证据理论的应用与研究
淮北师范大学
2015届学士学位论文
证据理论的研究与应用
学院计算机科学与技术
专业计算机科学与技术（师范）
研究方向教学研究
学生姓名陈旭
学号 20111201008
指导教师姓名张震
指导教师职称
2015 年4 月10 日
摘要
证据理论作为一种推理方法，在解决不确定性的问题时有突出的特点，随着证据理论在各个领域上的应用日益广泛，证据理论的推广问题成为证据理论应用与研究的热点。其中基Dempster-Shafer证据理论的应用--证据融合是证据理论应用中最为核心的部分。本文重点介绍了证据理论的基本知识与实现办法和常见应用与推广，并通过实例分析来展现证据理论在现实中的广泛应用。最后对证据理论进行系统的总结。
关键词：证据理论，证据融合，Dempster-Shafer证据理论
Abstract
The theory of evidence is a reasoning method, it has outstanding features in solving the problem of uncertainty, with the application of evidence theory in various fields widely,extension and evidence theory has become a hot research and application of the theory ofevidence. The Dempster - Shafer evidence theory of evidence fusion based on evidence theory is the core part of the application. This paper mainly introduces and realization methodand common application and popularization of basic knowledge of proof theory, finally checkaccording to the theory of the system summary.
Keywords: evidence theory, data fusion, Dempster evidence theory Shafer
目录
摘要 (i)
Abstract (ii)
绪论 (1)
引言 (1)
1.证据理论 (2)
1.1基本理论 (2)
1.1.1 Dempster—Shafer 证据理论 (2)
1.1.2 登普斯特（Dempster）组合规则解释 (3)
1.2 证据理论的常见定义和定理 (3)
1.3 登普斯特（Dempster）组合规则的实现 (6)
1.4证据理论的推广应用 (8)
1.4.1条件化证据理论 (8)
2 证据冲突 (12)
2.1引言 (12)
2.2 证据冲突的处理 (12)
3 证据理论的应用 (14)
3.1 D-S 证据理论的应用范畴 (15)
3.2 D-S证据理论在目标识别中的应用举例 (15)
总结 (16)
参考文献 (16)
绪论
引言
证据理论是处理具有不完全、不清晰、不确定的不确定性推理的一种常用方法，与其它不确定性推理例如：贝叶斯推理，模糊逻辑推理，基于规则推理等相比在测量，组合与表示方面的优点而受到欢迎。证据理论可以一边结合其它方法的长处一边改进自身的不足，从概率范围逐渐推广到模糊集，不但能够像贝叶斯推理那样结合先验信息，而切可以处理模糊概念证据例如:语言，在应用方面，证据理论被用在不同的层次上且非常优秀的表现，例如：指标体系，故障诊断，专家咨询系统，控制器建模，人工智能和决策分析，随着证据理论在各个领域不断的推广与应用，其理论方面也进一步得到提升。
证据理论已经成为一种重要的不确定性推理方法，国内外也已经发表了大量的相应文献，本文将介绍一些常见的证据理论的研究与应用，为读者进一步研究提供参考。
国内外研究现状
国外的研究现状
在理论方面模糊数学的创立者和专家系统MYCIN的创立者shortliffe等人[6]，都在对证据理论进行理论模型的介绍,算法实现及实际应用研究，Dubois等人认为证据理论的mass函数是一种对模糊性的测量。Smets将置信函数推广到假设空间的所有模糊集上，并提出了可传递置信模型TBM[7]。
国内的研究现状
向阳等人改进了合成规则[8]。杜文吉等人针对证据源本身的相对优先级、可靠性及重要性不同，提出了加权Dempster证据合成规则[9]，但这种组合规则丧失了可交换性，也没有给出信息源优先级的判断准则。为了解决合成规则在实现时存在等指数爆炸问题，一些学者对其进行了拓广，相继提出了扩展的的各种研究[10]。
1.证据理论
1.1基本理论
1.1.1 Dempster —Shafer 证据理论
1967年登普斯特（Dempster ）在研究统计问题时率先提出了证据理论[1]，他给出了上，下概率的概念及其合成规则，第一次明确的给出了不满足可加性的概率，谢弗（Shafer ）把它推广到更加一般的情形[2]，并使之系统化、理论化。
假设有一个可能性问题，我们用非空集合θ来表示对于此问题所有的可能性结果，谢弗（Shafer ）指出，这些可能性结果的假设都是相互独立，相互排斥的，但是都对可能性问题进行了完美的诠释，θ在此被称为识别框架（The frame of discernment ），它的选择来自于我们的先验知识，来自于我们的认知结构，来自于我们希望知道的和我们已经知道的，θ的子集被称为一个命题（proposition)，θ的幂集表示了一切可能的命题集，既由θ的所有子集构成的集合，识别框架是证据理论的基础，证据理论的所有概念和函数都是基于识别框架的，证据的组合规则也是基于在同一识别框架上的，任意A 属于θ，则m （A ）也称为命题A 的基本概率指派，m （A ）表示指派给A 本身的置信测度，即支持命题A 本身发生的程度，而不支持A 的真子集。
m(A)也被称为假设的质量函数或者mass 函数，mass 函数的确定是由人们的经验给出，或者根据传感器的数据构造而来。谢弗（Shafer ）对于人根据证据为一个命题富裕一个可信度的理解可以用下图来表示
图1-1 命题
证据
人
s=（Bel ）
分析
bel
其中Bel 为人在对证据分析后对给出命题的置信度，人在假想的证据对于命题的支持关系用虚线箭头表示，s=（Bel ）代表人经过分析后对命题的支持程度或者支持系。 1.1.2 登普斯特（Dempster ）组合规则解释
设集合C 为非空集合θ的子集[1]，如果有A1∩B1＝C1，又∵C1是集合C 上的一个当A=?时，就会出现{∑m1（A1）m2(B1)∣A1∩B1＝?}（表示将有一部分信制分配到空集上），违背我们的常识，因此，根据登普斯特（Dempster ）规则，将舍弃这部分信制，可是如此一来就会出现信制总数＜信制集合，∴C 上的总信制为{∑m1（A1）m2(B1)∣A1∩B1＝C}，但是有一种特殊情况，1，为避免这种情况，我们会在每一部分信制乘上系数{1-∑m1（A1）m2(B1)∣A1∩B1＝?}-1以满足信制为1
{1-∑m1（A1）m2(B1)∣A1∩B1＝?}-1被称为归一化因子。
定义1.1.2.1 对于θ??A ，定义在θ上的两个不同的mass 函数m 1，m 2的Dempster 组合规则是
∑=
⊕)()(1)(2
1
21C m
B m K
A m m
(1.1)
其中K 是归一化因子
同理，如果有n 个有限的定义在θ上的mass 函数m 1，m 2,……m n ，则他们的Dempster 组合规则是
)(...)()(1
))(...(22
1
1
21n n n A m A m
A m K
A m m m ∑=
⊕⊕⊕ (1.2)
1.2 证据理论的常见定义和定理
定理 1.2.1 设θ是一个识别框架，函数Bel:2^θ→[0,1]是置信函数，当仅当它满足： Bel （?）=0
Bel （θ）=1
任意自然数n ，A1，A2，.......An ∈θ
Bel （A1∪A2∪......∪An ）≥ΣBel （Ai ）-ΣBel （Ai ∩Aj ）+......+（-1）?Bel （A1∩A2∩......∩An ） (1.3)
则满足经典概率论中的可加性：
?A,B ∈θ，A ∩B=?，则P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）
但是∵{∑m1（A1）m2(B1)∣A1∩B1＝?}的出现，∴置信度不可能为1。为此谢弗（Shafer ）提出了用半可加性代替此原则 定义 1.2.2 （半可加性）
任意自然数n ，A1，A2,...,An ∈θ
Bel （A1∪A2∪......∪An ）≥ΣBel （Ai ）-ΣBel （Ai ∩Aj ）+......+（-1）?Bel （A1∩A2∩......∩An ） (1.4)
特殊的，Bel （A ）+Bel(A )≤1
如果在具体实例里有置信度满足以上公式，那么我们就可以说有函数遵循这个原则，并且置信度可以用登普斯特（Dempster ）组合规则进行合成。但是并不是说满足以上公式的只能用登普斯特（Dempster ）组合规则
定义 1.2.3 设识别框架为θ，函数Bel ：[]1,02→θ
，且Bel （A ）=Σm （B ），A B ?，
其中θ?A ，θ
2表示θ上所有的子集。我们把Bel 函数称为信任函数，Bel 函数有被称为
下限函数，表示肯定A 为真的置信度。
定义 1.2.4 设识别框架为θ，则θ上的似真函数（Plausibility Function ）定义为
[0,1
]2Pl ：→θ Pl(A)=1-Σ)(A Bel ? (1.5) Pl(A)表示不否定命题A 发生的程度，即表示Pl （A ）是表示命题A 不为假的可能性。其中不确定的空集由集合[Bell(A),Pl(A)]构成，表示A 的不确定量
举例说明就是，设Bell （A ）=0.5，Pl （A ）=0.6，那么就有
[Bell(A),Pl(A)]=[0,0] 表示A 的置信度为0，就代表有证据认为A 完全是错误的 [Bell(A),Pl(A)]=[0,0.6] 表示A 有一部分被某些证据认定是错误的（并不是完全否定）
[Bell(A),Pl(A)]=[0.5,1] 表示某些证据认为A 对的 [Bell(A),Pl(A)]=[1,1] 表示A 是被完全肯定的，既A 是真
[Bell(A),Pl(A)]=[0.5,0.6] 表示有一些证据是肯定A ，并且有另一些证据否定A [Bell(A),Pl(A)]=[0,1] 代表既没有证据肯定A ，也没有证据否定A 定义1.2.5 设识别框架为θ，A 为θ的子集，则有
（1）（m （A ），A ）称为证据体，证据由一些证据体构成
(2)如果0m(A)
＞，则称A 是证据的焦点元素，简称焦元（focal element ）；
（3)所有焦元的集合被称为证据的核（core ）；
(4）若θ为唯一焦元，则称这种函数为空置函数（Vacuous Belief Function ）;
（5）若置信函数的所有焦元都是单假设集，则称这种函数为贝叶斯型置信函数（Bayesian Belief Function ）;
定义 1.2.6设识别框架为θ，函数[]1,02:→θm ,且满足
∑?==Θθ
A A m m 且1)(0
)(则称m 为是θ
2的置信指派函数，)(A m 是A 的基本置信函数
基本概率函数m(A)的作用就是把θ上的的任意一个子集A 都映射到[0,1]上，当
θ?A 时，m （A ）表示对θ上的子集A 进行信任分配时，A 得到的信任度，当A=θ上
时，m(A)表示对θ上子集分配后的余下部分，表示不知道如何分配。 定理1.2.6 M ?bius 变换公式[1] Bel ，Pl ，q →m ：
m(A )=Σ（-1）^∣A-B ∣Bel （B ） (1.6) m(A)=Σ(-1)^∣B-A ∣q(B) (1.7) Pl ?q
Pl （A ）=Σ(-1)^(∣B ∣+1)q(B) (1.8) q(A)=Σ(-1)^(∣B ∣+1)Pl （B ） (1.9) Bel ?q
Bel(A)=Σ(-1)^∣B ∣q(B) (1.10) q(A)=Σ(-1)^∣B ∣Bel(B) (1.11) 虽然证据理论可以表达不确定的事件，但是，在某种特殊情况下会出现，与实际情况不相符的结论。例如下个案例
例1.3.1 在一件谋杀案中，有3个犯罪嫌疑人，Perter ，Paul ，Mary ，目击证人m 1，m 2 如下表的证据
表1-1
m 1 m 2 Peter 0.99 0.00 Paul 0.01 0.01 Mary
0.00
0.99
解：我们首先计算归一化常数
∑=)()(21B m A m K ，且A ∩B ≠?
=0.99*0.00+0.01*0.01+0.00*0.99=0.0001 那么我们就可以计算出关于Peter 的mass 函数
∑=⊕)()(12121C m B m K m m =00.099.00001.01
??=0
同理我们可以计算出Paul 和Mary 的mass 函数 m(Paul)=1，m(Mary)=0
根据定义2.2.3和2.2.4我们可以知道 Bel(Peter)=Pl(Peter)=0 Bel(Paul)=Pl(Paul)=1 Bel(Mary)=Pl(Mary)=0
这明显与我们的常识不符。关于证据理论的不足本文在第五章会在更详细的介绍。
1.3 登普斯特（Dempster ）组合规则的实现
Dempster 合成公式的算法如何实现的问题一直是困扰DS 证据理论的重点和难点，这一问题直接与其实用性相联系。其中D-S 方法的近似计算是最容易实现的，用通俗的话来讲，就是用减少置信函数的焦元的个数的方法来使计算的简化达到最高。 V oorhraak 总结出一个规律，假设置信函数的合成会使一个贝叶斯置信函数产生，则置信函数就可以用它们的近似的贝叶斯近似来代替，Demptser 合成规则的结果将与之前的结果完全一致。，因此，他综合以上结论，给出了置信函数的贝叶斯近似计算公式，即
m(A)=？
A 单个假
设集？
是
Σm(B)/Σm(C)*∣C ∣
（1.12）
否
V oorhraak证明了在一般情况下，置信函数的贝叶斯近似等于贝叶斯近似的合成的这些置信函数。这发现使得使用贝叶斯近似所获得的结论，至少对于在识别框架θ下的元素（不是其子集）的最终结论的情况是非常有用的，并且非常大简化了计算量，使得焦元的个数至多只有∣θ∣个。
Dubois和Prade则提出了近似一致性（consonant approximation），该方法是通过近似计算后的焦元是在一个焦元里再加上一个焦元（即焦元嵌套）。且焦元的总个数不会超过识别框架θ中假设的个数。但是，在实际的数据融合的应用中.近似一致性并不适合用Demptser合成规则来进行计算，该方法会很容易产生相当大的误差，但它却适用于证据的表达。
Tessem提出了近似算法（ k, l , x）,其基本构思是仅是将最原始的基本的置信
进行合并，并且令其他的都舍去，然后将保留的基指派中拥有最大值的焦元与近似m
klx
本的置信指派归一化。k是指保留下来的焦元的最少个数，l是指保留下来的焦元的最多个数，x表示可以不保留的最大mass值，x基本上在区间[0,0.1]上取值。其最重要的步骤为:
(1）先对Mass函数值进行从大到小排列组合
(2）根据次序的循环求mass函数的和值totalmass ,若保留的焦元个数等于1,或Totalmass≥1-x，则循环结束
（3）对剩下的焦元所对应的mass函数的值重新进行归一化。
例 1. 3. 1设有一个识别框架θ[A1,A2,A3]，现在有3个人分别对A1,A2,A3赋予置信度，其值如表
表1-2
A1 A2 A3 A2,A3
m10.9 0.05 0.05
m20.02 0.1 0.88
m30.8 0.1 0.1
（1）直接使用Dempster合成公式进行计算:
m(A1)=0.548，m(A2)=0.15，m(A3)=0.3
（2）先用贝叶斯近似求得
m1(A1)=0.8574，m1(A2)=0.0950，m1(A3)=0.0476
之后使用Dempster合成公式得出
m(A1)=0.548，m(A2)=0.15，m(A3)=0.3
（3）先用（ k, l , x）方法进行近似计算得
k=1，l=3，x=0.05
∴得出
m1(A1)=0.947，m1(A2)=0.053，m1(A3)=0
之后使用Dempster合成公式得出
m(A1)=0.877，m(A2)=0.123，m(A3)=0
从例 1. 3. 1我们可以看出，贝叶斯近似是最贴近Dempster合成公式直接计算的答案的，而（ k, l , x）近似算法看似偏离了Dempster合成公式的计算结果，但是，如果设抉择阀值d=0.6，那么就只有（ k, l , x）近似算法可以得到结果，而贝叶斯近似和Dempster合成公式都无法得到相应的结果，那么从抉择的角度来看，（ k, l , x）近似有不可或缺的意义
1.4证据理论的推广应用
研究证据理论是为了更好地推广它，将它从单方面的概率范围的研究逐渐推广到其他各个应用层面
1.4.1条件化证据理论
在分辨客观事物时，我们常用贝叶斯公式对先验知识和证据进行组合，但是，贝叶斯公式只适合证据的焦元是单假设集的情况（我们把这种先验知识叫作贝叶斯型），当先验知识不再是贝叶斯型的时候，贝叶斯公式无法对先验知识和证据进行组合。马勒（Mahler）提出了条件化证据理论，并成功的解决了先验知识的焦元不是单假设集时与证据的组合问题。
定义1.4.1假设物体的有限集，即识别框架θ，θ的一个子集S表示一个先验知识，K1，K2，...，Km∈θ,指派函数m（k1），Bel（S）=Σk1∈s（m（k1））,我们一般认为先验知识属于一个随机集合（Γ∈S）。
（1）R（θ）表示实数集合R和θ的子集相交所形成的一个向量空间
B=ΣbsS，bs∈R {S}是我们设的无关向量集合，设Σbs=1,且bs≥0，那么我们就说：B是证据的另一种表现形式。
（2）Γ是一个随机的实数集合，那么就有R[θ，Γ]表示一切S∈θ且BelΓ（S）≠0，产生R[θ]的空间，R[θ，Γ]的元素与BelΓ一致。
定义 1.4.2 Γ是一个随机的实数集合，B、C∈R[θ]，B=ΣbsS，C=ΣctT，则
（1）B，C关于Γ的条件一致定义：
ar（B,C）=Σb，c，a（S,T）(1.13)
ar（S，T）=BelΓ（S∩T）/BelΓ(S)BelΓ（T）(1.14) （2）B,C关于Γ的条件积：
B。ΓC=Σb s cΓaΓ（S,T）S∩T(1.15) （3）B,C关于Γ的D-S组合为
B*ΓC=（B。ΓC）/aΓ（B,C）(1.16) aΓ（B,C）≠0
定义 1.4.3所有S∈θ，定义关于Γ的M?bius变化，组成R[θ,Γ]的元素：
e=Σ（-1）^#（S-T）B e l（T）T(1.17) 其中T∈S ，#（S-T）表示S-T的个数
定理1.4.4ε,γ为相互独立的随机事件集合，那么
aγ（<ε∣γ>,e s）=mγ
例 1.4.1设有一个识别框架θ,包含3个目标类型分别是a，b，c。我们赋予三者的置信度都为0.2，其中mΓ（{a，b}）=0.1，
现有证据B：0.95{b，c}+0.05θ
证据C：0.8{b}+0.2θ
∵公式3- 4
∴得出：
aΓ（B，C）=0.76aΓ（{b，c}，{b}）+0.19aΓ（{b，c}，θ）+0.04aΓ（θ，{b}）
+0.01aΓ（θ，θ）
那么就有
aΓ（S，θ）=1，S∈θ
又∵
aΓ（{b，c}，{b}）=BelΓ（{b，c}∩{b}）/BelΓ（{b，c})/BelΓ({b})
=1/BelΓ（{b，c}）
∴BelΓ（{b，c}）=0.5
aΓ（{b，c}，{b}）=1.67
aΓ（B，C）=1.51
又∵aΓ（B，C）＞1，就能得出B，C是一致的
利用公式1-4得出
B。ΓC=1.27（b，c）∩{b}+0.19aΓ（{b，c}∩θ）+0.01θ∩θ
=1.31{b}+0.19{b，c}+0.01θ
B*ΓC=0.86{b}+0.13{b，c}+0.01θ
又∵定义3.1.3
∴aΓ（B*ΓC，e{b，c}）=0.6aΓ（B*ΓC，{b，c}）-0.2aΓ（B*ΓC，{b}）
-aΓ（B*ΓC，{c}）
综上所述，同理可得：
aΓ（B*ΓC，e{a}）=0.02
aΓ（B*ΓC，e{b}）=0.905
aΓ（B*ΓC，e{c}）=0.045
aΓ（B*ΓC，e{a，b}）=0.01
aΓ（B*ΓC，e{a，b，c}）=0.02
∴目标类型是b
1.4.2广义证据理论
1.4.
2.1广义证据理论的概念
广义证据理论是将有限的幂集合2^Ω推广为一个布尔代数
在布尔代数
1.4.
2.2广义证据理论的基本定理
定义1.4.2.1我们将函数X→{0,1}称为弱贝叶斯函数，用Bay来表示。当以下条件被满足时
（1）Bay（Ψ）=1
（2）Bay（?）=0
（3）当A∩B=?时，Bay（A∪B）=Bay（A）+Bay（B）
我们就把该函数称为贝叶斯函数
定理1.4.2.1由定义3.3.1可知，贝叶斯函数∈弱贝叶斯函数，并且当，X=2^Ω，Ω是一个有限的集合，那么弱贝叶斯函数∈贝叶斯函数。
定义1.4.2.2已知一个弱置信函数Bel:X→{0,1},满足以下条件
（1）Bel（Ψ）=1
（2）Bel（?)=0
（3）?A1，A2，......，An∈X（n＞0），Bel（A1∪……An）≥Σ（-1）^（∣i∣+1）*（?∩Ai）
我们就把函数Pl(A)=1-Bel(A`)称为似真函数
定义1.4.2.3E的置信函数Bel（●∣E）：X→[0,1],其中E∈X，且Bel（E’）＜1
那么对于?A∈X，就有
Bel（●∣E）（A）=[Bel（A∣E）=Bel（A∪E’）-Bel（E’）]/[1-Bel（E’）] (1.19)
刘大有等人将随机集合的概念发展到布尔代数上[3]，并用推广的上，下概率的概念解释了广义证据理论,
定义1.4.2.4 设
定义1.4.2.5若{θ∈φ∣Γ（θ）≠?}是一个有限集合，并且P{θ∈φ∣Γ（θ）≠?}＞0，则映射：
Γ[P]：X→[0,1]
ΣΓ[P]（A）=P{θ∈φ∣Γ（θ）=A}/{θ∈φ∣Γ（θ）≠?},A≠?(1.20)
Γ[P]（A）=0，那么Γ[P]（?）=0,
又∵A是有限的，∴Γ[P]是X上的mass函数
定义1.4.2.6设（P，Γ）是一个广义随机集，那么定义：
?A∈X
Γ.（A）=P{θ∈φ∣Γ（θ）≠?且Γ（θ）∈A}
Γ’（A）=P{θ∈φ∣Γ，（θ）≠?∩A≠?}
若，P（Γ，Ψ）＞0，则称
PΓ‘（A）=P（Γ’（A））/P（Γ’（Ψ））为A的上概率
PΓ.（A）=P（Γ.（A））/P（Γ.（Ψ））为A的下概率
定理 1.4.2.2布尔代数
定理 1.4.2.3布尔代数
PΓ.（A）=ΣΓ[P]（A）(1.21) 2 证据冲突
2.1引言
在实际生活中证据理论常常并不十分理想即使证据理论有许多显著优点，有时甚至会出现与常识相违背的情况，尤其是当精确数据与不精确或者偏数据组合时。
例2.1.1：设有识别框架θ为{a，b, c}，其中证据A有基本置信指派为m
1
(a)=0.8，
m 1（b）=0.2。证据B有基本木置信指派为m
2
(a)=0.2，m
2
（b）=0.8，使用Dempstet规
则对证据A和B进行组合得m（a）=1，即a事件是必然事件，这显然是不合理的。
这表明Dempster规则对这样的证据之间的冲突性过高的证据组合（即证据置信指派过大）不适用，怎样克服关于冲突性过高的证据组合所带来的缺陷，对D-S证据理论的完善和实际应用方面都有很重要的意义。
证据理论的必要条件是合并的证据之间必须相互间独立，但是这在很多实际情况下却不是个合理的假设。 R.M.Fung等人曾用元概率和证据理论两种方法求解一个算例，结果天差地别。前者与实际相符，而后者违反客观事实。在一个多智能传感器的系统中，各个传感器所拥有的信息总与它所处的环境有关，即使它具备的信息所表达的对于环境的关于时间，空间，置信度的描述各不相同。因此，在信息融合时，我们要对其进行改动，使之能与非独立性证据相适应。
2.2 证据冲突的处理
我们把数据之间的不一致性称为数据冲突。证据理论无法处理数据不一致性时的极限情况
例2.2.1 有识别框架θ={a，b}，A=（a），B=（b），C=（a，b），其中m（A）=1.0，m（B）=1.0
∵N=1-Σm（A）m（B）=0
∴不符合Dempster规则的条件
为了解决上述问题，各国学者都做了许多研究，主要分成两个方面
（1）对于Dempster规则进行改进，代表：yager提出将无法使用的证据理论剔除即新创建一个m（θ）用于保存无法确定的矛盾因子[5]
m（A）= Σm
1（B）m
2
(C) 其中B∩C=A （2.1）
m （θ）=m 1（θ）m 2（θ）+Σm 1（B ）m 2(C ) 其中B ∩C ≠?（2.2） 这种做法过于保守，会导致 m （θ）所代表的不确定性增大，与证据理论的目的相违背。 （2）对于所得的置信指派进行重新组合再分配，然后使用Dempster 规则进行数据融合。 例如Murphy 对所有的证据置信指派进行平均分配后再用Dempster 规则进行证据融合。
李玲玲[4]等人将证据的距离和支持度相结合，引入了证据相容系的概念
定义2.2.1 识别框架θ={A1.A2，A3……}，对任意两个证据的置信度指派为m i （A k ），m j （A k ），则这两个证据的相容系为
R i ,j (A k )=[m i （A k ）*m j （A k ）]/{[m i （A k ）2+m j （A k ）2]/2}（2.3）
若两个证据的置信度其中一个任意为0，就表明两个证据直接有较大冲突，两证据之间的相容性为0。如果两个证据的置信度相等就代表，这两个证据完全一致，相容性为1。
因此可得出命题A k 的证据相容矩阵如下：
根据定义定义 2.2.1 我们此矩阵为完全对称矩阵，又因为证据与自身是完全相容的，所以得出，对角线元素全为1，因此其他元素的取值均在区间[0,1]直接，这代表着证据与证据之间存在着冲突的同时也存在着相容
每条证据的绝对相容度为
D i （A k ）=ΣR i ,j (A k ) （2.4） 在理想状态下，各个证据之间的相容系数都为1，所以相容度为n-1，因此我们将可信度定义如下：
Bel i （A k ）=D i （A k ）/（n-1） （2.5） 例2.2.2 设有识别框架θ={A i ，A 2，A 3}，各证据给出的置信度如下表
表2-1
R 1,1…………R 1，n
.................. ................. R n,1…………R n,n
A i A2A3 m i0.5 0.2 0.3 m20 0.9 0.1 m30.6 0.1 0.3
首先对A
i
进行处理，根据公式（2-3）
我们得出
R 1,2(A
i
)=0
R 1,3(A
i
)=0.9836
R 2,3(A
i
)=0
所以根据公式（2-4），（2-5）得出
Bel
1（A
1
）=0.4918
Bel
2（A
1
）=0
Bel
3（A
1
）=0.4918
同理可得
Bel
1（A
2
）=0.6118
Bel
2（A
2
）=0.3215
Bel
3（A
2
）=0.5098
Bel
1（A
3
）=0.8
Bel
2（A
3
）=0.6
Bel
3（A
3
）=0.24
又∵新的mass函数为
m i =m
i
A
j
*Bel
i
（A
j
）
所以
m
1
=0.2459,0.1224,0.24，0.3917
m
2
=0，0.2894,0.06,0.6506
m
3
=0.2951，0.056,0.24,0.4139
之后，运用Dempster规则进行数据融合得出
m 1，m
2，
m
3
（A
1
）=0.3933
m 1，m
2，
m
3
（A
2
）=0.2188
m 1，m
2，
m
3
（A
3
）=0.3766
3 证据理论的应用
3.1 D-S 证据理论的应用范畴
基于证据理论的证据融合是证据理论中被应用最广泛的拓展内容，在来自多个信息源的信息、多个学者的看法等等，Dempster联合规则在这方面的求解发挥了重要作用，如企业风险预估、靶图像的识别、车辆调用等许多需要综合分析来自多个不同信息源的不确定证据的应用领域有大量应用。
3.2 D-S证据理论在目标识别中的应用举例
假设有一个敌我识别传感器，从一只部队A的传感器获得了对面部队B的传感器传来的一个信息。如果是对面部队是友方，那么它的回复应答器应通过回送它的识别号立即进行回答。若该部队A未收到对面部队B的应答，那么部队A的对于该信息的处理结果是：对面部队B是敌方。部队B可能因下列原因未能发送应答信息：（1）部队B的回复应答器出现了问题；（2）部队B的接受应答器出现了问题；（3）部队B 没有拥有识别器；（4）部队B回复应答器受到了无法传达给部队A；（5）部队B因为特殊原因无法作答。
假设部队B接受应答器的故障，导致了部队B有0.7的可能性是敌机的证据，其中部队数大于100或有机械部队被认为是敌方。由此，这Mass函数的赋值为m1({B , F}) = 0.7，其中，m1代表由部队B提供的证据的Mass函数值。
({θ}) = 1－0.7 = 0.3。
其余的置信度将赋予给环境θ，作为无法确定的部分：m
1
注意‘无法确定’不是信任同时也不是怀疑。但是，经典概率论对此问题却给出与之不相同的结果：P(敌方) = 0.7 ，P(非敌方) = 1－0.7 = 0.3。
在这一个问题中，两种不同理论给出了不同的结果，因此我们可以找到了证据理论和经典概率论之间的不同的差别。表5-1表现了二者的主要区别.
表3-1
证据理论概率论
({B , F}) 支持假设P(敌方) 支持假设
0.7 m
1
0.3 m
({θ}) 不表达P(非敌方) 不支持假设
1
任何一个mass函数都能形式化表成一个函数，此函数的2θ集合中的任意一个元素都在区间 [0 , 1]。函数的表示为m：2θ [0 , 1]。?的Mass基本上是定义为0，即
m(?) = 0 。θ的2θ的一切子集的mass 函数的和为1。即1)(2=∑∈θ
X X m 或 1)(=∑?
θX X m 。
例如，在部队相遇环境中有
13.07.0)(}),({)(1
2
1
=+=+=∑∈θθm F B m X m X ，当有新的证
据变成确定的时候，我们可以通过把所有证据进行组合以产生一个更准确的置信度。为了说明如何证据融合，我们首先看一证据融合一般公式的一种特殊的情形。
假设有一个其他不同类型的传感器m 2用0.9的置信对识别出目标部队拥有机械化。那么Mass 函数为：m 1({B , F}) = 0.7， m 1(θ) = 0.3；m 2({B}) = 0.9 ， m 2(θ) = 0.1。其中，m 1和m 2与最开始的和现在两种类型的传感器相对应。使用下述Dempster
联合规则的特殊形式以产生组合Mass 函数，
)()()()(2
1
213Y m X m Z m m Z m Z
Y X ?=⊕=∑=?。
其中，求和遍布使X ∩ Y = Z 成立的所有元素X 与Y ，符号⊕ 代表正交和或直接和。
Dempster 联合规则两个Mass 函数来生成一个全新的Mass 函数，新Mass 函数代表有冲突的证据间的可能存在的一致性。这新Mass 函数通过汇集Mass 函数间的交集的求和来表达一致性，即集合间的交集表达了证据之间存在的一致性。需要注意的方面是：用于证据融合的证据之间必须是相互独立的。其中相互独立不完全等于证据采集的独立。表3-2给出了Dempster 联合规则，其中每一个交集的后面都有两个Mass 函数的乘积。
表3-2 行列Mass 相乘
m 2({B}) = 0.9 m 2(θ) = 0.1 m 1({B , F}) = 0.7 {B} 0.63 { B , F } 0.07 m 1(θ) = 0.3 {B} 0.27
θ 0.03
总结
证据理论是采用置信函数来表示量度的一种不确定性推理的方法，它对难以获得精确概率的事件使用置信函数加以约束，但是，当约束条件变为严格的概率时，它又能转换成概率论。证据理论比较其他不确定性推理有一下优点 （1）能处理由随机性导致的不确定性和由模糊性导致的不确定性 （2）假设集可以由不停的证据积累来缩小 （3）能正确区分开“不知道”，“不确定” （4）在判断时不需要先验概率和概率密度。
参考文献