五年级下册数学试题-五升六讲义第11讲 同余问题(奥数板块)北师大版
第十一讲数论之同余（选讲）
一、余数定理：若A÷x余a，B÷x余b，则有
①(A?B)÷x的余数=(a?b)÷x的余数；
②当A>B,a>b时，(A±B)÷x的余数=(a±b)÷x的余数；
③当A>B,a ④??(A+B)-(a+b)??÷x的余数为0； ⑤若a、b相等，则(A-B)÷x的余数为0 【例1】一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？【巩固】2024除以一个两位数，余数是22．求出符合条件的所有的两位数．【例2】求437?309?1993被7除的余数． 【巩固】一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是多少？ 【例3】22003与20032的和除以7的余数是多少？ 【巩固】22008+20082除以7的余数是多少？ 【例4】777???77除以41的余数是多少？ 1997个7 【巩固】已知a=200820082008，问：a除以13所得的余数是多少？ 2008个2008 【例5】若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和是多少？ 【巩固】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？ 【例6】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一 起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够， 但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱 凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是多少元？ 【巩固】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那 么商店剩下的一箱货物重量是多少千克？ 【例7】著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数 列当中第2013个数除以3所得的余数为多少？ 【巩固】有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1， 那么这列数中的第2013个数除以6，得到的余数是． 2 8 2 【例 8】 5 年级 3 班同学上体育课，排成 3 行少 1 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少 1 人，排成 6 排多 5 人，问上体育课的同学最少有多少人？ 【巩固】有一个自然数，除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，除 以 6 余 5，则这个数最小是多少？ 【例 9】 将 七 位 数 “ 1357924 ” 重 复 写 287 次 组 成 一 个 2009 位 数 “13579241357924…”。删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按上述 方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是多少？ 【巩固】30 粒珠子依 8 粒红色、 粒黑色、 粒红色、 粒黑色…的次序串成一圈， 一只蚂蚱从第 2 粒黑珠子起跳，每次跳过 6 粒珠子落在下一粒珠子上， 这只蚂蚱至少要跳 次才能落到黑珠子上？ 【例10】有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是, 分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙 签多少根? 【巩固】五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分 五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一 只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后 去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有多少个桃子？课后作业 1.一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是多少？ 2.三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个 余数，则这个除数是多少？ 3.有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍。且这个三位 数除以5余4，除以11余3。这个三位数是多少？ 4.一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商 是余数的3倍，这个自然数是多少？ 5.用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是1 6.被除数、除数、商、 余数的和是933，求这2个自然数各是多少 6.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r． 7.号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每 两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘? 8.将13579111315171921......依次写到第2013个数字，组成一个2013位数，那么此数除以9的余数是多少？ 9.小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人。那么一起做游戏的小朋友至少有多少人？ 10.求200720072007 (2007) 2007个 除以9、99、999、的余数分别是多少?