2017年高考数学分类题库17
点25 二元一次不等式（组）与简单的线性规划
问题
一、选择题
1.(2017·北京高考文科·T4)同(2017·北京高考理科·T4)若x,y满足错误!未找到引用源。则x+2y的最大值为()
A.1
B.3
C.5
D.9
【命题意图】本题主要考查线性规划求线性目标函数的最值.意在培养学生数形结合能力.
【解析】选D.线性约束条件
3
2
x
x y
y x
≤
?
?
+≥
?
?≤
?
表示的平面区域如图阴影部分所示,
将z=x+2y转化为y=-1
2
错误!未找到引用源。x+
2
z
错误!未找到引用源。,
由直线l:y=-1
2
x平移可知,
当直线y=-1
2
x+错误!未找到引用源。
2
z
过点A时,z=x+2y的值最大,
由
3
x
y x
=
?
?
=
?
解得A(3,3),
所以z max=3+2×3=9.
【方法技巧】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.
2.(2017·山东高考理科·T4)已知x,y满足
30
350
30
x y
x y
x
-+≤
?
?
++≤
?
?+≥
?
则z=x+2y的最大值是
A.0
B.2
C.5
D.6
【命题意图】本题考查应用线性规划求目标函数的最值,意在考查考生的数形结合的数学思想和运算求解能力.
【解析】选C.
由
30
350
30
x y
x y
x
-+≤
?
?
++≤
?
?+≥
?
画出可行域及直线x+2y=0如图所示,平移x+2y=0发现,
当其经过直线3x+y+5=0与x=-3的交点(-3,4)时,z=x+2y取最大值,最大值为z=-3+2×4=5.
3.(2017·全国丙卷·文科·T5)设x,y满足约束条件
3260
x y
x
y
+-≤
?
?
≥
?
?≥
?
则z=x-y的取值范围是
()
A.[-3,0]
B.[-3,2]
C.[0,2]
D.[0,3]
【命题意图】本题考查线性规划问题,考查学生的运算能力和数形结合能力.
【解析】选B.绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3.在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.
【反思总结】目标函数一般在端点处取最值,可通过端点值得代入进行求解排除,以提高解题速度.
4.(2017·全国甲卷理科·T5)设x,y满足约束条件
2330
2330
30
x y
x y
y
+-≤
?
?
-+≥
?
?+≥
?
则z=2x+y的最小值是
()
A.-15
B.-9
C.1
D.9
【命题意图】考查线性规划问题,通过画可行域以及求最值过程意在考查学生数形结合思想的运用以及化归思想的运用.
【解析】选 A.绘制不等式组表示的可行域如图阴影(含边界)所示,结合目标函数的几何意义可得函数在点B(-6,-3)处取得最小值z=-12-3=-15.
【光速解题】直接解出三条直线的三个交点坐标,将三点的坐标代入z=2x+y,比较三个值的大小即可判断.
5.(2017·天津高考理科·T2)设变量x,y满足约束条件
20
220
3
x y
x y
x
y
+≥
?
?+-≥
?
?
≤
?
?≤
?
则目标函数z=x+y的
最大值为()
A.
2
3
B.1
C.
3
2
D.3
【命题意图】本题是对简单线性规划的考查,着重考查目标函数在可行域中的最值问题【解析】选D.可行域为四边形ABCD及其内部,如图,
其中A(0,1),B(0,3),C
3
,3
2
??
- ?
??
,D
24
,
33
??
- ?
??
,
所以直线z=x+y过点B时取最大值3.
6.(2017·山东高考文科·T3)已知x,y满足约束条件
250
30
2
x y
x
y
-+≤
?
?
+≥
?
?≤
?
则z=x+2y的最大值是()
A.-3
B.-1
C.1
D.3
【命题意图】本题考查应用线性规划求目标函数的最大值,意在考查考生的数形结合的数学思想和运算求解能力.
【解析】选D.由
250
30
2
x y
x
y
-+≤
?
?
+≥
?
?≤
?
画出可行域及直线x+2y=0如图所示,平移x+2y=0发现,
当其经过直线x-2y+5=0与y=2的交点P(-1,2)时,z=x+2y取最大值,最大值为z=-1+2×2=3.
y?≥
?
A.0
B.1
C.2
D.3
【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识,考查利用平面区域求目标函数的最值.【解析】选D.如图,
目标函数z=x+y经过A(3,0)时最大,故z max=3+0=3,故选D.
8.(2017·浙江高考·T4)若x,y满足约束条件
30
20
x
x y
x y
≥
?
?
+-≥
?
?-≤
?
则z=x+2y的取值范围是()
A.[0,6]
B.[0,4]
C.[6,+∞)
D.[4,+∞)
【命题意图】本题主要考查线性规划问题,意在考查学生根据线性约束条件画出可行域的能力.
【解析】选D.根据约束条件,在平面直角坐标系中画出可行域如图所示,其向右向上为无穷延伸的,z相当于直线x+2y-z=0的纵截距的两倍,由图可知,当直线x+2y-z=0经过点A(2,1)时,z min=4且z无最大值,所以z∈[)
4.+∞.
二、填空题
0 y?≥?
为
.
【命题意图】本题考查线性规划问题,考查学生画图、用图的能力.
【解析】绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得,目标函数在点A(1,1)处取得最小值z=3x-4y=-1.
答案:-1
【反思总结】目标函数的最值点就是在对应直线的交点处取得,可通过代入交点求解.
10.(2017·全国乙卷理科·T14)设x,y满足约束条件
21
21
x y
x y
x y
+≤
?
?
+≥-
?
?-≤
?
则z=3x-2y的最小值
为.
【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识,主要考查利用平面区域求目标函数的最优解.
【解析】如图所示,不等式组表示的可行域为△ABC,
易求得A(-1,1),B
11
,
33
??
--
?
??
,C
11
,
33
??
?
??
,
直线z=3x-2y在x轴上的截距越小,z就越小,
所以,当直线z=3x-2y过点A时,z取得最小值,
所以z取得最小值为3×(-1)-2×1=-5.
答案:-5
三、简答题
16.(2017·天津高考文科·T16)某电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?
【命题意图】本题是对简单线性规划的考查,着重考查目标函数在可行域中的最值问题
【解析】(1)由已知,x,y 满足的数学关系式为7060600553020,0,x y x y x y x x N y y N +≤??+≥??
≤??≥∈?≥∈??
即7x 6y 60x+y 6x-2y 0x 0x N,y 0N,
+≤??≥??
≤??≥∈?≥∈??，
，，，，y 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
(2)设总收视人次为z 万,则目标函数为z=60x+25y. 考虑z=60x+25y,将它变形为y=-125x+25z ,这是斜率为-125,随z 变化的一族平行直线.25
z
为直线在y 轴上的截距,当
25
z
取得最大值时,z 的值最大.又因为x,y 满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y 经过可行域上的点M 时,截距25
z
最大,即z 最大.
解方程组7660
20x y x y +=??-=?
得点M 的坐标为(6,3).
所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 【反思总结】解决线性规划实际应用问题,关键是读懂题意,把题目中信息翻译成数学关
系式,画出可行域,进而求解实际问题.
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