大一微积分练习题及答案.doc
《微积分（ 1）》练习题
一．单项选择题
1．设f x0存在，则下列等式成立的有（）
f x0 x f x0
f x0 B ．lim f x0 x f x0
f x0
A ．lim
x x x 0 x 0
C．lim f x0 2h f x0
f x0 D．lim
f x0 2h f x0 1
x0
f
h 0 h h 0 h 2 2．下列极限不存在的有（）
A ．lim x sin 1
B ．lim
x2 2x 2
x 1
x 0 x x
1 2 3
C．lim e x D．lim 3x 6 1
x 0 x 2x x
3．设f ( x)的一个原函数是e2 x，则f ( x) （）
A ．2e2 x
B ．e2 x C．4e2x D．2xe 2x
2 x, 0 x 1
4．函数f ( x) 1, x 1 在 0, 上的间断点 x 1为（）间断点。
1 x, x 1
A ．跳跃间断点；B．无穷间断点；
C．可去间断点；D．振荡间断点
5．设函数f x 在 a, b 上有定义，在a,b 内可导，则下列结论成立的有（）
A ．当f a f b 0 时，至少存在一点a, b ，使 f 0 ；
B．对任何a, b ，有 lim f x f 0 ；
x
C．当f a f b 时，至少存在一点a, b ，使 f 0 ；
D．至少存在一点a, b ，使 f b f a f b a ；
6．已知f x 的导数在 x a 处连续，若lim f x 1 ，则下列结论成立的有（）
x a x a
A ．x a 是 f x 的极小值点；B．x a 是 f x 的极大值点；
C ． a, f a 是曲线 y f x 的拐点；
D ． x
a 不是 f x 的极值点， a, f a 也不是曲线 y f x
的拐点；
二．填空：
1．设 y
f
arcsin
1
， f 可微，则 y
x
x
2．若 y 3x 5 2x 2 x 3 ，则 y 6
3．过原点 0,1 作曲线 y e 2x 的切线，则切线方程为 4．曲线 y
4 x
1
2 的水平渐近线方程为
x 2
铅垂渐近线方程为
5．设 f (ln x) 1 x ，则 f x
f x
三．计算题：
（ 1）
x
2
1
（ ）
x 3
lim
x 2
2
2x 3
2 lim
x 1
x x
x
（ 3） lim
ln(1 x 2
) （ ） y ln 1 2x
2
求 dy
x sin 3x
4
x 0
（ ） e xy
y 3
5 0
求 dy
x
x 0
5
dx
四． 试确定 a ，b ，使函数 f x
b 1 sin x
a 2, x 0 0处连续且可导。
e ax
1,
x
在 x
五．试证明不等式：当
x 1时， e x
e x 1 xe x
e
2
f x f a
x a ，其中 f x 在 a,
上连续， f
x 在 a,
内存
六．设 F x
a ,
x
在且大于零，求证 F x 在 a,
内单调递增。
《微积分》练习题参考答案
七．单项选择题
1．（ B ）2．（ C ） 3．（ A ）4．（ C ） 5．（ B ）6．（ B ） 八．填空：（每小题 3 分，共 15 分） 1．
1
f arcsin 1
x x 2
1
x
2． y 6
3． y 2x 1
4． y2 ， x 0
5． f x 1 e x ， f x
x e x c 三,计算题：（1） lim
x 2 1
2
（2） lim
x 3
x 2
x 1
x
2x 3
lim
x 2
1
2x 3
x 1 x
2
lim 2x
2
x
1
2x 1
2
（ 3） lim ln(1
x 2 )
x 0
x sin 3x
lim ln(1 x 2
) x 0 xsin 3x
lim
x 2 1
x 3x
3
x 0
（ 5） e xy
y 3
5 0 求 dy
x
dx x 0
e xy y
xy
3y 2 y 5 0
y
5 ye xy
3y
2
xe xy
又 x
y
1
x
x
lim
x
x 3
2
x x
2 ) x
2
lim (1
?
x 3
2
x
x
x
2x
6
lim
x
e
2
e x
（4） y
ln 1 2x 2
求 dy
dy 2 ln 1
2x 1 2 dx
1
2x
4 ln 1 2x
dx
1 2x
y
x 0
5 ye xy x 0 2
3y
2
xe
xy
y 1
（
九． 试确定 a ，b ，使函数 f
x
b 1 sin x
a 2, x
0 0处连续且可
导。
e ax
1,
x
在 x
（8 分）
解： f
lim b 1 sin x a 2
a b
2
x 0
f 0 0
lim e ax
1 0 ，
函 数 f x 在 x
0 处连 续 f 0 0 f 0
x 0
a b 2 0 ，
（1）
f 0
lim b 1 sin x
a 2
b a
2 b
x
x
f 0
lim e ax
1
a b 2 lim e ax
1 a
x
x x 0
x
函数 f x 在 x
0 处可导 f 0 f 0 ，故 a
b
（ 2）
由（ 1）（ 2）知 a
b
1
十．试证明不等式：当
x 1时， e x e x
1 xe x e
（8 分）
2
证：（法一）设 f t
e t t
1, x
则由拉格朗日中值定理有
e x 1
e x e e x 1 e x x 1
1, x
整理得： e x
e x
1 xe x e
2
法二：设 f x
e x
ex
f x e x e 0 x
1
故 f x e x
ex 在 x
1时，为增函数，
f x
e x
ex f 1 0，即 e x
ex
设 f x
e x 1 xe x e
2
f x e
x
1 e x
xe
x
1
e x 1 x 0
x 1
故 f x e x
1 xe x e 在
2
2
2
x 1 时，为减函数，
f x e x
1
e
x xe
x
f 1 0 ，即 e x
1
xe x e
2
2
综上， e x e x 1 xe x e
2
十一．设 F x f x f a x a ，其中 f x 在 a, 上连续， f x 在 a, 内
x a
存在且大于零，求证 F x 在 a, 内单调递增。（5 分）
证： F
f x x a f x f a
x ( x a) 2
f x x a f x a a x
( x a) 2
f x f
x a
fx
0x
x a
故 F x 在 a,内单调递增。