A ．a 2＋b 2＝(a ＋b )(a －b )
B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2
C ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2
D ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60o ，则顶角的度数为（ ）
A ．30o
B ．30o 或150o
C ．60o 或150o
D ．60o 或120o
11．如图，在Rt ABC ?中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且90EDF ∠=?，下列结论：①DEF ?是等腰直角三角形；②AE CF =；③BDE ADF ??≌；④BE CF EF +=.其中正确的是( )
A ．①②④
B ．②③④
C ．①②③
D ．①②③④
12．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A ．∠A=∠1+∠2
B ．2∠A=∠1+∠2
C ．3∠A=2∠1+∠2
D ．3∠A=2（∠1+∠2）
二、填空题
13．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为_____．
14．等腰三角形的一个内角是100?，则这个三角形的另外两个内角的度数是__________．
15．分解因式：2a 2﹣8＝_____．
16．如图，在△ABC 中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．当点Q 的运动速度为_______厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD 与△CQP 全等．
17．若分式242
x x --的值为0，则x 的值是_______． 18．分解因式：2288a a -+=_______
19．因式分解：328x x -=______．
20．如图，△ABC 中，EF 是AB 的垂直平分线，与AB 交于点D ，BF=12，CF=3，则AC = ．
三、解答题
21．在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，BD 是对角线，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F
(1)如图1，求证：AE CF =
(2)如图2，当390BAD BAE ∠=∠=?时，连接AF 、CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于四边形ABCD 面积的18
．
22．某公司计划购买A 、B 两种型号的机器人搬运材料，已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运15kg 材料，且A 型机器人搬运500kg 的材料所用的时间与B 型机器人搬运400kg 材料所用的时间相同．
（1）求A、B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料？
（2）该公司计划采购A、B两种型号的机器人共10台，要求每小时搬运的材料不得少于700kg，则至少购进A型机器人多少台？
23．为迎接“均衡教育大检查”，县委县府对通往某偏远学校的一段全长为1200 米的道路进行了改造，铺设草油路面．铺设400 米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．
（1）求原计划每天铺设路面多少米；
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
24．如图，在直角坐标系中，A（－1，5），B（－3，0），C（－4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积．
25．某商场家电专柜购进一批甲，乙两种电器，甲种电器共用了10 350元，乙种电器共用了9 600元，甲种电器的件数是乙种电器的1.5倍，甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少90元．
（1）甲、乙两种电器各购进多少件？
（2）商场购进两种电器后，按进价提高40%后标价销售，很快全部售完，求售完这批电器商场共获利多少元？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
设小李每小时走x千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可．
【详解】
解：设小李每小时走x 千米，依题意得：
1515112
x x -=+ 故选B ．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
只需要明确几个几何图形在一点进行平铺就是几个图形与这一点相邻的所有内角之和等于360°即可。
【详解】
A. 2个正八边形和1个正三角形：135°+135°+60°=330°，故不符合；
B. 3个正方形和2个正三角形：90°+90°+90°+60°+60°=390°，故不符合；
C. 1个正五边形和1个正十边形：108°+144°=252°，故不符合；
D. 2个正六边形和2个正三角形：120°+120°+60°+60°=360°，符合；
故选D.
【点睛】
本题考查多边形的内角，熟练掌握多边形的内角的度数是解题关键.
3．C
解析：C
【解析】
试题解析：∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴CD=DE ，
在Rt △ACD 和Rt △AED 中，
{CD DE AD AD
＝＝， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），
∴AE=AC=6cm ，
∵AB=10cm ，
∴EB=4cm ．
故选C ．
4．D
解析：D
【解析】 已知a c b d
=成立，根据比例的性质可得选项A 、B 、C 都不成立；选项D ，由2a b b +＝
2c d d +可得22a c b d +=+，即可得a c b d
=，选项D 正确，故选D. 点睛：本题主要考查了比例的性质，熟练运用比例的性质是解决问题的关键.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据分式的乘方、分式的加减运算法则及分式的性质逐一判断即可得答案.
【详解】 A.22
222()3(3)9a a a b b b
==，故该选项计算错误，不符合题意， B.
a b a b a b a b b a a b a b a b +-=+=-----，故该选项计算错误，不符合题意， C.
11b a a b a b ab ab ab ++=+=，故该选项计算错误，不符合题意， D.()1x y x y x y x y
---+==-++，故该选项计算正确，符合题意， 故选：D.
【点睛】
本题考查分式的运算，分式的乘方，要把分式的分子、分母分别乘方；同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减；熟练掌握分式的运算法则是解题关键.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=12
∠ABC=352?，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE ，根据等腰三角形的性质得到AF=EF ，求得AD=ED ，得到∠DAF=∠DEF ，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
∵BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，
∴∠ABD=∠EBD=
12
∠ABC=352?，∠AFB=∠EFB=90°， ∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，
∴AB=BE ，
∴AF=EF ，
∴AD=ED ，
∴∠DAF=∠DEF ，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，根据已知求出CD 的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.
【详解】
如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，
AC 8=Q ，1DC AD 3
=， 1CD 8213
∴=?=+， C 90∠?=Q ，BD 平分ABC ∠，
DE CD 2∴==， 即点D 到AB 的距离为2，
故选C ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
8．A
解析：A
【解析】
解：∵AB ∥CD ，BC ∥AD ，∴∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ．
在△ABD 和△CDB 中，∵
，∴△ABD ≌△CDB （ASA ），∴AD =BC ，AB =CD ．
在△ABE 和△CDF 中，∵，∴△ABE ≌△CDF （SAS ），∴AE =CF ． ∵BE =DF ，∴BE +EF =DF +EF ，∴BF =DE ．
在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SSS），即3对全等三角形．
故选A．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据左图中阴影部分的面积是a2-b2，右图中梯形的面积是1
2
（2a+2b）（a-b）=（a+b）
（a-b），利用面积相等即可解答．【详解】
∵左图中阴影部分的面积是a2-b2，右图中梯形的面积是1
2
（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-
b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选D．
【点睛】
此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60o，则顶角的度数为
【详解】
解：如图1，
∵∠ABD=60°，BD是高，
∴∠A=90°-∠ABD=30°；
如图2，∵∠ABD=60°，BD是高，
∴∠BAD=90°-∠ABD=30°，
∴∠BAC=180°-∠BAD=150°；
∴顶角的度数为30°或150°．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质以及斜边上的中线的性质，易证得△CDF ≌△ADE ，即可判断①②；利用SSS 即可证明△BDE ?△ADF ，故可判断③；利用等量代换证得
BE CF AB +=，从而可以判断④.
【详解】
∵△ABC 为等腰直角三角形，且点在D 为BC 的中点，
∴CD=AD=DB ，AD ⊥BC ，∠DCF =∠B=∠DAE=45°，
∵∠EDF=90?，
又∵∠C DF +∠FDA=∠CDA=90?，
∠EDA+∠EDA=∠EDF=90?，
∴∠C DF =∠EDA ，
在△CDF 和△ADE 中，
DF DCF C EDA CD AD DAE ∠=∠??=??∠=∠?
，
∴△CDF ≌△ADE ，
∴DF=DE ，且∠EDF=90?，故①DEF n 是等腰直角三角形，正确；
CF=AE ，故②正确；
∵AB=AC ，又CF=AE ，
∴BE=AB-AE=AC-CF=AF ，
在△BDE 和△ADF 中，
BE AF DE DF BD DC =??=??=?
，
∴△BDE ?△ADF ，故③正确；
∵CF=AE ，
∴BE CF BE AE AB EF +=+=≠，故④错误；
综上：①②③正确
故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据四边形的内角和为360°、平角的定义及翻折的性质，就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质．
【详解】
∵在四边形ADA′E 中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，
则2∠A+(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°，
∴可得2∠A=∠1+∠2．
故选：B
【点睛】
本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性质．
二、填空题
13．6或或【解析】【分析】根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案【详解】解：①如图1当则∴底边长为6；②如图2当时则∴∴∴此时底边长为；③如图3：当时则∴∴∴此时底边长为故答案为：6或或【点睛】 解析：6或25或45．
【解析】
【分析】
根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案．
【详解】
解：①如图1
当5AB AC ==，4AD =，
则3BD CD ==，
∴底边长为6；
②如图2．
当5AB AC ==，4CD =时，
则3AD =，
∴2BD =， ∴222425BC =+=，
∴此时底边长为25； ③如图3：
当5AB AC ==，4CD =时， 则223AD AC CD -=，
∴8BD =， ∴45BC =
∴此时底边长为45
故答案为：6或2545
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论．
14．40°40°【解析】【分析】因为等腰三角形的两个底角相等且三角形内角和为180°100°只能为顶角所以剩下两个角为底角且为40°40°【详解】解：∵三角形内角和为180°∴100°只能为顶角∴剩下两
解析：40° 40°
【解析】
【分析】
因为等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，100°只能为顶角，所以剩下两个角为底角，且为40°，40°．
【详解】
解：∵三角形内角和为180°，
∴100°只能为顶角，
∴剩下两个角为底角，且它们之和为80°，
∴另外两个内角的度数分别为40°，40°．
故答案为：40°，40°．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
15．2（a+2）（a﹣2）【解析】【分析】先提取公因式2再利用平方差公式继续分解【详解】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）故答案为：2（a+2）（a﹣2）【点睛】本题考查了因式分解一
解析：2（a+2）（a﹣2）
【解析】
【分析】
先提取公因式2，再利用平方差公式继续分解．
【详解】
解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4），
＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【点睛】
本题考查了因式分解，一般是一提二套，先考虑能否提公式式，再考虑能不能用平方差公式和完全平方公式继续分解，注意要分解彻底.
16．4或6【解析】【分析】求出BD根据全等得出要使△BPD与△CQP全等必须B D=CP或BP=CP得出方程12=16-4x或4x=16-
4x求出方程的解即可【详解】设经过x秒后使△BPD与△CQP全等∵
解析：4或6
【解析】
【分析】
求出BD，根据全等得出要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，得出方程12=16-4x或4x=16-4x，求出方程的解即可．
【详解】
设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，
∴BD=12厘米，
∵∠ABC=∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD=CP或BP=CP，
即12=16-4x或4x=16-4x，
x=1，x=2，
x=1时，BP=CQ=4，4÷1=4；
x=2时，BD=CQ=12，12÷2=6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
本题考查了全等三角形的判定的应用，关键是能根据题意得出方程．
17．－2【解析】【分析】根据分式值为零的条件可得x2-4=0且x ﹣2≠0求解即可【详解】由题意得：x2-4=0且x ﹣2≠0解得：x=﹣2故答案为：－2【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件需同时具备两
解析：－2
【解析】
【分析】
根据分式值为零的条件可得x 2-4=0，且x ﹣2≠0，求解即可.
【详解】
由题意得：x 2-4=0，且x ﹣2≠0，
解得：x=﹣2
故答案为：－2
【点睛】
此题主要考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
18．【解析】=2（）=故答案为
解析：22(2)a -
【解析】
22a 8a 8-+=2（2a 4a 4-+）=()2
2a 2-.
故答案为()22a 2-. 19．【解析】【分析】提取公因式2x 后再利用平方差公式因式分解即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查了因式分解熟练运用提公因式法和运用公式法进行因式分解是解决问题的关键
解析：()()222x x x +-
【解析】
【分析】
提取公因式2x 后再利用平方差公式因式分解即可.
【详解】
()()()322824?222x x x x x x x -=-=+-.
故答案为：()()222x x x +-.
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练运用提公因式法和运用公式法进行因式分解是解决问题的关键. 20．15【解析】试题分析：因为EF 是AB 的垂直平分线所以AF=BF 因为BF=12CF=3所以AF=BF=12所以AC=AF+FC=12+3=15考点：线段垂直平分线的性质
【解析】
试题分析：因为EF 是AB 的垂直平分线，所以AF=BF,因为BF=12，CF=3，所以AF=BF=12, 所以AC =AF+FC=12+3=15．
考点：线段垂直平分线的性质
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）,,,ABE ADF BEC CFD V V V V
． 【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质可得ADE CBF ∠=∠，然后根据AAS 即可证得结论；
（2）由已知条件、直角三角形的性质和平行线的性质可依次得出∠BAE =30°，∠ABE ＝60°，∠ADB ＝30°，然后利用30°角的直角三角形的性质可得BE 与AB ，AE 与AD 的关系，进而可得△ABE 的面积=18
四边形ABCD 的面积，即得△CDF 的面积与四边形ABCD 的面积的关系；作EG ⊥BC 于G ，由直角三角形的性质得出EG 与AB 的关系，进而可得
△BCE 的面积＝
18
四边形ABCD 的面积，同理可得△ADF 的面积与四边形ABCD 的面积的关系，问题即得解决．
【详解】
（1）证明：//AD BC Q ，ADE CBF ∴∠=∠，
,AE BD CF BD ⊥⊥Q ，90AED CFB ∴∠=∠=?， AD BC =Q ，
ADE ∴?≌CBF ?（AAS ），
AE CF ∴=；
（2）△ABE 的面积＝△CDF 的面积＝△BCE 的面积＝△ADF 的面积＝四边形ABCD 面积的18
．理由如下： ∵AD=BC ，ADE CBF ∠=∠，DB=BD ，∴△ADB ≌△CBD ，∴四边形ABCD 的面积=2×△ABD 的面积= AB ×AD ，
∵390BAD BAE ∠=∠=?，∴∠BAE =30°，
∴∠ABE ＝60°，∠ADB ＝30°，
∴BE ＝12AB ，AE ＝12
AD ， ∴△ABE 的面积＝12BE ×AE ＝12×12AB ×12AD ＝18AB ×AD ＝18
四边形ABCD 的面积； ∵△ABE ≌△CDF ，∴△CDF 的面积═
18四边形ABCD 的面积；
作EG ⊥BC 于G ，如图所示：∵∠CBD ＝∠ADB ＝30°，∴EG ＝12BE ＝12×12AB ＝14
AB ， ∴△BCE 的面积＝12BC ×EG ＝12BC ×14AB ＝18BC ×AB ＝18
四边形ABCD 的面积， 同理：△ADF 的面积＝
18矩形ABCD 的面积．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握30°角的直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（1）A 型每小时搬动75kg ，B 型每小时搬动60kg ；（2）至少购进7台A 型机器人
【解析】
【分析】
（1）设B 型机器人每小时搬运x 千克材料，则A 型机器人每小时搬运（x+15）千克材料，根据A 型机器人搬运500kg 材料所用的时间与B 型机器人搬运400kg 材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论；
（2）设购进A 型机器人a 台，根据每小时搬运材料不得少于700kg 列出不等式并解答．
【详解】
（1）设B 型机器人每小时搬运xkg 材料，则A 型机器人每小时搬运()15x kg +， 依题意得：50040015x x
=+， 解得：60x =，
经检验，60x =是原方程的解，
答：A 型每小时搬动75kg ，B 型每小时搬动60kg ；
（2）设购进A 型a 台，B 型()10a -台，
由题意，得7560(10)700a a +-≥，
解得：263
a ≥， 答：至少购进7台A 型机器人．
【点睛】
本题考查了分式方程的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
23．（1）80；（2）21900．
【解析】
【分析】
（1）设原计划每天铺设路面x 米，则提高工作效率后每天完成（1+25%）x 米，根据等量关系“利用原计划的速度铺设400 米所用的时间+提高工作效率后铺设剩余的道路所用的时间=13”，列出方程，解方程即可；
（2）先求得利用原计划的速度铺设400 米所用的时间和提高工作效率后铺设剩余的道路所用的时间，根据题意再计算总工资即可.
【详解】
（1）设原计划每天铺设路面x 米，根据题意可得：
()400120040013125%x x
-+=+ 解得：80x =
检验：80x =是原方程的解且符合题意，∴ 80x =
答：原计划每天铺设路面80米．
原来工作400÷
80＝5（天）． （2）后来工作()()120040080120%8??-÷?+=??（天）．
共支付工人工资：1500×5+1500×（1+20%）×
8=21900（元） 答：共支付工人工资21900元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找出等量关系，由等量关系列出方程是解决本题的关键．
24．（1）图见解析；（2）
112
． 【解析】
【分析】
（1）利用关于y 轴对称的点的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算△ABC 的面积．
【详解】
：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；
（2）△ABC的面积
11111 35313252
2222 =?-??-??-??=.
【点睛】
本题考查了作图-对称性变换，注意画轴对称图形找关键点的对称点然后顺次连接是解题的关键．
25．（1）甲购进45件，乙购进30件；（2）7980元
【解析】
试题分析：设乙种电器购进x件，则甲种电器购进1.5x件,根据甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少90元，列方程求解即可.
试题解析：（1）设乙种电器购进x件，则甲种电器购进1.5x件,
依题意得960010350
90
1.5
x x
-=，
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解，
答：甲种电器购进45件，乙种电器购进30件．
（2）售完这批电器商场共获利（10350+9600）×40%=7980元.答：售完这批电器商场共获利7980元.
