初等数论复习题题库及答案
《初等数论》本科
一 填空题（每空2分）
1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 .
2.,(,)(,)(,)
a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by +=
4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个.
5.,1,2,,a b a b 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a b 个.
6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c
7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数.
8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 .
9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- .
10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m
11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p
12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod7).
13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) .
14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. .
15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n
p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -121(mod ).p n
p ≡- . 17.3()=5 -1 ; 4()=5 1 . 18.,p 设是奇素数则2()p = 218(1).p -- . 19.,p 设是奇素数则1()p
= 1 ;-1()p = -12(-1).p .
20. 5()=9 1 ; 2()=45 -1 .
二 判断题(判断下列结论是否成立，每题2分).
1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成立
2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立
3. 23|,|a b a b 若则.不成立
4.(mod ),0,(mod ).a b m k k N ak bk mk ≡>∈?≡ 成立
5.(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡?≡ 不成立
6. 22(mod ),(mod )(mod )a b m a b m a b m ≡≡≡-若则或至少有一个成立. 不成立
7. 222(mod ),(mod )a b m a b m ≡≡若则.不成立
8. 若x 通过模m 的完全剩余系,则x b +(b 是整数)通过模m 的完全剩余系. 成立
9. 1212{,,,}{,,,}.m m a a a b b b 若与都是模m 的完全剩余系不成立
1122{,,,}.m m a b a b a b m +++则也是模的完全剩余系不成立
10.若(,)1a m =,x 通过模m 的简化剩余系,则ax b +也通过模m 的简化剩余系. 不成立 11.12121212,,(,)1,()()().m m N m m m m m m ???∈==若则 成立
12. 同余方程24330(mod15)x x -+≡和同余方程2412120(mod15)x x +-≡是同解的. 成立 13. (mod ).ax b m ax my b ≡+=同余方程等价于不定方程成立 14. 2,(mod ),() 1.a m x a m m
≡=当是奇素数时若有解则成立 15. 2,()1,(mod ).a m x a m m
=≡当不是奇素数时若则方程一定有解不成立
三 计算题
1. (1859,1573)-求.（6分）
解：1.(1859,1573)(1859,1573)(286,1573)(286,15732865)(286,143)(0,143)143
-===-?=== 2.求 [-36,108,204].（8分）
解：22232232.[36,108,204][36,108,204],
3623,10823,2042317,[36,108,204]23171836.
-==?=?=??∴=??=
3. 求(125,17),以及x ,y ,使得125x +17y =(125,17).（10分）
解：3.651,16-56-(17-26)36-173(125-177)-17
3125-2217.
1253-17221,3,-22.x y =+==?=?=??=??∴??===由等式起逐步回代得
4. 求整数x ,y ,使得1387x -162y =(1387,162).（10分）
解：4.9421,19-429-4(11-9)59-4115(20-11)-411
520-911520-9(71320)3220971
32(91-71)97132914171
329141(16291)739141162
73(13878162)41162
731387625162.
1=?+=?=?=??=??=??=??-?=?-?=?-?=?-?=?-?-=?-?=?-?-?=?-?∴由等式起逐步回代得
38773162625 1.?-?=
5. 12!.分解为质因数乘积（8分）
6. ,10|199!k k 求最大的正整数使.（8分）
7. [1].100
++求(10分) 8. 81743.x y +=求方程的整数解(6分)
9. 19201909.x y +=求方程的正整数解(10分)
10. 求方程111x -321y =75的整数解.(10分)
11. 12310661.x x x ++=求方程15的整数解(8分)
12. 361215.x y z ++=求不定方程的整数解(8分)
13. 237.x y z ++=求不定方程的所有正整数解(8分) 14. 19,2,3 5.30
将写成三个分数之和它们的分母分别是和(10分) 15. 222370.x y x y +--=求方程的整数解(6分)
16. 331072.x y +=求方程的整数解(8分)
17. 5()4.xy yz zx xyz ++=求方程的正整数解(10分)
18. 4063().求的个位数字与最后两位数字十进制(10分)
19. 67(mod 23).x ≡解同余方程(8分)
20. 12150(mod 45).x +≡解同余方程(8分)
21. 2(mod 3)3(mod 5).2(mod 7)x x x ≡??≡??≡?
解同余式组(6分)
22. 43()0(mod35),()289.f x f x x x x ≡=+++解同余式(10分)
23. 765:2720(mod5).x x x x --++≡解同余方程(6分)
24. .求出模23的所有二次剩余和二次非剩余(8分)
25. 25(mod11).x ≡判断方程有没有解(6分)
26. 2563,429(mod563).x ≡已知是素数判定方程是否有解(8分)
27. 3求以为其二次剩余的全体素数.(8分)
28. 10173:(1)();(2)().1521
计算(8分) 29. (300).?计算(6分)
30. 3(mod8)11(mod 20).1(mod15)x x x ≡??≡??≡?
解同余式组(10分)
四 证明题
1、,,,, 1.:|,|,|.a b x y ax by a n b n ab n +=设是两个给定的非零整数且有整数使得求证若则(6分)