河南省信阳市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学(文)试题(解析版)

2019—2020学年普通高中高三第一次教学质量检测

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用铅笔将准考证号填涂在相应位置。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}

2

|20A x x x =-≤，{}1,0,2,3B =-，则A B =I （ ）

A. {}0,1,2

B. {}0,2

C. {}1,3-

D. {}1,0,1,2,3-

【答案】B 【解析】 【分析】

解不等式求出集合A ，利用交集的定义得到结果. 【详解】{

}{}

2

2002A x x x x x =-≤=≤≤

{}0,2A B ∴=I

本题正确选项：B

【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2.若01x y <<<，则 A. 33y x < B. log 3log 3x y < C. 44log log x y < D. 11()()4

4

x

y

<

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：3x y =为增函数且x y <，所以A 错误.

3log y x =为增函数且01x y <<<，故33log log 0x y <<，即

11

0log 3log 3

x y <<， 所以log 3log 3x y >，所以B 错误；

14x

y ??

= ???

为减函数且x y <，所以D 错误.

4log y x =为增函数且x y <，故44log log x y <

故选C.

考点：比较大小.

3.设x ∈R ，则“1x <”是“20x x -<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】

由20x x -<，解得(-∞，由(,1)(-∞?-∞，可知“1x <”是“20x x -<”的充分不必要条件，选A.

4.已知向量,a b v v

，若(1,0)a =v

且||a b v v

|=|，则下列结论错误的是( )

A. a b -v

v 的最大值为2 B. ||a b +v v

的最大值为2

C. 当a b -v v 最大时1a b ?=v v

D. 当||a b +v v 最大时1a b ?=v v

【答案】C 【解析】

【详解】因为(1,0)a =r ，且||||a b =r r

，所以||||1a b ==r r ．当||a b -r r 最大时，,a b r r 共线且反向，||a b -r r 的最大值为2，1a b ?=-r r ，故A 正确，C 错误；当||a b +r r 最大时，,a b r r 共线且同向，||a b +r r 的最大值为2，1a b ?=r r

，

故B 正确，D 正确．故选C ．

5.如图1是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量的图象.由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两

种扭亏为盈的建议，如图2、3所示.你能根据图象判断下列说法正确的是（ ）

①图2的建议为减少运营成本；②图2的建议可能是提高票价； ③图3的建议为减少运营成本；④图3的建议可能是提高票价. A. ①④ B. ②④

C. ①③

D. ②③

【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意知图象反应了收支差额y 与乘客量x 的

变化情况,即直线的斜率说明票价问题,当0x =的点说明公

司的成本情况,再结合图象进行说明.

【详解】根据题意和图(2)知,两条直线平行即票价不变,直线向上平移说明当乘客量为0时,收入是0,但是支出的变少了,即说明此建议是降低成本而保持票价不变;

由图(3)看出,当乘客量为0时,支出不变,但是直线的倾斜角变大,即相同的乘客量时收入变大,即票价提高了,即说明了此建议是提高票价而保持成本不变, 综上可得①④正确,②③错误. 故选A .

【点睛】本题考查了一次函数模型的应用,属于中档题. 6.下列说法错误的是（ ）

A. 若命题:p x R ?∈，使得210x x -+=，则:p x R ??∈，都有210x x -+≠

B. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为假命题

C. 命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”

D. 已知:p x R ?∈，使得cos 1x =，:q x R ?∈，都有210x x -+>，则“p q ∧”为假命题 【答案】D 【解析】 【分析】

根据命题的否定,否命题,原命题与其逆否命题等价和复合命题的真值表逐个分析可得.

【详解】选项A ,”存在”改”任意”,”等于”改”不等于”,正确;

选项B ,原命题为假命题(可能得2x =),所以逆否命题也是假命题,正确; 选项C ,写否命题时,既否定条件又否定结论,正确;

选项D ,容易判断命题p 与q 都是真命题,所以“p q ∧”为真命题.错误. 故选D .

7.将函数()()cos 2f x x π???

?=+< ??

?图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

，再把得到的图象向左平移

6π

个单位长度，所得函数图象关于2

x π=对称，则sin ?等于（ ）

A.

1

2

C. 12

-

D. 【答案】D 【解析】 【分析】

根据图象变换可得y 1cos()2

12

x π

?=++,再根据图象关于2

x π=

对称,可得cos(

)13

π

?+=±,结合||2

?π<

,可得3

π

?=-

,由此可得sin ?的值.

【详解】将函数()()cos 2f x x π????

=+< ??

?

图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到函数1cos()2y x ?=+,

再把1cos()2

y x ?=+向左平移6π

个单位长度,

得到1cos[())26y x π?=++1cos()212

x π

?=+

+, 因为函数y 1cos()212

x π?=+

+的图象关于2x π

=对称, 所以2x π

=时,1y =±,即1cos()12212

ππ??+

+=±, 所以cos()13

π

?+=±,

所以

,3

k k Z π

?π+=∈,

所以,3

k k Z π

?π=-

∈,

因为||2?π<

,所以0,3

k π?==-,

所以sin sin()3

π

?=-=. 故选D .

【点睛】本题考查了三角函数的周期变换和相位变换,还考查了对称轴,属于中档题. 注意,相位变换时,要把x 的系数提出来,按照左加右减变形.

8.已知函数()()()1f x x ax b =-+为定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞单调递减，则()30af x -<的解集为（ ） A. ()2,4 B. ()(),24,-∞+∞U C. ()1,1- D. ()(),11,-∞-+∞U

【答案】A 【解析】 【

分析】

利用函数的奇偶性的性质求出a 、b 关系，结合函数的单调性，判断a 的符号，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】()()()()2

1f x x ax b ax b a x b =-+=+--， 若()f x 是偶函数，则0b a -=，即a b =， 此时()()

2

2

1f x ax a a x =-=-，

Q ()f x 在[)0,+∞单调递减，

0a ∴<，

则()30af x -<等价为

()2

2310a x ??--

， 即()2

31x -<，得131x -<-<，得24x <<， 即不等式的解集为()2,4. 故选：A

【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值、一元二次不等式的解法，属于基础题.

9.已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ??

?∈?∈????

，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1a ≤ B. 1a ≥ C. 0a ≤ D. 0a ≥

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意知，当11,32

x ??∈????时，由()44

24f x x x x x

=+

≥?=，当且仅当4x x =时，即2x =等

号是成立，所以函数()f x 的最小值为4，当[]

22,3x ∈时，()2x

g x a =+为单调递增函数，所以

()()min 24g x g a ==+，又因为[]121,3,2,32x x ??

?∈?∈????，使得()()12f x g x ≥，即()f x 在1,32x ??∈??

??

的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值，即44a +≤，解得0a ≤，故选C ． 考点：函数的综合问题．

【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为()f x 在1,32x ??∈????

的最小值

不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值是解答的关键．

10.如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以

360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有

（ ）

A. 120km

B. 606km

C. 605km

D. 3km

【答案】D 【解析】 【分析】

先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF .

【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.

因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =,

又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o , 在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o ,

所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,

因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =

+=+?=km ,

所以6033

cos BD BDC CD ∠===

, 因为1

360904

DF km =?

=, 所以在三角形BDF 中,

2222232cos (603)90260390BF BD DF BD DF BDF =+-??∠=+-?g 10800=,

所以603BF =km .

故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城

市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D .

【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.

11.已知函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()60,1f x f x y f x ++==-的图象关于()1,0对称，且

()24,f =则()2014f =

A. 0

B. 4-

C. 8-

D. 16-

【答案】B 【解析】 【

详

解

】试

题

分

析

：

函

数

()

f x 对任意

x ∈R

，都有

,

,因此函数

的周期

，把的图象向左平移1个单位的的

图象关于

对称，因此函数

为奇函数，

(2014)(1671210)(10)(1012)(2)f f f f f ∴=?+==-=-(2)4f =-=-，因此答案为B.

考点：1、函数的周期性；2、函数图象平移；3、函数奇偶性的应用.

12.已知函数ln ,1

()1(2)(),1x x f x x x a x e

≥??

=?+-

线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数a 的取值范围是（ ） A. 322322a --<<-+ B. 2

3223

a -+<<

C. 322a <--或23223

a -+<< D. 322a -+<

【答案】C 【解析】 【分析】

首先求得切线方程，然后将问题转化为二次函数在给定区间上有两个交点的问题，最后分类参数，结合对勾函数的性质可得实数a 的取值范围. 【详解】由()ln f x x =，1x ≥，得()1

f x x

'=

，()1'f e e =

()f x ∴在点(),1A e 处的切线方程为1

y x e

=

，①

函数()()()1

2y f

x x x a e

==

+-，1x <② ∴由①②联立方程组可得：11(2)()y x e

y x x a e ?=????=+-??

，其中1x <,

化简得：2(1)20x a x a +--=，③

Q 切线与该函数的图象在(),1A e 点有一个交点，

∴只需要满足③在当1x <时有两个不相同的交点，

很明显2x =-不是函数的零点，

整理方程可得：()22

2322

x x a x x x +==++-++，

问题转化为函数y a =与平移之后的对勾函数()2

232

y x x =++-+有两个不同的交点， 绘制函数()2

232

y x x =++

-+的图像如图所示，

结合均值不等式的结论可知，当2x >-时，()2

232232

y x x =++

-≥+， 当2x <-时，()2

232232y x x =++

-≤-+， 且当1x =时，()222323

y x x =++

-=+，

结合函数图像可知，实数a 的取值范围是：3a <--或233

a -+<<. 故选C .

【点睛】本题主要考查函数切线方程的求解，由函数的零点个数求参数的取值范围，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.

13.函数()log 14a y x =-+的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()f x 的图象上，则()3f =________. 【答案】9 【解析】 【分析】

令真数为1,可得定点P 的坐标,用待定系数法设出幂函数解析式,代入P 的坐标,可得幂函数解析式,从而可得

(3)f .

【详解】令11x -=,得2x =此时4y =,故(2,4P ),

设幂函数解析式()f x x α

=,

依题意有(2)4f =,即24α=,解得2α=,

所以2

()f x x =,

所以2

(3)39f ==. 故答案为:9

【点睛】本题考查了对数型函数过定点问题,幂函数概念,待定系数法,属于基础题.

14.已知向量3a b ==r r ，向量a r

与向量b r 的夹角为120?，则()

a a

b -=r r r g ________.

【答案】7 【解析】 【分析】

根据平面向量的数量积公式可得.

【详解】因为a =r

,所以||2a ==r

,

所以||||cos120a b a b ?=o r r

r r 123()32

=??-=-,

所以()

a a

b -=r r r g 222(3)437a a b -?=--=+=r

r r .

故答案:7

【点睛】本题考查了平面向量数量积,属于基础题.

15.已知函数()(0x

f x a a =>且1)a ≠，若曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线与直线1y x =+垂直，

则a 的值为________. 【答案】

1e

【解析】 【分析】

根据导数的几何意义求得切线的斜率,再根据两直线垂直,斜率的乘积为1-列方程可解得.

【详解】因为函数()(0x

f x a a =>且1)a ≠,所以()ln x

f x a a '=,

所以0

(0)ln ln f a a a '==,

所以曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线的斜率为ln a , 依题意可得ln 1a =-,所以1

1a e e

-==

. 故答案为

1e

. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率和两直线垂直与斜率的关系,属于中档题. 16.函数()3sin 4cos f x x x =+，若直线x θ=是曲线()y f x =的一条对称轴，则

cos2sin cos θθθ+=________.

【答案】

1925

【解析】 【分析】

引入辅助角?,根据对称性的性质可得,sin()1θ?+=±,从而2

k π

θ?π+=+,k Z ∈,

结合诱导公式和二倍角公式可求得.

【详解】因为()3sin 4cos f x x x =+34

5(sin cos )55

x x =+, 令3cos 5?=

,4sin 5

?=, 则()5(sin cos cos sin )f x x x ??=+5sin()x ?=+, 因为直线x θ=是曲线()y f x =的一条对称轴,

所以,2

k k Z π

θ?π+=+∈,

所以2

k π

θπ?=+

-,k Z ∈,

所以222k θππ?=+-,k Z ∈,

所以cos 2cos(22)cos 2k θππ??=+-=-22

372cos 12()15

25

?=-+=-?+=

, 11143sin cos sin 2sin(22)sin 2sin cos 22255k θθθππ????==+-===?12

25

=,

所以cos2sin cos θθθ+=

71219

252525

+=. 故答案为:

1925

. 【点睛】本题考查了三角函数的辅助角公式,函数的对称性,诱导公式和二倍角公式,属于中档题.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c cos

cos C

A

=

． （1）求A 的值；

（2）若B=30°，BC 边上的中线，求△ABC 的面积．

【答案】（1）30A =o ；（2【解析】

试题分析：（1）利用条件结合正弦定理可得

cos

cos C

A =，化简整理可得

2sin cos B A B ，求出cos A =

（2）设出边长利用余弦定理建立方程，求出2AC BC ==，再利用面积公式即可求解．

试题解析：（1）cos cos C A =Q

，cos cos C

A =

2sin cos )B A A C ∴=+

sin()sin ,2sin cos A C B B A B +=∴=Q

因为sin 02cos cos B A A ，≠∴==

又018030A A o o o （，），∈∴=

（2）3030A B o o ，，==120,C AC BC ∴==o

设2,AC x =则CM x =，在ACM ?中，由余弦定理得：2222cos AM AC MC AC MC C =+-??

222427x x x ∴++=，解得1x =

ABC AMC

ABC 2,21

2sin 2

122122

AC BC S S S CM AC C

???∴===∴=???=????= 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.

18.已知命题:p 方程()()120ax ax -+=在[]1,1-上有解；命题:q 只有一个实数x 满足不等式

2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围.

【答案】()()1,00,1-U 【解析】 【分析】

先分别由命题p 和q 为真求出实数a 的取值范围,再根据补集思想求出命题p 和q 为假时实数a 的取值范围,再由命题“p ”或“q ”是假命题,得命题p 和q 都为假命题,列不等式组可解得. 【详解】若p 为真命题,由题意0a ≠,所以方程()()210ax ax +-=的解为1

a 或2a

-, 若方程在[]1,1-上有解，只需满足11a

≤或2

1a -≤,

∴1a ≥或1a ≤-, 即(][),11,a ∈-∞-+∞U .

若q 正确，即只有一个实数x 满足2220x ax a ++≤， 则有2480a a ?=-=，即0a =或2, 若p 或q 是假命题，则p 和q 都是假命题， 所以11a -<<且0a ≠且2a ≠,

所以a 的取值范围是()()1,00,1-U .

【点睛】本题考查了判断命题的真假,复合命题的真假,补集思想,方程有解问题,一元二次不等式的解的问题,属于中档题.

19.已知定义在实数集R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当()0,1x ∈时，()241

x

x f x =+.

（Ⅰ）求函数()f x 在[]1,1-上的解析式；

（Ⅱ）当λ取何值时，方程()f x λ=在R 上有实数解.

【答案】（Ⅰ）()()()2,0,1410,012,1,041x

x x

x x f x x x x ?∈?+??

===±???-∈-?+?

或（Ⅱ）{0λλ=，或1225λ-<<-，或21}52λ<<

【解析】 【分析】

(Ⅰ)()1,0x ∈-时,根据函数为奇函数转化为(0,1)上可求解析式;1x =±时的函数值,利用周期为2以及奇函数的性质可求得;从而可得[1,1]-上的解析式;

(Ⅱ)因为函数的周期为2,所以问题转化为: 当λ取何值时，方程()f x λ=在[1,1]-上有实数解.然后根据分段函数的值域可得.

【详解】（Ⅰ）若()1,0x ∈-， ∴(0,1)x -?，

∴()241

x

x f x ---=+，

又∵()f x 为奇函数，

∴()()241x

x f x f x ---==-+，

()224141

x x

x x

f x --=-=-++, 又因为函数的周期为2,

所以()()1)12(1f f f -+=-=， 因为()f x 为奇函数,所以()()11f f -=-， ∴()()110f f =--=

所以()2,01410,

0112,1041x

x

x x x f x x x x x ?<

===-=???--<

或或 （Ⅱ）若()0,1x ∈，∴()21

14122x x x x

f x ==

++,

设2x t =,则(1,2)t ∈, 又1y t t =+,21

1y t

'=-

0>, 所以1y t t =+在(1,2)t ∈上为增函数,

所以15

(2,)2

y t t =+∈,

即1522,22x

x ??+

∈ ???， ∴()21,52f x ??∈ ???

，

若()1,0x ∈-，()21

14122

x x x x

f x =-=-

++， 同理可得,()12,25f x ??∈-- ???

，

∴λ的取值范围是{0λ

λ=，或1225λ-<<-，或21}52

λ<<.

【点睛】本题考查了利用函数奇偶性和周期性求分段函数的解析式,分段函数的值域,属于中档题.

20.假设国家收购某种农产品的价格是1.2元/kg ，其中征税标准为每100元征8元（即税率为8个百分点，8%），计划可收购

kg.为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购可增加2x 个百分点.

（1）写出税收y （元）与x 的函数关系；

（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，确定x 的取值范围.

【答案】（1）()()23400420812500

m

y x x x =--<≤；（2）02x <≤ 【解析】 【分析】

（1）根据题意先求出调节后税率及预计可收购量，税前总金额，最后根据税率公式即可求得税收y （元）与x 的函数关系；（2）根据原计划税收与税率调节后的税收之间的关系得出关于x 的不等式，解此不等式即可得x 的取值范围．

【详解】（1）由题知，调节后税率为()8%x -，

预计可收购()12%m x kg +，总金额为()1.212%m x +元， ∴()()()()231.212%8%400420812500

m

y m x x x x x =+-=

--<≤． （2）∵原计划税收1.28%m ?元，

∴()()1.212%8% 1.28%78%m x x m +-≥??， 得242880x x +-≤，442x -≤≤， 又∵08x <≤，

∴x 的取值范围为02x <≤．

【点睛】本小题主要考查函数选择二次函数模型、二次函数性质的应用、税率等基础知识，属于基础题．

21.已知函数()()

f x a b c =+r r r

g ，其中向量()sin ,cos a x x =-r ，()sin ,3cos b x x =-r ，()cos ,sin c x x =-r ，

x ∈R .

（Ⅰ）若()52f α=

，588

ππ

α-

<<-，求cos2α的值； （Ⅱ）不等式()2f x m -<在,82x ππ??

∈?

???

上恒成立，求实数m 的

取值范围.

【答案】（Ⅰ

（Ⅱ

）(0,4 【解析】 【分析】

(Ⅰ)利用向量数量积公式得到()f x 后,再用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化成辅助角的形式,

根据已知条件及同角公式解得3cos 244πα?

?+

= ??

?

再将所求变成33cos 2cos 244ππαα??

??=+- ???????

后,利用两角差的余弦公式求得;

(Ⅱ)将不等式恒成立转化为最大最小值可解得.

【详解】()()

f x a b c =+r r r

g

()()sin ,cos sin cos ,sin 3cos x x x x x x =---g

222sin 2sin cos 3cos 1sin 22cos x x x x x x =-+=-+

32cos 2sin 2224x x x π??=+-=++

??

?

（Ⅰ）若()52

f α=

，

则35224

2πα??+= ??

?

，即3sin(2)44

πα+=， 由588ππα-<<-∴544

ππ

α-<2<-， 即32

42π

ππα-

<2+

<

，则3cos 244π

α??

+= ?

?

?

， 则333333cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 4

44444ππππππ

αααα???

??

??

?=+

-=+++ ? ?

????

??

??

?

??

142424?=-+= ??

. （Ⅱ）∵不等式()2f x m -<在,82x ππ??

∈?

???

上恒成立， ∴()22f x m -<-<，即()()22f x m f x -<<+在,82x ππ??

∈?

???

上恒成立， 当,82x ππ??∈?

???，则2,4x ππ??

∈????

，372,44x πππ??+∈????，

则当324

x ππ+=，即8x π

=时,()f x 取得最大值，最大值为()max 2f x =，

当33242x ππ+

=，即38

x π

=时,()f x 取得最小值，最小值(

)min 322

f x π

=

+2=-,

则22

22m m >-???

,

得04m <<，

即实数m

的取值范围是(0,4. 22.已知函数()3

21sin 22f x ax x x c θ=+

-+的图象经过点371,6??

???

，且在区间()2,1-上单调递减，在[)1,+∞上单调递增.

（Ⅰ）证明sin 1θ=； （Ⅱ）求()f x 的解析式；

（Ⅲ）若对于任意的1x ，[]()2,30x m m m ∈+≥，不等式()()1245

2

f x f x -≤恒成立，试问：这样的m 是否存在，若存在，请求出m 的范围；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）()321122

2323

f x x x x =+-+（Ⅲ）存在m 且[]0,1m ∈,理由见解析 【解析】 【分析】

(Ⅰ)利用()01f '=且(2)0f '-≤联立可证明;

(Ⅱ)由(1)可得1

sin 1,3

a θ==,从而可得()f x 的解析式; (Ⅲ)将已知不等式恒成立转化为max min 45

()()2

f x f x -≤成立,然后分类讨论求出最大最小值代入即可解

得.

【详解】（Ⅰ）∵()2

3sin 2f x ax x θ'=+-

由题设可知()()1020f f ?=??-≤''??

即3sin 20122sin 20a a θθ+-=??--≤?①②

由①得：2sin 3a θ-=

，代入②得：2sin 122sin 203

θ

θ-?

--≤， 化简得：sin 1θ≥， ∴sin =1θ；

（Ⅱ）将sin =1θ代入①式得：1

3

a =，则()3211232f x x x x c =+-+，

而又由()3716f =

，代入得22

3c =， ∴()321122

2323

f x x x x =+-+即为所求；

（Ⅲ）()()()2

221f x x x x x '=+-=+-

易知()f x 在(),2-∞-及()1,+∞上均为增函数，在()2,1-上为减函数.

因为对于任意的1x ，[]()2,30x m m m ∈+≥，不等式()()1245

2

f x f x -≤

恒成立，等价于max min 45()()2

f x f x -≤

, 所以（i ）当1m >时，()f x 在[],3m m +上递增.故()()max 3f x f m =+,()()min f x f m =, 由()()()()()32

3211113332323232

f m f m m m m m m m +-=

+++-+--+ 21545

31222

m m =++≤，得51m -≤≤.这与1m >相矛盾故舍去；

（ⅱ）当01m ≤≤时，()f x 在[],1m 上递减，在[]1,3m +上递增， ∴()()min 1f x f =，()()(){}

max max

,3f x f m f m =+，

又()()()2

2

159********

f m f m m m m +-=++

=+-, 因为01m ≤≤,所以()2

9

322

m +-0>, ∴()()max 3f x f m =+

∴()()()()()()max min 45

31412

f x f x f m f f f -=+-≤-=恒成立， 故当01m ≤≤时,原不等式恒成立. 综上：存在m 且[]0,1m ∈符合题意.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,以及不等式恒成立问题,属于难题. 不等式恒成立常常转化为函数的最值使不等式成立.