

()222

2

22222

13112a b a b m m +=+?++=+++r r r r ，解得2m =-．

（14）5

)2(x x +

的展开式中，3

x 的系数是 ．（用数字

填写答案）

【解析】：设展开式的第1k +项为1

k T +，{}0,1,2,3,4,5k ∈，∴

(

)

5552

15

5

C 2C 2

k k

k

k

k k

k T x x

-

--+==．

当

532

k -=时，4k =，即45454

3

2

5

5

C 2

10T x

x -

-==，故答案为10．

（15）设等比数列}{n

a 满足10

31

=+a a ，5

42

=+a a

，则12

n

a a a L 的最

大值为 ．

【解析】：由于{}n

a 是等比数列，设1

1n n

a

a q -=，其中1

a 是首项，

q

是公比．

∴2

13113

24111010

55a a a a q a a a q a q ?+=+=?????+=+=???

，解得：

18

12

a q =???=??．故

4

12n n a -??

= ?

??

，∴

()()()

32...4121...2n n a a a -+-++-??

???= ?

?? ()2

1

174972

2241122n n n ????---?? ???????

????== ? ???

??

，

当3n =或4时，

2

1749224n ????--?? ???????

取到最小值

6

-，此时2

174922412n ????--?? ???????

??

?

??

取到最大值6

2．所以1

2

...n

a a a ???的最大值

为64．

（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为

2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．

【解析】：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费

的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为

**1.50.5150

0.3905360000x y x y x y x y x N y N

?+?

+??+??

???

?∈?∈??≤≤≤≥≥目标函数

2100900z x y

=+；

作出可行域为图中的四边

形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)，在(60,100)处取得最大值，210060900100216000z =?+?=

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

ABC

?的内角

C

B A ,,的对边分别为

c

b a ,,，已知

c

A b

B a

C =+)cos cos (cos 2．

（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7

=c ，ABC ?的面积为233，求ABC ?的周长．

【解析】：⑴

()2cos cos cos C a B b A c

+=，由正弦定理得：

()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ?+?=

()2cos sin sin C A B C ?+=，∵π

A B C ++=，

()

0πA B C ∈、、，，∴

()sin sin 0

A B C +=>

∴2cos 1C =，1

cos 2

C =，

∵()0πC ∈，，∴π3C = ⑵ 由余弦定理得：2

222cos c

a b ab C

=+-?，

221722

a b ab =+-?

，

()

2

37

a b ab +-=

1sin 2S ab C =?==

∴6ab =，∴()

2

187

a b +-=，5a b +=

∴ABC △

周长为5a b c ++=+

（18）（本小题满分12分）

如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面 ABEF

为正方形，?=∠=90,2AFD FD AF ，且二面

角E AF D --与二面角F BE C --都是?60． （Ⅰ）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角A BC E --的余弦值．

【解析】：⑴ ∵ABEF 为正方形，∴AF EF ⊥，∵90AFD ∠=?，∴

AF DF

⊥，∵=DF EF F I

A

B

C

D E

F

∴AF ⊥面EFDC ，AF ?面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC

⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=?，

∵AB EF ∥，AB ?平面EFDC ，EF ?平面EFDC

∴AB ∥平面ABCD ，AB ?平面ABCD ∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥，∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形 以

E

为原点，如图建立坐标系，设

FD a

=，

()

()000020E B a ，，，，()302202a C A a a ??

? ???

，，，，，

()

020EB a =uu r

，，，

322a BC a ??=- ? ???

uu u r ，，，

()

200AB a =-uu u r

，，，设面BEC 法向量为

()

m x y z =u r

，，，

00m EB m BC ??=???=??

u r uu r u r uu u r ，即

111120

3202a y a x ay z ?=????-?=??，

111301

x y z ===-，，

)301

m =

-u r

，

设面ABC 法向量为

()

222n x y z =r

，，，

=00n BC n AB ???

??=??

r uu u r r uu u r .即

2222

3

20220a x ay ax ?-+

=???=?

222034

x y z ===，，(

)034

n =r

，，设二面角E BC A --的大小为θ.

219

cos 31316m n m n

?==

=+?+?u r r

u r r θ，

∴

二面角E BC A --的余弦值为219

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同

时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；

（Ⅱ）若要求5.0)(≥≤n X P ，确定n 的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？

【解析】：⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，

11

记事件i

A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件

()1,2,3,4i =

记事件i

B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件

()1,2,3,4i =

由题知()()()()()()1

3

4

1

3

4

0.2P A P A P A P B P B P B ======，()()2

2

0.4P A P B ==

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22

()()()11160.20.20.04

P X P A P B ===?=

()()()()()1221170.20.40.40.20.16

P X P A P B P A P B ==+=?+?=

()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24

P X P A P B P A P B P A P B ==++=?+?+?=

()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2

P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=?+?+?0.20.40.24

+?=

()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=?+?+?=

()()()()()3443210.20.20.20.20.08

P x P A P B P A P B ==+=?+?=

()()()44220.20.20.04

P x P A P B ===?=

⑵ 要令()0.5P x n ≤≥，0.040.160.240.5++

⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用 当

19

n =时，费用的期望为

192005000.210000.0815000.044040

?+?+?+?=

当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080?+?+?= 所以应选用19n =

（20）（本小题满分12分） 设圆0

15222

=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴

不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点

E

．

（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程； （Ⅱ）设点E 过B 且与l 四边形MPNQ

|||

M N

MN y y

=-

【解析】：⑴圆A整理为()22

116

x y

++=，A坐标()1,0

-，如图，BE AC

Q

∥，则C EBD

=

∠

∠，由,

AC AD D C

==

则∠∠，

EBD D

∴=

∠∠，则EB ED

=，4||

AE EB AE ED AD AB

∴+=+==>

22

⑵22

1

:1

43

x y

C+=

(

:1

PQ y m x

=--

联立

()

22

34690

m y my

++-=，则

圆心A到PQ距离d==

所以||PQ=，

()

2

2

121

11

||||

2234

MPNQ

m

S MN PQ

m

+

?

∴=?=?==?

+

（21）（本小题满分12分）

已知函数2)1

(

)2

(

)

(-

+

-

=x

a

e

x

x

f x有两个零点．

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设

2

1

,x

x是)(x f的两个零点，证明：2

2

1

<

+x

x．

【解析】：⑴由已知得：()()()()()

'12112

x x

f x x e a x x e a

=-+-=-+

①若0

a=，那么()()

0202

x

f x x e x

=?-=?=，()f x只有唯一

的零点2x =，不合题意； ② 若0a >，那么20

x

x e

a e +>>，

所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增;当1x <时，

()'0

f x <，()f x 单调递减;

即：

故()f x 在()1,+∞上至多一个零点，在(),1-∞上至多一个零点

由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <，

根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x

e e

<，210x -<-<，

故()()()()()()()2

2

2

212111x

f x x e a x e x a x a x e x e

=-+->-+-=-+--

则

()0

f x =的两根

11

t =+，

21

t =， 12

t t <，因为0a >，故当1

x t <或2

x t >时，()

()2

110

a x e x e -+-->

因此，当1x <且1

x t <时，()0f x >

又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点．

此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．

③ 若02e

a -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，

当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()

ln 2220

a x

e a e

a -+<+=， 即()()()'120

x

f x x e a =-+>，()f x 单调递增；

当

()ln 21

a x -<<时，10

x -<，

()

ln 2220

a x e a e

a -+>+=，即

()()()'120

x f x x e a =-+<，()f x 单调递减；

当1x >时，10x ->，()

ln 2220

a x

e a e

a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单

调递增． 即：

而极大值

()()()(){

}2

2

ln 22ln 22ln 21ln 2210

f a a a a a a a -=---+--=--+

故当1

x ≤时，

()

f x 在

()

ln 2x a =-处取到最大值

()ln 2f a -????

，那么()()ln 20f x f a -

解

而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点

此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．

④ 若2e

a =-，那么()ln 21a -=

当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()

ln 2220

a x

e

a e

a -+<+=，即()'0f x >，()

f x 单调递增

当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()

ln 2220

a x

e

a e

a -+>+=，即()'0f x >，

()

f x 单调递增

又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．

⑤ 若2e a <-，则()ln 21a ->

当1x <时，10x -<，()

ln 212220

a x

e

a e a e

a -+<+<+=，即()'0f x >，()

f x 单调递增

当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()

ln 2220

a x

e

a e

a -+<+=，即()'0f x <，

()

f x 单调递减

当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()

ln 2220

a x

e

a e

a -+>+=，即

()'0f x >，

()

f x 单调递增

即：

故当()ln 2x a -≤时，()f x 在1x =处取到最大值()1f e =-，那么()0f x e -<≤恒成立，即()0f x =无解

当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点,此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意． 综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞．

⑵ 由已知得：()()1

2

0f x f x ==，不难发现11x ≠，2

1x ≠，

故可整理得：

()()

()()

1

2

122

2

122211x

x x e x e a x x ---==--,

()()()

2

21x

x e g x x -=-，则

()()

12g x g x =

()()()

2

3

21'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0

g x >，()g x 单调递增． 设0m >，构造代数式：

()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-??

+--=

-=+ ?+??

设

()211

1

m

m h m e m -=++，0m >,则()()

2

22

2'0

1m m h m e m =

>+，故()h m 单调递

增，有()()00h m h >=．

因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．

由()()1

2

g x g x =可知1x 、2

x 不可能在()g x 的同一个单调区

间上，不妨设1

2

x x <，则必有1

2

1x x <<

令1

10m x =->，则有()()()()()1

1

1

1

2

11112g x g x g x g x g x +->--?->=????????