反比例函数的应用六种题型
反比例函数实际应用的六种题型
题型一：在面积中的应用 一：面积不变性（k 的几何意义）
如图，设点P （a ，b ）是反比例函数y=
x
k
上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是k （三角形PAO
和三角形PBO 的面积都是
k 2
1
；面积是正数，所以k 要加绝对值） S 矩形PBOA =k ； S 三角形PAO =S 三角形PBO =k 21
注意： （1）面积与P 的位置无关，即(0)k
y k x
=≠的面积不变性
（2）当k 符号不确定的情况下须分类讨论
S △ABC =︱K ︱； S ABCD =2︱K ︱
二、曲直结合（一次函数与反比例函数）
典型例题
例1 如图,点P 是反比例函数x
y 2
=图象上的一点,PD ⊥x 轴于D.则△POD 的面积为 .
例2 如图，已知，A,B 是双曲线)0
(>=k x
k y 上的两点，
（1）若A(2,3)，求K 的值；
（2）在(1)的条件下，若点B 的横坐标为3，连接OA,OB,AB ，求△OAB 的面积。 （3）若A,B 两点的横坐标分别为a,2a ，线段AB 的延长线交X 轴于点C ，若6=?AOC S ，求K 的值
变式1 在双曲线)0(>=x x
k y 上任一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴y 轴围成矩形面积
为12，求函数解析式__________。
变式2 如图，在反比例函数2
y x
=
(0x >)的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，求123S S S ++．
S 3
S 2
S 1
1 2 3 4
y=
2x
P 4
P 3
P 2x
y
O P 1
变式3 如图，点P，Q是反比例函数y= 图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点
B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积
记为S2，则S1________S2．（填“＞”或“＜”或“=”）
变式4 已知A B C D E
，，，，是反比例函数
16
y
x
=()0
x>图象
上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形，则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）
变式5 如图正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数
k
y
x
=(0,0)
k x
<<
的图象上，点P(m，n)是函数
k
y
x
=(0,0)
k x
<<的图象上异于B的任意一点，过
点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
(1)设矩形OEPF的面积为S l，判断S l与点P的位置是否有关(不必说理由)．
(2)从矩形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为S2，写出S2与m的函数关系，并标明m的取值范围．（8分）
总结：一个性质：反比例函数的面积不变性
A
B C
O
y
x
y=
16
x
E
D
C
B
A
y
x O
两种思想：分类讨论和数形结合
题型二：在工程与速度中的应用
一、工程问题
工作总量＝工作效率×工作时间；
合做的效率＝各单独做的效率的和。
当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”
各部分工作量之和=总工作量=1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系。
二、行程问题
路程=速度×时间。
典型例题
例3 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
(1)这批货物的总量是多少吨？
（2）轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?
（3）若工人以每天40吨的速度卸货，需要几天卸完？
(4)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕,那么平均每天至少要
卸多少吨货物?
（5）若工人每天卸货在40—48吨之间，那么卸货时间范围是多少？
变式6 一辆汽车往返于甲,乙两地之间,如果汽车以50千米/小时的平均速度从甲地出发,则经过6小时可以到达乙地.
(1)甲乙两地相距多少千米?
(2)如果汽车把速度提高到v千米/小时,那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变
化?
(3)写出t与v之间的函数关系.
(4)因某种原因,这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地,则此时的汽车的平均速度至
少应是多少?
(5)汽车按每小时60千米的速度行驶2小时时，司机接到通知必须在之后2小时之
内到达目的地。之后每小时至少加速多少，才能准时到达？
题型三：反比例函数在电学中的运用
在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用。
例4 在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．
(1)求I与R之间的函数关系式；
(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．
点评：反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础。用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的
综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系．
题型四：在光学中运用
例5 近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400?度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．
（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；
（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．
点评：生活中处处有数学。用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见
的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理解和探索。
题型五：在排水方面的运用
例3 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；
（2）写出此函数的解析式；
（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多
少？
（4）如果每小时排水量是 5 000m3，那么水池中的水将要多
少小时排完？
分析：当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例．
解：（1）因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例3 ?所以根
48000
t
48000
6
48000
6
反比例函数的应用六种题型
480006
480006
点评：学会把实际问题转化为数学问题，充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理。
题型六：在解决经济预算问题中的应用
例7 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x －0.4)元成反比例.又当x ＝0.65元时，y ＝0.8
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少?
点评：在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题．