三角函数的形式美和解法美

三角函数的“形、式美”和“解、法美”

江苏省无锡市荡口中学 周为民

我国著名数学系徐利治教授指出：“数学园地处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园，这片花果园还是按照美的追求开拓出来的。”三角函数就是花园中一个精彩粉呈的一角。三角函数图形的千姿百态之美，三角公式的和谐统一之美，三角函数解题过程的奇妙之美，三角函数解题方法的变化之美，无不给人以美的感受，美的熏陶。下面就三角函数的图形和公式、解题过程和方法中蕴含的数学美作初步的探讨。

一、三角函数图象的千姿百态之美

“东升西落照苍穹，影短影长角不同。昼夜循环潮起伏，冬春更替草枯荣。”张景中院士与李尚志教授编写的高中数学教材是用诗来引出三角函数的，它生动再现了自然界的昼夜循环、光影变化与三角函数的密切关系，三角函数美在变化中，美在应用上，美在周期性，美在意境中。.

1、君看一叶舟，出没风波里

正余弦曲线，形似起伏的波

浪，恰似徐徐微风吹过，波澜不惊，

绵延千里。结合图形与学生一起商

讨，正（余）弦函数的周期性、单调性、对称性等性质，使学生对三角函数性质有一种视觉直观的享受。如：再让学生研究y=sinx ，y=|sinx|，y=sin|x|一些函数之间的变化，让学生观察它变与不变之奥秘，优美的曲线给人一种享受。

2、飞流直下三千尺，疑是银河落九天

正切函数，由于定义域的限制，图形被

互相平行，间隔相等的直线所隔开，每一段

恰似飞流直下的瀑布，组成了波澜壮阔的瀑

布群，正切函数的单调性，是学生的一个易

错点，用瀑布群形象地记忆正切函数的单调

性，学生容易理解，印象深刻。如果说正（余）

弦图象是柔美的，那么正（余）切图象就应

称之为壮美了。

3、横看成岭侧成峰，远近高低各不同

正、余弦函数图象的合成，还会出现更引人入胜的印象。例如：

已知f(x )=???x x cos sin x

x x x cos sin cos sin <≥，求f(x)的周期

性、极值、单调性、对称轴等。

通过画图，可以发现，f(x)的图象出现了“双

峰并峙”的形状，恰似一幅非常美丽的风景画，

其中既有奇异的一面，又非常和谐，让学生在欣

赏美景中，完成这道作业题，岂不美哉。正、

余弦函数图象与一次函数的组合也能收到意

想不到的效果，像y=xsinx 的图像如此美妙，

激发了研究它性质的欲望。

二、三角公式的和谐统一之美

如果把三角函数的图形看成是外在的形

态美，那么三角函数众多的公式等式中，就

有内在的理性美，因为众多公式之间有着必然的联系，它们各具形态，但又能相互转化，构成了一种和谐统一之美。

1、变中不变之美

同角三角函数关系式，揭示的是三角函数之间的关系，其中的sin 2α+cos 2α=1为最有代表性的一个。它说明了正弦、余弦两个变量之间不变的关系，变与不变辩证关系得到了充分的体现。

把 sin 2α+cos 2α=1 （1） 与勾股定理比较：a 2+b 2=c 2→12

2=??

? ??+??? ??c b c a 与单位圆比较： x 2+y 2=1，

与椭圆方程比较 22

22b

y a x +=1，可以发现它们结构相似，可相互转化，从中更反映出三角与平几、解几之间内在的一种联系，这不仅奠定了公式（1）在三角公式中的基础地位，而且也决定了它运用的广泛。所以我在教学过程中，把此公式称为三角公式中的首席公式，学生也从最初的新奇疑问，通过不断的学习运用，到最终的欣然认同。形式上类似的还有：

△ABC 中，Cos 2A+Cos 2B+Cos 2C+2CosACosBCosC=1，

CotA ·CotB+CotB ·CotC+CotC ·CotA=1等等。

2、和谐对称之美

许多三角公式中，公式本身就有一种对称、和谐的构造美，如：△ABC 中：TanA+TanB+TanC=TanATanBTanC 。

等式左边是加法的一种轮换、对称，右边是乘法的一种轮换、对称，在一个等式中加与乘是如此完美的结合，所以我在教学中，常称之为三角等式中最美等式。我常问学生这样的问题，快速找出三个数，使它们的和与积相等。从这个等式中可发现，三角形的三个角的正切值就一定满足这种关系。

3、联系统一之美

正弦、余弦、正切作为三角函数中的三个最基本的函数，同角三角

函数关系式：sin 2α+cos 2α=1与Tan α=α

αCos Sin 反映了三个函数之间的基本关系，万能公式则从更高层次，把三者统一起来，即都用一个正切函

数来表示，“万能”说明此公式运用之广、作用之大。诱导公式：2k π+α，

-α，π±α，2

π±α，23π±α共有八组，它们的本质取决于角的终边，关于原点对称、坐标轴对称。它们的本身和记忆方法用“奇变偶不变，符号看象限”来概括，体现了数学的高度概括性和简洁美。

还有“半角公式”与“倍角公式”之间的“降次”与“升幂”、 “逆用”等等，反映正、反统一的辩证关系。

三、三角解题过程的奇妙之美

三角函数的主要形式是化简、求值、证明，虽然形式众多，但从解题的思路上都遵循从繁到简的原则。具体的解题过程中，根据各个公式的特点，采用幂的“升与降”、“边与角”的转化，“公式的逆用”，公式的重复使用等等，在解题过程中还常用整体代换、换元等数学思想方法。可以说变中有技巧，化中有规律，可让学生在解题过程中去体会、感受数学美的愉悦。

1、“1”的运用，变化无穷

例如化简：已知θ为锐角 ⑴x Sin 21+，⑵x Co s 21+，⑶C o s x

S i n x C o s x S i n x +++1-1等关系就是对Sin 2α+Cos 2α=1逆用。

⑴原式=SinxCosx x Cos x Sin 222++=|Sinx+Cosx|= Sinx+Cosx

⑵原式=x Sin x Cos x Cos x Sin 2222-++=Cosx 2

⑶解法1：原式=)2

2()22()22(-)22(222222x Sin x Cos x Cos x Sin x Sin x Cos x Cos x Sin -++-+ =2

2)22(22)22(x Cos x Cos x Sin x Sin x Cos x Sin ?+?+=2x Tan 解法2：原式=2

22222222222x Cos x Sin x Cos x Cos x Sin x Sin ++=2x Tan 解法1与2不同之处是选择1与Sinx 组合，还是1与Cosx 组合。 方法稍有不同，但异途同归，结论简洁，体现了数学的简洁美。 再如：已知Tan α=2，求Sin 2α+2Sin αCos α-3Cos 2α.

原式=1

3222ααααCos Cos Sin Sin -+

=αααααα222232Cos Sin Cos Cos Sin Sin +-+=1

322+-+αααTin Tan Tan =53 其中把1的变化发挥到了极致。

2、循环递推，其乐无穷。

例1、求值：Cos200Cos400Cos600Cos800

这是一个多余弦连乘积，且角度之间是倍角关系需反复使用公式Sin2x=2SinxCosx 。但已知中缺少Sin200，在教学中我把Sin200称为催化剂，有了它，就能起到了连锁反应的效果。

再如：根据Cot α-Tan α=2Cot2α也可设计一些循环的题目。 如：Cot α-Tan α-2Tan2α-4Tan4α-8Tan8α等等。

3、整体代换，其味无穷

在教学中我常把下面的两小题编在一起，进行教学。

①已知：Cos θ=53，θ∈（0，2π），求Cos （θ+4

π）。 ②已知Cos （θ-4π）=53，θ∈（2

π，π），求Cos θ。 先让学生练习，学生做第一小题，没有问题，但做第二小题，学生

开始往往先把Cos （θ-4

π）展开，再联合Sin 2α+Cos 2α=1来求解。此时再介绍整体对换的思想，把θ-4π看成一个角α，把θ看成（θ+4

π）、4

π两个角之差，题②就可以转化为题①，这种整体代换的数学方法，学生通过对比，感受到方法之简洁，影响很深，能体会这种数学思维方式之奥妙，在今后的学习中，也能不断去尝试。

四、感受思维方法经典之美

演绎、归纳、类比是数学思维中的最基本的思维方式，在三角函数的化简、推导、证明得到了充分的运用，通过学习，一方面可提高学生的数学思维能力及对数学的认识，另一方面，通过对数学思想的揭示，为学生营造数学美的意境，让学生感受数学思维内在之辩证、内在之和谐。

1、演绎之美

例若A+B=450，则（1+TanA ）（1+TanB ）=2 （2）

我们让A 、B 取一些特殊的角，

如：（1+Tan10）（1+Tan440）=2，（1+Tan20）（1+Tan430）=2 …… 再组合这些等式：可得（1+Tan10）（1+Tan20）……（1+Tan440）=222 这个恒等式结构很有规律，本质是公式（2）的一种演绎。在这种氛围下，学生惊奇又有兴趣。

例：若A+B=900，则Sin 2A+Sin 2B=1

可构造等式：Sin 210+Sin 220+……+Sin 2890=2

89 证明方法还可采用倒序相加法。

2、归纳之美

在学生的解题及思维过程中，往往首先碰到了较特殊的问题，通过观察、求解，可从中推演出一般地结论。

如例1：一般同学首先接触的题：Cos200Cos400Cos800的求解。 在此基础上请学生从题目的条件及求解过程分析，让学生自己得到

更一般的结论：Cos αCos2αCos22α……Cos2n-1α=α

αSin Sin n n 22 3、类比之美

类比是指两个对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也相似或相同，通过教学，可培养学生的归纳推理能力。

例：已知：x 、y 、z 满足x+y+z=xyz 求证：222121212z

z y y x x -+-+-=)1)(1)(1(8222z y x xyz --- 分析：联想到三角形中最美的恒等式“△ABC 中，TanA+TanB+TanC

=TanATanBTanC 及二倍公式Tan2A=A

Tan TanA 212-等。 此题可转化为：已知：TanA+TanB+TanC=TanATanBTanC 求证：Tan2A+Tan2B+Tan2C=Tan2ATan2BTan2C

解题方法就不难获得。

再如：求y=212x x +的值域，联想到万能公式sin α=2

1222ααTan

Tan +的形

式结构类似，只需令x=Tan 2α，则变成求y=Sin α的值域。 如在代数中出现2-1x ，21x +等。 我们联系到α2-1Cos ＝Sin α，α21Tan +＝

αCos 1（α为锐角）等，就能把代数题转化到用三角函数知识来解决。

参考文献

1、张奠宙 柴俊 欣赏数学的真与美 中学数学教学参考2010.1-2上旬

2、任伟芳 欣赏“好看又好用”的三角函数 中学数学教学参考2010.6上旬

3、杜书杰 三角函数中的数学美及其价值初探 中学数学教学参考 1999.7

三角函数经典解题方法与考点题型

三角函数经典解题方法与考点题型(教师) 1．最小正周期的确定。 例1 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 【解】 首先，T =2π是函数的周期（事实上，因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x ）；其次，当且仅当x =k π+ 2 π 时，y =0（因为|2co s x |≤2<π）, 所以若最小正周期为T 0，则T 0=m π, m ∈N +，又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co s π)，所以T 0=2π。 过手练习 1.下列函数中，周期为 2π 的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4 x y = D ．cos 4y x = 2.()cos 6f x x πω?? =- ?? ? 的最小正周期为 5 π ，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2 sin |x y =的最小正周期是（ ）. 4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 . （2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.(09年广东文)函数1)4 (cos 22 -- =π x y 是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 2 π的奇函数 D. 最小正周期为2π 的偶函数 6.（浙江卷2）函数的最小正周期是 . 2．三角最值问题。 例2 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =??? ??≤≤=+ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+ =+ 因为 ππ 4304≤≤，所以ππ θπ≤+≤4 2， 所以)4 sin(0π θ+≤≤1， 所以当πθ43=，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时，y m in =0， 当4 π θ= ，即x =2k π+ 2 π (k ∈Z )时，y m ax =2. 2 (sin cos )1y x x =++

三角和反三角函数图像

三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x

函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+ 2 π ,k∈Z｝ ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性 在［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］上都是增函数；在 ［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］上都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数； 在［2kπ，2kπ+π］上都是减函 数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ，kπ+ 2 π )内都是增函数 (k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数 (k∈Z)

《三角函数诱导公式》教学设计(完美版)

“三角函数的诱导公式(第一课时)”教学设计 一、教学内容与内容解析 “三角函数的诱导公式”是普通高中教科书人教版必修1第五章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六，是三角函数的主要性质.学生在前面已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，这节课在此基础上，继续学习公式二至公式四.三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体.通过简单问题的提出、诱导公式的发现、问题的解决，体会由未知到已知的转化，为以后的三角函数求值、化简、简单证明以及后续学习的三角函数图像和性质等知识打好基础．诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用. 诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用. 本节课的重点是诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单函数式的求值与化简，提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识，把过去渗透在具体数学内容中的重要的方法以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们. 二、教学问题诊断分析 在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习.在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式. 在教学中可能会遇到如下几个问题： 1．在利用多媒体引导学生从特殊到一般的学习过程中，部分学生认为只要记

三角函数知识点公式定理记忆口诀1

三角函数知识点公式定理记忆口诀 2008-9-2 14:12:26 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割； 中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角， 顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小， 变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值， 余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。 万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用； 1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范； 三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围； 利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。 【文字：大小】 口口之和仍口口 赛赛之和赛口留 口口之差负赛赛 赛赛之差口赛收

高中数学三角函数公式定理口诀 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范； 三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集

2020年高考数学三角函数专题解题技巧

三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-

三角和反三角函数图像

三角和反三角函数图像 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x

函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ+ 2 π ,k ∈Z ｝ ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z ｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max =1 x=2kπ- 2 π 时y min =-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在［2kπ- 2π,2kπ+2 π ］上都是增函数；在［2kπ+2 π ,2kπ+32π］上都是减函数(k ∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k ∈Z) 在(kπ- 2π，kπ+2 π )内都是增函数(k ∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k ∈Z)

《二倍角的三角函数》教案(1)(1)

二倍角的三角函数 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）能够由和角公式而导出倍角公式； （2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； （3）能推导和理解半角公式； 4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力. 2.过程与方法 让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教法 教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程 （一）探究新知 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式： 2、提出问题：公式中如果β=α，公式会变得如何？ 3、让学生板演得下述二倍角公式：

α-=-α=α-α=ααα=α2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin ααα2tan 1tan 22tan -= [展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？ 注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用. （二）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1.（公式巩固性练习）求值： ①．sin22?30’cos22?30’=4 245sin 21=ο ②．=-π18 cos 22224cos =π ③．=π-π8cos 8sin 22 224cos -=π- ④．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例2.化简 ①．=π-ππ+π)12 5cos 125)(sin 125cos 125(sin 2365cos 125cos 125sin 22 =π-=π-π ②．=α-α2sin 2cos 44α=α-αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 ③．=α+-α-tan 11tan 11α=α -α2tan tan 1tan 22 ④．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例3、已知),2 (,135sin ππ∈α= α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。 解：∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴1312sin 1cos 2-=α--=α

特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值的巧记 特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背． 那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法 根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法． 首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系． 对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、 斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意 一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点． 在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三 角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义． 二、列表法：

说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法 口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号， 不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ． 例1.tan30°的值等于（ ）

三角函数解题技巧和公式(已整理)

浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n 2 22±=±+=±故知道)c o s (s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3 cos sin -= -求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33( cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 4 3133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2= 12+n C ．n m 2 2= D ．22m n =

常用反三角函数公式表

反三角函数公式

反三角函数图像与特征 1 ：

反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数.

反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞= -1 And x < -0.5 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) - 2 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcSin = Atn(x / Sqr(1 - x * x))

If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function

经典三角函数教案

三角函数诱导公式教案2 1 教材分析 1．1 教材的地位与作用 本节课教学内容“诱导公式(二)、(三)”是人教版《高中代数》上册第二章§2.6节内容．它既是学生已学习过的三角函数定义、诱导公式(一)等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式(四)、(五)的理论依据．是本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下作用的重要纽带．求三角函数值是三角函数中的重要内容．诱导公式是求三角函数值的基本方法．诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90”角的三角函数值问题，诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式．这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、掌握数学的思想方法具有重大的意义 1．2 教学重点与难点 1．2．1 教学重点 诱导公式的推导及应用 1．2．2 教学难点 相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识． 2 目标分析 根据教学大纲的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标如下 2．1 知识目标 1)识记诱导公式． 2)理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明． 2．2 能力目标 1)通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法． 2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．

3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力． 2．3 情感目标 1)通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神． 2)通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想． 3 过程分析 3．1 创设问题情境，引导学生观察、联想，导入课题 1)提问：三角函数定义、诱导公式(一)及其结构特征． 2)板书：诱导公式(一)． sin(k·360°＋α)＝sinα，cos(k·360°＋α)＝cosα． tan(k·360°＋α)＝tanα，cot(k·360°＋α)＝cotα(k∈Z) 结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等． ②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题． 教学设想通过提问让学生温习、重视已有相关知识，为学生学习新知识作铺垫． 3)学生练习：试求下列三角函数值 sin1110°，sin1290°． 教学设想由已有知识导出新的问题，为学习新知识创设问题情境，以引起学生学习需要和学习兴趣，激发学生的求知欲，启迪学生思维的火花． 4)介绍单位圆概念后，引导学生观察演示(一)并思考下列问题： ①210°能否用(180°＋α)的形式表达(0°＜α＜90°)？(210°=180°＋30°) ②210°与30°角的终边位置关系如何？(互为反向延长线或关于原点对称) ③设210°，30°角的终边分别交单位圆于点P，P'，则点P与P'的位置关系如何？(关于原点对称) ④设点P(x，y)，则点P'的坐标怎样表示？[P'(－x，－y)]

三角函数诱导公式及经典记忆方法

三角函数诱导公式及记忆方法 一、同角三角函数的基本关系式 （一）基本关系 1、倒数关系 tanα ·cotα=1 s inα ·cscα=1 cosα ·secα=1 2、商的关系 sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanα cosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα 3、平方关系 sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α （二）同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 1、倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 2、商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 3、平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 二、诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。（一）常用的诱导公式 1、公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）=sinα，k∈z cos（2kπ+α）=cosα，k∈z tan（2kπ+α）=tanα，k∈z cot（2kπ+α）=cotα，k∈z sec（2kπ+α）=secα，k∈z csc（2kπ+α）=cscα，k∈z 2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα sec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα 3、公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

三角函数和反三角函数图像性质知识点总结

三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式 l a R = 扇形的面积公式 12 s lR = 3. 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了

4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈） ①： 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑????2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=，1max =y ； 2y k ππ=+，1min -=y

三角函数专题复习教案1(教师用)

三角函数专题复习3 通过对近年全国试卷的统计，特别是对04，05两年各省二十多套高考试卷的分析，三角函数部分占的比例大约为12%（18分）；除广东04年25分，05年15分波动较大之外，其它省份都比较稳定， 04年除上海、辽宁没有出解答题外其它省份都有一个中抵挡的三角解答题，05年基本保持04年的状况，而考察的热点依次是：化简求值、周期、单调性、最值、求解析式、图象变换、解三角形。解答问题的基本思想大都是通过恒等变换，将表达式化为一个角一个三角函数的形式，从而使问题得到解决。 一． 熟记三角函数在各象限的符号、诱导公式及00060,45,30特殊角的三角函数 值（尤其注意不要把0060,30的正余弦值记混），能够借助特殊角的函数值把一 个三角函数式化成一个角一个三角函数的形式（课本上有相当多的题目是专门用 来强化这个知识点的），这是研究周期、单调区间、最值的切入点。举例如下 例1 （1）(04辽宁)若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （2）(04辽宁)已知函数1)2sin()(--=π πx x f ，则下列命题正确的是（ ） A ．)(x f 是周期为1的奇函数 B ．)(x f 是周期为2的偶函数 C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数 D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 分析：（1）本题要求熟练掌握三角函数在各象限的符号及正弦的倍角公式；由 ???<><><<0 sin 0cos ,0sin 0cos ,0sin 2,02sin θθθθθθθ即得因即con 因此符合条件的角θ在第四象限，应选D （2）本题考察诱导公式的应用和奇偶性的概念，是基础题，函数可化为1cos )(--=x x f π； 显然是偶函数，且周期为2，选答案B 注意本届教材中,只在三角部分出现奇偶性知识点. 练习：(04北京)函数f(x)=cos2x －23sinxcosx 的最小正周期是 π 。 2、熟练掌握正弦、余弦、正切的和差角公式及正余弦的倍角公式，尤其是余弦倍角公式（根据题目需要，对三角函数式进行降幂和升幂的恒等变换是考察的热点） 例2（1）(04四川)函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 （ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．2π （2）(05浙江卷)已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1 分析：（1）求周期的基本思想是化式子为一个角一个三角函数的形式，然后利用课本知识直接求出周期，本题可以直接利用降幂公式来化简，但运算量较大，也可以

三角函数知识点归纳

三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

【教案】 一般角的三角函数值(3)

28.1.4 一般角的三角函数值 一、教学目标 (一)知识与技能 使学生会查“正弦和余弦表”、“正切和余切表”，即由已知锐角求正弦、余弦、正切、余切值．使学生会根据一个锐角的正弦、余弦、正切、余切值，查出这个锐角的大小． (二)过程与方法 逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． (三)情感态度与价值观 培养学生良好的学习习惯． 二、重、难点 重点：“正弦和余弦表” 、“正切和余切表”的查法． 难点：当角度在0°～90°间变化时，正弦值、余弦值、正切值、余切值随角度变化而变化的规律． 三、教学步骤 (一)明确目标 1．复习提问 1)30°、45°、60°的正弦值和余弦值、正切值和余切值各是多少？请学生口答． 2)任意锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系怎样？一个锐角的正切(余切)与其余角的余切(正切)之间具有什么关系． (二)整体感知

我们已经求出了30°、45°、60°这三个特殊角的正弦值和余弦值、正切值和 余切值，但在生产和科研中还常用到其他锐角的正弦值和余弦值、正切值和余切值，为了使用上的方便，我们把0°—90°间每隔1′的各个角所对应的正弦值和余弦值、正切值和余切值(一般是含有四位有效数字的近似值)，列成表格—— 正弦和余弦表、正切和余切表．本节课我们来研究如何使用正弦和余弦表、正切和余切表． (三)重点、难点的学习与目标完成过程 1．“正弦和余弦表”简介 学生已经会查平方表、立方表、平方根表、立方根表，对数学用表的结构与查法有所了解．但正弦和余弦表与其又有所区别，因此首先向学生介绍“正弦和余弦表”． (1)“正弦和余弦表”的作用是：求锐角的正弦、余弦值，已知锐角的正弦、余弦值，求这个锐角． 2)表中角精确到1′，正弦、余弦值有四位有效数字． 2．请学生观察“正切和余切表”的结构，并用语言加以概括． 答：正切表在76°～90°无修正值，余切表在0°～14°无修正值．其余与正弦和余弦表类似，对于正切值，随角度的增大而增大，随角度的减小而减小，而余切值随角度的增大而减小，随角度的减小而增大． 3.凡表中所查得的值，都用等号，而非“≈”，根据查表所求得的值进行近似计算，结果四舍五入后，一般用约等号“≈”表示． 例1 查表求37°26′的正弦值． 学生在独自查表时，在正弦表顶端的横行里找不到26′，但26′在24′～30′间而靠近24′，比24′多2′，可引导学生注意修正值栏，这样学生可能直接得答案．教师这时可设问“为什么将查得的5加在0.6074的最后一个数位上，而不是0.607

高中三角函数常见题型与解法

三角函数的题型和方法 一、思想方法 1、三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2 x+2cos 2 x=(sin 2 x+cos 2 x)+cos 2 x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 （4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 （5）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 （6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan 2 θ 的有理式。 2、证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4、解答三角高考题的策略。 （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、注意事项 对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面： 1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。 2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如 αα ββαββαα22 1 2 2)()(?= ? =+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。

三角和反三角函数图像性质总结

反三角函数的图像和性质 yx,arccos yx,arctanyx,arcsin ,1,1,1,1,,,,R 定义域 ,,,,，，,, ,,,,值域 [0，π] ,,,,2222，，,, 在上单调递增在上单调递减 ,1,1,1,1,,,,在R上单调递增单调性 无减区间无减区间无增区间 3奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数 32, 32,,21212,-1 图象 -22468-224682O11 -1,-1-,2-2 -22468-1 -1O2-2 -1 arcsin()arcsin,,,xxarccos()arccos,,,xx,arctan()arctan,,,xx 运算公x,,[1,1]x,,[1,1] xR,式1 运算公,,,, arccos(cos),[0,]xxx,,, arctan(tan),(,)xxx,,,arcsin(sin),[,]xxx,,,2222式2 运算公 sin(arcsin),[1,1]xxx,,,cos(arccos),[1,1]xxx,,,tan(arctan),xxxR,, 式3 , arctancotxarcx，,运算公,2 arcsinarccos,[1,1]xxx，,,,2式4 xR, 三角函数的图像和性质 4 yx,cosy,tanx yx,sin kZ,343 3222 1一个周11(((113,,2,,,期的图-22468,-22468(-4-2246823,,O,2,O2O--12-12-1-1-1 22像 -2-2 -2

-3,,,x|x,k，,k,Z ,定义域 R R ,,2,, [1,1],[1,1], 值域 R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 , 2,2,周期 对 ,直线xk，kZ, ,，,称直线，无 xk,,kZ,2 轴对 称对 性称k,,(,0)k,，kZ, 点，kZ, 点(,0)k，(,0)点，kZ, ,22中 心 ,,,,,在上 [2,2]kk,，[2,22]kk,,,,，，,,,上在,上在(,)kk,，,,2222单调性 ,,3,在上，，[2,2]kk,,,，,[2,2]kk,,在上无减区间 22

苏教版数学高一必修4教案 3.2《二倍角的三角函数》(2)

3.2 二倍角的三角函数 (2) 一、教学目标 1．运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； 2．能运用公式解决一些简单的实际问题； 3．培养学生观察、推理的思维能力． 二、教学重难点 教学重点 二倍角公式的简单应用。 教学难点 二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）。 三、教学方法 建构主义认为：教学应当用情节、背景真实的问题引导出所学的内容，通过营造解决问题的环境，启发学生积极思考和自主探究。 基于本节课的特点：二倍角三角函数公式是和角公式的特例，着重采用的教学方法是引导发现法．即：通过创设生动逼真和符合数学教学内容的问题情境，激发学生对数学问题的兴趣，帮助他们形成学习动机；提示新旧数学知识之间的联系线索，帮助学生建构当前所学数学知识的意义． 四、教学过程 一、复习引入 二倍角公式： sin22sin cos ααα=； 22cos 2cos sin ααα=-； 22tan tan 21tan α αα=-； 2cos 22cos 1αα=-； 2cos 212sin αα=-． （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数， 它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题． （2）二倍角公式为仅限于2α是α的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的 （3）熟悉“倍角”与“二次”的关系（括角—降次，缩角—升次）． （4）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

221cos 21cos 2cos ,sin 22 αααα+-== 这两个形式今后常用． 二、数学运用 1. 例题. 例1 化简222sin ()sin ()sin 66 ππααα-++-。 法一: 由倍角公式2cos 212sin αα=-,得21cos 2sin 2αα-= , 对原式进行降幂化简,角由单角变为倍角． 这里用到了21cos 2sin 2αα-= ,它和21cos 2cos 2αα+=，21cos2tan 1cos2ααα -=+统称为降幂公式． 法二: 两角和差的正弦展开． 例2 求证: sin 50(13tan10)1+= 例3 求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值,并写出该函 数在[]0,π上的单调递增区间． 注:解决三角函数问题,首先用公式进行化简,再按要求进行求解． 例4 已知11tan(),tan ,,(0,),2.27 αββαβπαβ-==-∈-求的值 这是一个由函数值求角的问题,这就需要求出这个角的某个三角函数值,并需要判断这个角所在的范围． 2. 练习． （1）证明 ①B A B A A 2cos 2cos )(sin B (cos 22=--+） ②θθθ2cos )tan 1(cos 22=- （2）求函数y=的最小值x x x x cos sin 2sin cos 22+- （3）11tan ,tan ,273 αβαβαβ==+已知且，都是锐角，求的值. （4）扇形AOB 的半径为1，中心角为 60，PQRS 是扇形内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求这个最大值．