考研高数笔记

考研高数笔记 The document was prepared on January 2, 2021

第一章 函数、极限、连续

第1节 函数

a) 反函数和原函数关于y=x 对称。

b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。

d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的

乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。

e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。

第2节 极限

a) 左右极限存在且相等?极限存在。

b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中

0=(x)ɑlim 0

x x →。（等价无穷小）

c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性）

d) A x =→)(f lim 0

x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性）

e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有

界。（有界性）

f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么

lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B

lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B

lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算）

g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和

有界量乘积仍然是无穷小。 h) )

()(lim x g x f =l

i. l=0，f(x)=o(g(x)).

ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶.

iii. 0

x g x f )]

([)

(lim

=l(l ≠0)，则称f(x)是g(x)的k 阶无穷小。 i) 等价无穷小代换：

x →0时，x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~e x -1~ln(1+x)

1-cosx ~21x 2 =》1-cos αx ~2

αx 2

x

1+-1~2

1x =》α)x 1(+-1~αx tanx-x ~3

13x

x-sinx ~6

13x

特殊的，x →0时a x -1~xlna

j) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。

k) 要注重推广形式。例如【x →0时，x ~sinx 】，如果当x →x 0时，f(x)→0，那

么将原式中x 换成f(x)也成立。 l) 求极限的方法：

i. 利用函数的连续性（极限值等于函数值）。利用极限的四则运算性质。 ii. 抓头公式（处理多项式比值的极限）。

1. 抓小头公式。（x →0）

2. 抓大头公式。（x →∞）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次

项的系数比】）

iii. 两个准则：

1. 夹逼准则

2. 单调有界必有极限 iv. 两个重要极限：

1.

x

sinx lim

x →=1 （利用单位圆和夹逼准则进行证明）

2.

e x

x

=+

∞

→)11(lim x

e =+→x

10

x )

x 1(lim （利用单调有界准则进行证明） 口

诀：倒倒抄。（结合抓头公式）

v. 无穷小的运算性质、等价无穷小的代换

1. 有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷小与有

界量乘积为无穷小。

2. 12种等价无穷小的代换。

vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。

vii. 利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增量比”的

形式，则极限就是导数。 viii. 定积分的定义求极限。（处理多项求和的形式） ix. 泰勒公式

1. 泰勒公式中系数表达式：

f (n )(x 0)n!

(x ?x 0)n

2. 当x 0=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。

常用的麦克劳林公式：

e x sinx cosx ln(x+1) (1+x)m x. 洛必达法则

使用前提：（1）分子分母都趋向于0。（2）分子分母的极限都存在。（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。 第一层次

00

∞

∞

第二层次

0*∞：转换成0

0或∞

∞

∞-∞：通分化为0

（常用换元的方法求解）

第三层次

1∞∞000

使用e ln进行转化。

第3节连续与间断

a)连续

某点：极限值=函数值 函数在该点连续

开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。

闭区间：开区间连续切在端点连续

b)间断

第一类间断点（左右极限都存在）

可去间断点：左右极限相等

跳跃间断点：左右极限不相等

第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）

无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。

振荡间断点：因振荡而不存在。

c)初等函数的连续性

i.基本初等函数在相应的定义域内连续。

ii.区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是连续函数。

iii.连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。

iv.原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。

v.一切初等函数在相应定义区间内连续。

d)闭区间连续函数的性质

如果f(x)在[a,b]连续，则：

1.f(x)在[a,b]有界。

2.有最大最小值

3.介值定理

4.零点定理：f(a)*f(b)<0，a、b之间必有零点。

第二章一元函数微分学

第1节导数与微分

1导数

a)导数定义：增量比，取极限。

b)左导数和右导数存在且相等 导数存在

c)函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。

d)导数的物理意义：对路程函数中的t求导为瞬时速度.etc

e)导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。

?y′(x)

f)函数的相对变化率（弹性）：x

y

g)可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。

h)偶函数的导数是奇函数。

2微分

微分定义：自变量x沿着切线方向的增量y。

3求导法则

a) 导数微分表（4组16个）。 b) 导数的四则运算。

c) 反函数的导数：原函数导数的倒数。 d) 复合函数求导法则。 e) 参数方程求导：dy

dx =

dy

dt /dx

dt

f) 隐函数求导：左右两侧同时求导，y 当作x 的函数处理。 g) 对数求导法

i. 幂指函数：先将等式两边同时化为ln 的真数，再运用隐函数求导法则。 ii. 连乘函数：先将等式两边同事化为ln 的真数，变成连加，再运用隐函数求

导法则。

4 高阶导数

a) 莱布尼茨公式：[u(x)v(x)](n)=∑C n k n k=0u

(k )(x )v (n?k )

(x) b) 反函数的二阶导数：?f ′′(x)[f (x )] c) 参数方程的二阶导数：

y ′′x ′?y ′x ′′

(x ′)3

第2节 微分中值定理

1 罗尔中值定理

条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。（3）f(a)=f(b)。 结论：在a 和b 之间必有一个值ξ使得f ’(ξ)=0。

几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。

引申---费马引理

y=f(x)，若x0为y=f(x)的极值点，则f’(x0)=0。

2拉格朗日中值定理

条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。

结论：在a和b之间必有一个值ξ使得f’(ξ)=f(b)?f(a)

b?a

。

几何意义：在该条件下的函数，必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。

证明：使用曲线减去两端点连线得出一个函数，再对该函数应用罗尔中值定理。

使用该定理的信号：要求证的式子中有一个端点处函数值之差。

3柯西中值定理

条件：（1）f(x)、g(x)在[a,b]连续。（2）f(x)、g(x)在(a,b)可导。且g’(x)≠0

结论：在a和b之间必有一个值ξ使得f′(ξ)

g′(ξ)=f(b)?f(a)

g(b)?g(a)

。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。

证明：使用参数方程，将f(x)和g(x)作为参数表示。证明过程与拉格朗日中值定理相同。

使用该定理的信号：要求证的式子中有两个端点处函数值之差。

4泰勒中值定理

泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。

f(x)=∑f(n)(x0)

(x?x0)n+

f(n+1)(ξ)

(x?x0)n+1

∞

n=0

拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。

使用该定理的信号：高阶导数。

使用方法：（1）确认n的取值，一般根据高阶导数的阶数选取。（2）确认x0的取值，一般选取题中已知导数值的点。（3）确认x的取值，一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。

第3节微分学的应用

1单调性、极值

单调性：

f’(x)>0的区间，f(x)单调增的区间；f’(x)<0的区间，f(x)单调减的区间。

极值：

极值点和导数为零的点没有充要条件关系。

可导函数的极值点，对应的导数值为0。（费马引理）

驻点（导数为0的点）不一定是极值点。

第一判定法：若在x0的邻域内，x0左右导数异号，则x0是一个极值点。

第二判定法：x0为驻点，且在x0处，f(x)的二阶导数存在。通过二阶导数的符

号进行判定。

2最值（闭区间）

最值可能出现在（1）极值点（2）区间端点。

3凹凸、拐点

凹凸：

视觉定位：俯视 凹函数：f(

x 1+x 22

)≤

f (x 1)+f (x 2)

2

凸函数：f(

x 1+x 22

)≥

f (x 1)+f (x 2)

2

凹函数：f ’’(x)>0 凸函数：f ’’(x)<0

拐点：可能出现在f ’’(x)=0或f ’’(x)不存在的点，但不一定是。

4 渐近线

水平渐近线：当f(x)趋向于∞时，极限存在，则该极限为水平渐近线。 铅直渐近线：当f(x)趋向于x 0时，极限趋向于∞，则x 0为该函数的铅直渐近线。 斜渐近线：当f(x)趋向于∞时，f(x)-(kx+b)=0，则(kx+b)为该函数的斜渐近线。其中，k=

f(x)x

，b=lim x→∞

[f (x )?kx]。

5 函数图像的描绘

利用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。

6 曲率

弧微分：ds=√1+[y ′(x )]2dx 曲率即：角度在单位弧长的变化。 曲率：K =

dαds =dα/dx ds/dx

=

|y ′′|

[(1+(y ′)2]3

2

曲率半径：ρ=1

K

曲率圆：从弧上某点出发，向凹侧沿法线方向移动ρ的长度，即得到曲率圆的圆心。

第三章 一元函数积分学

第1节

不定积分

(一) 定义

’(x)=f(x)，称F(x)为f(x)的原函数。[F(x)+C]’=f(x)，称F(x)+C 为f(x)的原函数组。2.∫f (x )dx =F (x )+C 为f(x)的不定积分。

(二) 性质

1.∫F ′(x )dx =∫f (x )dx =F (x )+C

2.∫[f (x )dx ]′=[F (x )+C ]′=f(x)

3.∫kf (x )dx =k ∫f (x )dx

4.∫(f 1(x )±f 2(x ))dx =∫f 1(x )dx ±∫f 2(x )dx (三) 基本几分公式

24个公式=13（基本导数表）+11（常用公式）

(四) 积分方法

1.凑微分法（第一换元法） ∫f[φ(x )]φ′(x )dx =F [φ(x )]+C 有13个常用公式。

2.换元法（第二换元法）

∫f (x )dx =∫f[φ(t )]φ′(t )dt =F(t)+C=F[φ?1(x)]+C

φ(t )可导且存在反函数。（根式换元、三角换元、倒代换）

3.分部积分法

∫u (x )dv (x )=u (x )v (x )?∫v (x )du(x)

口诀：反对幂指三，谁先出现谁留下。

第2节 定积分

(一) 定义：分割，近似，求和，取极限。

几何意义：曲线与x 轴所围面积的代数和。 (二) 性质：

1. ∫f (x )dx =0a

a

2. ∫f (x )dx =?∫f (x )dx a

b b

a 3. ∫kf (x )dx =k ∫f (x )dx b

a b

a

4. ∫[f 1(x )±f 2(x )]=∫f 1(x )dx ±∫f 2(x )dx b

a b a b a 5. ∫f (x )dx =b

a ∫f (x )dx +c

a ∫f (x )dx b

c 6. 若f(x)≥0，x ∈[a,b]，则∫f (x )dx ≥0b

a

7. 若f(x)≥g(x) ，x ∈[a,b]，则∫f (x )dx ≥∫g (x )dx b

a b

a 8. m ≤f(x)≤M ，x ∈[a,b]，则m(b-a)≤ ∫f (x )dx b

a ≤M(b-a)

(三) 基本定理

1.积分中值定理：f(x)在[a,b]连续，则在[a,b]中存在一点ξ，使得∫f (x )dx =f(ξ)(b ?a)b

a 常把f(ξ) 称为积分平均值。 2.变限积分：函数

变上限φ(x )=∫f (t )dt x

a

φ′(x)=f(x)

变下限φ(x )=∫f (t )dt b

x φ′(x)=?f(x)

φ(x )=∫f (t )dt u(x)

a

φ′(x)=f[u (x )]

u′(x)

φ(x )=∫f (t )dt b

v(x) φ′(x)=?f[v (x )]

v′(x)

φ(x )=∫f (t )dt u(x)

v(x) φ′(x)=f [u (x )]u ′(x )?f[v (x )]

v′(x)

3.牛顿-莱布尼茨公式:

F’(x)=f(x)则∫f (x )dx =b

a F (x )|a

b =F (b )?F(a)

第3节

反常积分（广义积分）

定积分：（1）有限区间。（2）区间内有界。

(一) 无穷区间上的广义积分

∫f (x )dx =lim b→+∞

∫f (x )dx b

a +∞

a

，若极限存在，称广义积分是收敛的。若极限不

存在，称广义积分是发散的。

∫f (x )dx =lim a→?∞

∫f (x )dx b

a b ?∞ ，若极限存在，称广义积分是收敛的。若极限不

存在，称广义积分是发散的。

∫f (x )dx =∫f (x )dx +∫f (x )dx +∞

c

c

?∞+∞

?∞ ，若两个广义积分极限都存在，称原广

义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。

常用公式：∫dx

x p (a

>0)+∞a 当P>0时收敛，值为a 1?p

p?1。当p>1时发散。

(二) 无界函数的广义积分（瑕积分）

f(x)在a 点无界：∫f (x )dx =lim ε→0

+∫f (x )dx b

a+ε

b

a ，若极限存在，称积分收敛。若极限不存在，称积分发散。

f(x)在b 点无界：∫f (x )dx =lim ε→0

+∫f (x )dx b?ε

a

b

a ，若极限存在，称积分收敛。若极限不存

在，称积分发散。

f(x)在c 点无界：∫f (x )dx =∫f (x )dx +∫f (x )dx b

c c a b a ，若两个广义积分极限都存在，称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。

第4节 定积分的应用

(一) 微元法：U

1.确定变量x ，确定x 的范围[a,b]。 →Du=f(x)dx

=∫dU =∫f (x )dx b

a (二) 几何问题

1.面积：

（1）直角坐标系

（2）极坐标系：S=∫ds =∫1

2r 2(θ)dθβα

极坐标系转化为直角坐标系：ρ2=x 2+y 2,x =ρcosθ,y =ρsinθ,θ=arctan y

x

2.体积： （1）截面面积已知的几何体的体积：V=∫dV =∫A (x )dx b

a

（2）旋转体的体积：绕x 轴转：V=∫πf 2(x )dx b

a ；绕y 轴转：V=∫πg 2(y )dy b

a

V=∫2πfx(x)dx b

a

3.曲线的弧长 （1）参数方程：S=∫√[x ′(t )]2+[y ′(t )]2b

a dt （2）直角坐标系：S=∫√1+[y ′(x )]2

b a dx

（3）极坐标系：S=∫√[r ′(θ)]2+[r (θ)]2βαd θ

(三) 物理问题

运用微元法三步求解。

第四章 多元函数微分学

第1节 基本概念

（1） 多元函数：

二元函数：z=f(x,y) D 定义域 几何意义：曲面

（2） 二元函数的极限：

趋向方式有无数种，若不同趋向方式得到的极限不同，则极限不存在（极限唯一性）。

（3） 二元函数的连续

极限值等于函数值，则函数在该点连续。 闭区域上连续函数的性质：

D 为闭区域，f(x,y)在D 上连续，则： 1. f(x,y)在D 上有界。 2. 存在最大最小值。 3. 可应用介值定理。 4. 可应用零点定理。

第2节 偏导数与全微分

（1） 偏导数：z=f(x,y)

对x 的偏导数：lim

x→0

f (x+?x,y )?f(x,y)

x

=f

x =f x ′(x,y )=f 1′(x,y)

对y 的偏导数：lim

y→0

f (x,y+?y )?f(x,y)

y

=f

y =f y ′

(x,y )=f 2′(x,y)

二阶偏导数：若f x ′y ′(x,y )和f y ′x ′(x,y )连续，则f x ′y ′(x,y )等于

f y ′x ′(x,y )。

（2） 全微分：z=f(x,y)

若z =A x +B y +o(√x 2+y 2)则z 可微。

dz=Adx+Bdy+ o(√x 2+y 2)= f x dx +f

y dy

（3） 偏导数与全微分的关系

全微分存在函数连续

全微分存在 f

x 、f

y 存在 f

x

、f

y 连续可微

（4） 偏导数的计算

直接计算：对不求导的变量当作常量处理（二元→一元）。 多元复合函数求导（链式法则）

=f(u,v) u=u(x,y) v=v(x,y)

z x =

z u u x +z v v x

z

y

=z u u y +z v v

y 画树状图找到求导路径 隐函数的偏导数

左右同时求导

多元隐函数求导公式：

z x

=?F x

′F z

′ z

y

=?F y

′F z

′

第3节 多元函数微分学的应用（数二只要求极值、最值问题）

（1） 二元函数的极值问题（无条件）

极值点：可能是一阶偏导数为零或不存在的点。

判定极值点：当求出某点可能为极值点(x 0,y 0)，带入A 0=2z

x 2、B 0=2z

xy 、C 0=2z

y 2。 计算B 02

?A 0C 0。当其 小于零：

A 0>0为极小值点

A 0<0为极大值点

大于零：

不是极值点

等于零：

无法判断

（2） 条件极值

先构造拉格朗日函数，再求各值的偏导数。

（3）闭区域上的最值

1.先找极值。

2.边界点（条件极值）。

3.比较，选出最大最小值。

第五章重积分

第1节二重积分

（1）几何意义：f(x,y)>0，以D为底，以f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。（2）计算

a)直角坐标系下：?f(x,y)dτ=

D ∫dx

b

a

∫f(x,y)dy

φ2(x)

φ1(x)

口诀：后积先定限

b)极坐标系下：先积r后积θ ?f(x,y)dτ=

D ∫dθ

β

α

∫f(rcosθ,rsinθ)rdr

r2(θ)

r1(θ)

坐标系选择：

极坐标系：

1. D：圆（环）、扇（环）

(x,y)：x2+y2、x

y

除此之外一般选择直角坐标系。

第六章常微分方程

第1节基本概念

1.常微分方程

含未知函数的导数的方程。

2.阶

未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。

3.解

通解：含有任意常数的个数与阶数相同。

特解：通解中的任意常数确定。

初始条件：y(x0)=y0，y′(x0)=y1，…，y(n?1)(x0)=y n?1

4.线性方程

y和y的各阶导数都是以一次式出现的。

第2节一阶微分方程

1.可分离变量的微分方程：

转化：dy

dx =f(x)g(x)∫dy

g(y)

=∫f(x)dx

两边同时积分2.齐次微分方程：

如果dy

dx =f(y

x

)，那么设y

x

=u，则y=xu(x)

那么dy

dx =u(x)+x du

dx

带入原方程

得：u+x du

dx

=f(u)

du f(u)?u = dx

x

（可分离变量）

3.一阶线性微分方程

通式：y′+P(x)y=Q(x)，若Q(x)，则称之为一阶线性齐次微分方程。

一阶线性齐次微分方程通解：y=C e?∫P(x)dx

一阶线性非齐次微分方程通解：y=e?∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C)

第3节高阶微分方程

1.可降阶的高阶微分方程

a)y(n)=f(x)

逐次积分解决。

b)y′′=f(x,y′)

令u(x)= y′,则u′(x)= y′′。代入原式。

c)y′′=f(y,y′)

令y′=p(y),则y′′=p′(y)p(y)。代入原式。

2.线性微分方程解的结构

通式（二阶为例）：y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x) 若f(x)=0则为齐次。

（1）若y(x)为齐次的解，则ky(x)仍然是它的解。

（2）若y1(x), y2(x)是齐次的解，则k1y1(x)+k1y2(x)仍然是它的解。

（3）接（2）若y1(x), y2(x)线性无关，则k1y1(x)+k1y2(x)是它的通解。

（4）若Y是齐次的通解，y?是非齐次的特解，则y=Y+y?是非齐次的通解。

3.二阶常系数线性微分方程

通式：y′′+Py′+Qy=f(x)

齐次：y′′+Py′+Qy=0

特征方程：r2+pr+q=0

a)=p2?4q>0，有两个不等实根r1、r2。

则Y=C1e r1x+C2e r2x是齐次方程的通解。

b)=p2?4q=0，有两个相等实根r。

则Y=C1e rx+C2xe rx=e rx(C1+C2x)是齐次方程的通解。

c)=p2?4q<0，有两个不等虚根α±iβ。

则Y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)是齐次方程的通解。

非齐次：对应的齐次通解，加上本身特解。

只有两种f(x)能找到特解：

a)f(x)= eλx P n(x)y?=x k eλx Q n(x)

λ是特征方程的k重根。Qn是和Pn相同形式多项式。

b)f(x)= eλx[P n(x)

c)Cosωx+P l(x)

d)sinωx]

y?=x k eλx[Q m(x)

Cosωx+Q m?(x)

sinωx]

m=max{n,l}

λ+iω是特征方程的k重根。