九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系1.2304560三角函数值教案新版北师大版

1.2 30O、45O、600三角函数值

一、教学目标

1.利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值

2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值计算.

3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.

二、课时安排

1课时

三、教学重点

利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值

四、教学难点

能够进行30°、45°、60°角的三角函数值计算.

五、教学过程

（一）导入新课

在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边比、对边与邻边的比也随之确定,分别叫做∠A的正弦、余弦、正切.

（二）讲授新课

活动1：小组合作

[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.

我们组设计的方案如下：

让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视

线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE 的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.

我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、

余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°

=，则

CD=atan30°，岂不简单.

你能求出30°角的三个三角函数值吗?

活动2：探索30°角的三角函数值

①观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?

② sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.

③cos30°等于多少?tan30°呢?

学生探讨、交流，得出 30°角的三角函数值

2．我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?

活动2：探究归纳——完成下表

（1）我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?

（2）再次观察表格，你还能发现什么？从下列两个方面考虑

a随着角度的增加，正弦、余弦、正切值的变化情况。

(完整版)三角函数特殊角值表

角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系 2 30°,45°,60°角的三角函数值》教案_9

1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 教学分析： 本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值. 三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力. 课题 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. (二)思维训练要求 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力. 2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯. 2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教具重点 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.比较锐角三角函数值的大小. 教学难点 进一步体会三角函数的意义. 教学方法 自主探索法 教学准备 一副三角尺 多媒体演示 教学过程 Ⅰ.回顾与思考。 [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，请同学们回顾正弦，余弦，及正切的相关概念。

三角函数特殊角值表

三角函数特殊值 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°= 21 sin45°=cos45°=2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 巧记特殊角的三角函数值 初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。 仔细观察表1，你会发现重要的规律。

九年级数学锐角三角函数知识点与典型例题

锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围】 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． 第1题图 ①斜边 ) (sin = A ＝______， 斜边)(sin = B ＝______； ②斜边 )( cos =A ＝______， 斜边 ) (cos =B ＝______； ③的邻边A A ∠= ) (tan ＝______， ) (tan 的对边 B B ∠= ＝______． 例2. 锐角三角函数求值： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ． 典型例题： 类型一：直角三角形求值 1．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点， ?= ∠4 3 sin AOC 求AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 5B ．25 C ．12 D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B .45 C .34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ． 2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ， 和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ． 12 B ．32 C ．35 D ．4 5 D C B A O y x 第8题图

特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值的巧记 特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背． 那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法 根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法． 首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系． 对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、 斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意 一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点． 在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三 角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义． 二、列表法：

说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法 口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号， 不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ． 例1.tan30°的值等于（ ）

30度,45度,60度角的三角函数值

1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 一、教学目标 1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 二、教学重点和难点 重点：1.探索30°，45°，60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算. 3.比较锐角三角函数值的大小. 难点：三角函数值的应用 三、教学过程 （一）复习回顾： 如图所示 在 Rt △ABC 中，∠C=90°. （1）a 、b 、c 三者之间的关系是 ，∠A+∠B= . （2）sinA= ，cosA= ，tanA= . sinB= ，cosB= ，tanB= . （二）探究新知： 1.如右图，在 Rt △ABC 中，∠C=90° (1)当∠A=30°时，你能计算下面的函数值吗？ sin30°= ，cos30°= ，tan30°= sin60°= ，cos60°= ，tan60°= (2)当∠A=45°时，你能计算下面的函数值吗？ sin45°= ，cos45°= ，tan45°= 2. A A

3.锐角三角函数的大小比较 (1) 正弦、正切的锐角三角函数值随角度的增大而_____，随角度的减小而_____． (2)余弦的锐角三角函数值随角度的增大而_____，随角度的减小而_____。 (3)锐角A 的取值范围__________ 三个锐角三角函数值的取值范围__________、__________、__________ （三）典例讲解： 例1、计算： (1)sin30°+cos45°； (2)sin 2 60°+cos 2 60°-tan45°. （四）巩固训练： (1)sin600 -cos450 ; (2)cos600 +tan600 （五）学以致用： 例2：一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两 边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同， 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差. ( ) .45cos 260sin 45sin 2 2 3000-+() .45cos 260cos 30sin 2 2402020 2-+

已知三角函数值求角知识讲解

【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与 54 π终边相同的角和所有与74π 终边相同的角．因此x 的取值集合为

特殊角的三角函数值及计算

特殊角及计算 归纳结果 0° 3０° 45° 60° 90° si ｎＡ cosA ta ｎA c ｏtA 当锐角越来越大时， 的正弦值越来______＿____,的余弦值越来_＿___＿_____。 当锐角α越来越大时， α的正切值越来__＿__＿＿___＿，α的余切值越来___________。 1：求下列各式的值. (1）cos 2 6０°+sin 2 60°． （2)cos 45sin 45? ? -t ａn45°． 2:（１)如图（１),在Rt △ＡBC 中，∠Ｃ=90，6,B Ｃ3,求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3,求a. 一、应用新知: 1。（1）(ｓi ｎ60°－tan30°)cos45°= 。（2)若0sin 23=-α，则锐角α＝ ． 2。在△ＡB Ｃ中，∠Ａ=７5°，2c ｏsB=2,则ta ｎC= 。

３。求下列各式的值． （１）o 45cos 230sin 2-? （2）ta ｎ３０°-si ｎ 60°·ｓｉｎ３0° （3)c ｏｓ45°+3t ａn30°+c ｏs30°＋2sin ６0°—2ｔａn4 ５° （4)?+?+? +?- ?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4。求适合下列条件的锐角. （１）2 1 cos =α??（2)33tan =α (3)2 2 2sin = α? （４）33)16cos(6=- α (5） （6） ６。如图,在△ABC 中，已知ＢC ＝１+ ,∠Ｂ=60°,∠C=４5°，求AB 的长。 ７．在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ,则△ABC 的 形状是_＿____＿＿________. |tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α01tan 3=-α 3

30度,45度,60度角的三角函数值教案

30°，45°，60°角的三角函数值 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义． 2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算． 3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小． (二)思维训练要求 1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力． 2．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． (三)情感与价值观要求 1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教具重点 1．探索30°、45°、60°角的三角函数值． 2．能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算． 3．比较锐角三角函数值的大小． 教学难点 进一步体会三角函数的意义． 教学方法 自主探索法 教学准备 一副三角尺 多媒体演示 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺．请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度． (用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法) [生]我们组设计的方案如下： 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE ＝AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可． [生]在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，AD ＝BE ，BE 是已知的，设BE ＝a 米，则AD ＝a 米，如何求CD 呢？ [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC ＝2CD ，根据勾股定理，(2CD )2＝CD 2＋a 2， CD ＝ 3 3 a ． 则树的高度即可求出． [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°＝ a CD AD CD ，则CD ＝a tan30°，岂不简单． 你能求出30°角的三个三角函数值吗？ Ⅱ．讲授新课 1．探索30°、45°、60°角的三角函数值． [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？ [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°．

特殊角的三角函数值及计算

特殊角及计算 归纳结果 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA 当锐角越来越大时, 的正弦值越来___________，的余弦值越来___________. 当锐角α越来越大时, α的正切值越来___________，α的余切值越来___________. 1：求下列各式的值． （1）cos 2 60°+sin 2 60°． （2）cos 45sin 45? ? -tan45°． 2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，6，3A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3a ． 一、应用新知： 1.（1）（sin60°-tan30°）cos45°= .(2)若0sin 23=-α，则锐角α= . 2.在△ABC 中，∠A=75°，2cosB=2，则tanC= . 3．求下列各式的值．

(1)o 45cos 230sin 2-? (2)tan30°－sin60°·sin30° (3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45° (4)?+?+? +?- ?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4．求适合下列条件的锐角． (1)2 1cos =α (2)3 3tan = α (3)2 22sin = α (4)33)16cos(6=- α （5） （6） 6．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长. 7.在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ，则△ABC 的 形状是________________. 8. 在△ABC 中，∠C=90°,sinA= ,则cosB=_______,tanB=_______ 9.已知α为锐角，且sin α=5 3 ,则sin(90°-α)=_ 二、选择题． |tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α0 1tan 3=-α3

已知三角函数值求角知识讲解

已知三角函数值求角 【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin 2 x =- ，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin 2x =- 知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42 π=，所以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与 54 π终边相同的角和所有与74π 终边相同的角．因此x 的取值集合为

人教版九年级下册数学学案：28.1特殊角的三角函数值及计算

特殊角的三角函数值及计算 【学习目标】: 1、会求出30°、45°、60°角的三角函数值。并能简单运算。 2、在学习中渗透普遍存在的相互联系、相互转化观点，逐步培养学生观察、分析、比较、概括的思维能力。 3、感受推理的合理性，养成科学的学习态度。 学习重点：推导并熟记特殊角30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。 学习难点：会用特殊角的三角函数值进行计算。 预习 一．学法指导： 1、旧知链接：如图在 Rt △ABC 中，∠C=90°。（1）a 、b 、c 三者之间的关系是 ，∠A+∠B= 。 （2）sinA= c a ，cosA= tanA= ; sinB= ， cosB= ， tanB= 。 （3）若A=30°，则c a = __ 。 （4）sinA 和cosB 有什么关系?____________________； 2、新知预习 : ① 独立阅读课本90-91页本节内容， 对重点内容做好圈点勾画。 ②结合课本的基础知识和例题，完成相关练习。 二：预习检测： （1）sin60°--tan45°=__________ （2）cos60°+tan60°=__________ 探究 探究一：推导特殊角的三角函数 值 [问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? 请 用逻辑推理的办法证明在直角三角形中，如果一个锐角 等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 [问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢? cot30°呢？ [问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?请完成下表： ★学法指导：： （1）图形记忆（2）列表记忆（3）规律记忆 观察上表，我们是否发现，对于同名三角函数，当 角度发生变化时，函数值有什么变化？ 例1：求下列各式的值． （1）sin30°+cos45° (2)sin 260°+cos 260°-tan45° （3） -tan45° 拓展1： 探究二：利用特殊角的三角函数值求角。 例2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，AB=6，BC=3， 求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求α． 拓展2：已知锐角A ，且sinA 是方程 的根，试求锐角A 的度数。 ★ 学法指导：由三角函数值求角，主要是根据特殊角的 三角函数值求角，需要记忆30°、45°、60°角的四个三角函数值。 补充练习： 1、若cos α=sin300，α为锐角，则tan α=_________。 2、已知∠A 是锐角，若2cos （A+100）=3，则∠A=______。 3、点M （tan600，－cos600）关于x 轴的对称点N’的坐标是（ ） A 、（－3，21） B 、（3，21） C 、（3，－21） D 、（－3，－2 1 ） 4、计算： （1）1 30sin 560cos 30 0- （2）0 045cos 360sin 2+ （3）??-?30cos 30sin 260sin cos 45sin 45? ? 30° 45° 60° sin α cos α tan α cot α ┌ ┌ 300 600 450 450 4 24)60sin 45(2c 2)1(0 0+-os 100)41(45cos 2118)2(-+---）（π03)31(242=++-x x

知识讲解_已知三角函数值求角

已知三角函数值求角 【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin 2 x =- ，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin 2 x =- 知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42π=，所 以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=．

特殊角的三角函数值及计算

特殊角及计算 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA 当锐角α越来越大时, α的正弦值越来___________，α的余弦值越来___________. 当锐角α越来越大时, α的正切值越来___________，α的余切值越来___________. 1：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45? ? -tan45°． 2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，6，3，求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3倍，求a ． 一、应用新知： 1.（1）（sin60°-tan30°）cos45°= .(2)若0sin 23=-α，则锐角α= . 2.在△ABC 中，∠A=75°，2cosB=2，则tanC= .

3．求下列各式的值． (1)o 45cos 230sin 2-? (2)tan30°－sin60°·sin30° (3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45° (4)?+?+? +?-?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4．求适合下列条件的锐角． (1)2 1cos =α (2)3 3tan = α (3)2 22sin = α (4)33)16cos(6=-οα （5） （6） 6．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长. 7.在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ，则△ABC 的 |tanB-3|+(2sinA-3)2 =002sin 2=-α0 1tan 3=-α3

已知三角函数值求角教案1

已知三角函数值求角教案1 教学目标 1．使学生掌握已知三角函数值求角(给值求角)的方法和步骤． 2．通过启发学生总结给值求角的步骤，培养学生归纳、类比、总结的能力． 3．培养学生严谨的科学态度，促进良好个性品质发展． 教学重点与难点 重点是给值求角的基本方法．难点在于归纳给值求角的基本步骤． 教学过程设计 一、复习引入 师：我们学习了5组诱导公式，如何概括这5组公式？ 生：k·360°＋α(k∈Z)，－α，180°±α，360°－α的三角函数值等于α的同一三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 师：那么k·360°＋α，……这些角从“形”这一角度看，与α又有什么关系呢？ (这应在诱导公式那一节有所渗透，或曾经留给同学思考过．) 生：角k·360°＋α(k∈Z)的终边与α角的终边相同，180°－α的终边与α的终边关于y轴成轴对称图形，180°＋α的终边与α的终边关于原点成中心对称图形，360°－α和－α终边相同，与α的终边关于x轴成轴对称图形． 师：α是什么样角？ 生：使三角函数有意义的任意角． 师：如果把α看作是锐角，那么k·360°＋α(k∈Z)，180°±α，360°－α各是第几象限角？它们的三角函数值与α的同一三角函数值有什么联系？

生：k·360°＋α(k∈Z)是第一象限角，180°－α是第二象限角，180°＋α是第三象限角，360°－α是第四象限角．这些角的三角函数与α的同一三角函数值相等或互为相反数． (如图1，帮助学生形象思维与记忆．) 师：利用这幅图，记忆诱导公式的符号是不是变得直观了？！那么诱导公式又有什么功能呢？ 生：把任意角的三角函数转化为0°～90°间角的三角函数，然后就可以查表求值了． 师：这些任意角的终边和某个锐角α0的终边有刚才所说的对称关系，那么同一三角函数值之间有没有关系？ 生：有关系，那些角的三角函数值要么等于α0的同一三角函数值，要么等于这个值的相反数，相等还是相反由这些角所在象限决定． 师：可以这样说，这些角的三角函数值的绝对值等于α0的同一三角函数值．每个角α都可通过一个锐角α0求得这个角的三角函数值(当值存在时)，这个值由α唯一确定．那么反过来，知道某个角α的某个三角函数值，要反求α，这个α怎么求？是否唯一？这与我们本节课要研究的知识有关． 二、讲授新课 (板书)已知三角函数值求角． 师：我们先来研究给正弦值求角． (板书) 例1 求满足下列条件的角α的取值集合．

特殊角的三角函数值——典型例题

作业： 归纳结果 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA 当锐角α越来越大时, α的正弦值越来___________，α的余弦值越来___________. 当锐角α越来越大时, α的正切值越来___________，α的余切值越来___________. 1：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45? ? -tan45°． 2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，AB=6，BC=3，求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求a ． 一、应用新知： 1.（1）（sin60°-tan30°）cos45°= .(2)若0sin 23=-α，则锐角α= . 2.在△ABC 中，∠A=75°，2cosB=2，则tanC= . 3．求下列各式的值． (1)o 45cos 230sin 2-? (2)tan30°－sin60°·sin30°

(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45° (4)?+?+? +?- ?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4．求适合下列条件的锐角α ． (1)2 1cos =α (2)3 3tan = α (3)222sin = α (4)33)16cos(6=- α （5） （6） 6．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长. 7.在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ，则△ABC 的 形状是________________. 8. 在△ABC 中，∠C=90°,sinA= ,则cosB=_______,tanB=_______ 9.已知α为锐角，且sin α=5 3 ,则sin(90°-α)=_ 二、选择题． 1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3 5 ，AB=15，则AC 的长是（ ）． A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 3．已知∠A 为锐角，且cosA ≤1 2 ，那么（ ） A ．0°<∠A ≤60° B ．60°≤∠A<90° C ．0°<∠A ≤30° D ．30°≤∠A<90° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 3 2 ，则△ABC 的形状是（ ） |tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α0 1tan 3=-α3

九年级数学锐角三角函数(带答案)

锐角三角函数与解直角三角形 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin A a A c ∠ == 的对边 斜边 ； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边 ； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边 . 同理sin B b B c ∠ == 的对边 斜边 ；cos B a B c ∠ == 的邻边 斜边 ；tan B b B B a ∠ == ∠ 的对边 的邻边 ． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，， B a b c

，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”； 另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释： (1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若， 则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： sin0?、、、、sin90?的值依次为0、、、、1，而cos0?、 、、、cos90?的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时， ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 考点三、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． (1)互余关系：，； (2)平方关系：；

直角三角形边角关系1.2§1-2 30度,45度,60度角的三角函数值

数学电子备课工作安排　课题 30°、45°、60°角的三角函数值 课型 新授课 课标与教材 本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.教学重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小教学难点：三角函数值的应用 学情 三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力. 教学目标知识与能力：1．历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小过程与方法：经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。情感态度价值观：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力教学方法与媒体自主探索法 多媒体教具准备 一副三角尺 多媒体演示师 生 活 动 过 程 复备修改及设计意图复习回顾：直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数的定义.Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. (用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法) [生]我们组设计的方案如下：、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。