18版高中数学第二章解三角形1.1正弦定理一学案北师大版必修5

1．1 正弦定理(一) 学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．

知识点一 正弦定理的推导

思考1 如图，在Rt△ABC 中，a sin A 、b sin B 、c

sin C 各自等于什么？

思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c

sin C 还成立吗？课本是如何说明的？ 梳理 任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C

，证明方法除课本提供的方法外，还可借助边AB 上的高CD ＝b sin A ＝a sin B 、三角形面积公式、外接圆来证明．

知识点二 正弦定理的呈现形式

1.a

sin A ＝________＝____________＝2R (其中R 是____________)； 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C

＝2R sin A ； 3．sin A ＝a 2R

，sin B ＝________，sin C ＝________. 知识点三 解三角形

一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．

类型一 定理证明

例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．

反思与感悟 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．

(2)要证a sin A ＝b sin B

，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力． 跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .求证：a

sin A ＝2R .

类型二 用正弦定理解三角形

例2 在△ABC 中，已知A ＝32.0°，B ＝81.8°，a ＝42.9 cm ，解三角形．

反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C ，每个等式涉及四个元素，

所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．

(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：

①已知三角形的任意两角与一边；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．

跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．

类型三 边角互化

命题角度1 边化角

例3 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0. 命题角度2 角化边

例4 在△ABC 中，A ＝π3

，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． 反思与感悟 利用a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R 或正弦定理的变形公式a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)能够使三角形边与角的关系相互转化．

跟踪训练3 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，求a ∶b ∶c 的值．

1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( )