利用导数证明不等式
全国名校高中数学优质专题汇编(附详解)
ln X
1.(优质试题 安徽模拟)已知f(x)=——，则(
入
B. f(3)>f(e)>f(2)
D. f(e)>f(3)>f(2)
解析：选D.f(x)的定义域是(0,+^), 1 — ln X
f'(x)= —X 2
—，令 f’x)= 0，得 x= e.
所以当x € (0, e)时，f'(x)>0, f(x)单调递增，
当 x€ (e,+s)时，「(xF 。，f(x)单调递减，故 x
所以 x 2e x i >x i e x
2，故选 C. 3.设函数 f(x)= e 2x
— aln x. (1)讨论f(x)的导函数f'x)零点的个数;
因为u(x) = e 2x
在(0,+s)上单调递增，v(x)= —旦在(0,+
X
=e 时，f(x)max = f(e) = e ，而 f(2)=呀=罟,f(3) = 丁 = ln 3
晋，所以 f(e)>f(3)>f(2).故选 D. 6
2.若 0 1 >ln x 2 — In x 1 e x 2 — e x 1 In X 1 — X X C. X 2e 1>X 1e 2 x x X 2e 1 X 解析：选C.令f(x)=色, X X X X Z 八 xe — e e (x — 1) 当 0 f'(x)<0, 即f(x)在 (0 , 1)上单调递减，因为 0 e 2 e i 所以 f(X 2) C. f(3)>f(2)>f(e) ⑵证明：当a>0时, f(x)> 2a+ al 门彳. 解：(1)f(x)的定义域为 (0，+ s), f (x)= 2e 2x — a(x>0). X 当 aw 0 时，f'(x) > 0, f'(x)没有零点; 当a>0时，设u(x) = e 2x , v(x)=— a ， s)上单调递增, 所以f'x)在(0，+ 8 )上单调递增. 又 f'a) > 0,当 b 满足 0 V bv 彳且 bv 1 时，f'(b)v 0, 故当a> 0时，f'(x)存在唯一零点. ⑵证明：由(1)，可设f'x)在(0,+ 8)上的唯一零点为X0,当x€ (0, X0)时，f'(x)v 0; X0, 当x€ (x o,+ 8)时，f(x)>0. 故f(X)在(0 , X0)上单调递减，在(X0, +8 )上单调递增，所以当x= X0时，f(x)取得最小值，最小值为f(X0). 由于 2e2X0- a = 0, X0 a 2 2 所以 f(x0) = —+2ax0+aln 2a+aln -. 2X0 a a 2故当 a> 0 时，f(x)> 2a + aln -. a 4.(优质试题贵州适应性考试)已知函数f(x)= xin x+ ax, a € R，函数f(x)的图象在x= 1处的切线与直线x+ 2y- 1 = 0垂直. (1)求a的值和函数f(x)的单调区间; x ⑵求证：e >f' (x). 解：(1)由题易知，f'(x) = In x+ 1 + a, x>0,且f(x)的图象在x= 1处的切线的斜率 k= 2, 所以 f' (1) In1 + 1 + a= 2，所以 a= 1. 所以 f' x) = In x+ 2, 2 当 x>e-2时，f'(x)>0 , 所以g( x(在(2,1)上存在唯一的零点t, 1 使得 g( t(= e t -- = 0, 当 0 所以 x>0 时，g(x)>g(t) = e t - ln t- 2= - — ln r — 2= t+ T — 2>2- 2= 0, t e t 又2 g(x)>0，即e x >f ((x). 1.已知函数f(x)= aln x + b (x_+ 1 )，曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y= 2. (1)求a, b 的值; (x+ 1) ln x (2)当 x>0 且 xM 1 时，求证：f(x)> ■ . x — 1 b (x+1) a b 解：(1)函数f(x)= aln x + ——-——的导数为f(x)= — 7 x x 曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y= 2, 可得 f(1) = 2b = 2, f'(1) = a- b = 0, 解得a= b= 1. 1 即为 x - x -2|n x <0, 1 1 2 (x — 1 ) 2 ⑵证明：当x>1时, (x + 1) ln x f(x) > 「^ 1 即为 In x + 1 + ->ln 2ln x x+ , x- 1 1 即 x - x -2|n x >0, (X+ 1) In x 当 0 可得g(x)在(0，+ g)上递增，当 x>1 时，g(x)>g(1) = 0, (x+ 1) In x 即有f(x)> ----------- x— 1 当 0 (x+ 1) In x 即有f(x)> ----------- x— 1 (x + 1) In x f(x)> 都成立. 综上可得，当x>0且XM 1时, x— 1 2.已知函数f(x)= ln(x+ a) - x2— x在x= 0处取得极值. (1)求实数a的值; 3 4 n I 1 ⑵证明：对于任意的正整数n不等式2 + 4+ 4+…+ =>1 n(n+1)都成立. 1 解：⑴因为『刈= ----- —2x — 1 , x+ a 又因为x = 0为f(x)的极值点. 1 所以 f' (0) —— 1 = 0，所以 a= 1. a ⑵证明：由(1)知 f(x) = ln(x+ 1) — x2— x. 1 x (2x+ 3) 因为 f' x) = -- — 2x— 1 =—-------- x+1 x+1 令 f'x)>0 得 x<0. 当x变化时，f(x), f'(x)变化情况如下表. n+ 1 n+1 即计计 2 3 n+1 3 n+1 所以in1+in2+…+ “ —<2+3 +…+丁2 2 当 0 (2)证明：设 g(x)= e x- f'x) = e x- In x- 2, x>0, 1 因为g'x(= e x--在(0,+8)上单调递增, X 且 g' (=e- 1>0, g'(2)= e2-2<0, 设 g(x) = x-x — 2ln x, g (x) = 1 + x2-x2》0, 2 4 n+ 1 即 2+4+9+…+ -n^>ln（n+ 1）?