信号与系统常用公式
常用
公式
第一章
判断周期信号方法
两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。 1、连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。
2、两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。
信号的能量 def
2
()E f t dt +∞
-∞=?
信号的平均功率 def
2
/2
/2
1lim ()T T T P f t dt T +-→∞=? 冲激函数的特性
动态系统是线性系统的条件可分解性
{}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x ?=?+?=?+????????零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=?+?????????????
零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+????????????
判断系统时不变、因果、稳定的方法。 线性时不变的微分和积分特性。
第二章
微分方程的经典解：()()()()()()h p y t y t y t =+完全解齐次解特解 齐次解 ()
(1)(1)110()()...()()0n n n y
t a y t a y t a y t --++++＝
特解的函数形式与激励函数的形式有关。 初始状态和初始值。
零输入和零状态响应 ()()()x f y t y t y t =+ 冲激响应 ()[{0},()]h t T t δ= 卷积 1212()()()()f t f t f f t d τττ∞
-∞*=-? 卷积积分特性 卷积微分特性
卷积的时移性质
第四章
周期信号f(t)的傅立叶级数
a n 是n 的偶函数，
b n 是n 的奇函数
波形的对称性与谐波特性f(t)为偶函数－－对称纵坐标：b n =0，展开为余弦
级数。
2. f(t)为奇函数－－对称原点：a n =0，展开为正弦级数。
3. f(t)为奇谐函数()(/2)f t f t T =-±：a 0=a 2=…=b 2=b 4=…=0
4. f(t)为偶谐函数()(/2)f t f t T =±：a 1=a 3=…=b 1=b 3=…=0傅立叶级数的指
数形式
F 0=A 0/2为直流分量
周期信号的功率—Parseval 等式
幅度为1，脉冲宽度为τ，周期为T 的矩形脉冲频谱： 傅立叶变换
常用函数的傅里叶变换
傅立叶变换的性质（见第五章）
奇偶性：()()()F j R jX ωωω=+
(2)()(),()0,()()()(),()0,()()
f t f t X F j R f t f t R F j jX ωωωωωω=-= ==--= =若则若则周期信号的傅立叶变换
普通周期信号的傅立叶变换： 无失真传输：y(t)=Kf(t-t d ) ()()d
j t Y j Ke
F j ωωω-=
实现无失真传输，对系统的要求：
取样定理
取样信号f s (t)的频谱为：()(1/2)()()s F j F j S j ωπωω=* 冲激取样：第五章
双边拉普拉斯变换对
收敛域因果信号：[]Re s σα=>
反因果信号：[]Re s σβ=< 双边信号：[]Re s βα>>
收敛域的确定方法：lim
()0t t f t e σ-→∞
=
单边拉氏变换
常见函数的拉氏变换（单边）
单边拉氏变换与傅立叶变换的关系拉普拉斯变换性质（与傅立叶变换性质对比）：
初值定理和终值定理
拉普拉斯逆变换:部分分式展开法 （1） F (s)为单极点（单根）
1212()()......()i n
i n
B s K K K K F s A s s p s p s p s p =
=+++++----
11()2cos()()t f t K e t t αβθε-=+ 或 []1()2cos()sin()()t f t e A t B t t αββε-=-
(2) F(s)有重极点（重根） 复频域分析
微分方程的变换解系统函数电路的S 域框图电感 电容系统的信号流图表示－－梅森公式
系统函数与系统特性H(s)的零、极点与时域响应h(t)关系1、极点在左半平面：在负实轴上：
211122
()
()())
t t t
ke t k s k e k te t αααεα
εα---→+→+1k
一阶极点：s+k 二阶极点：(s+ 不在负实轴上：22
112
2222cos()())()cos()())cos()()
t
t
t ke t t B s k te t t k te t t αααβθεαβ
βθεαββθε---→++→+??+??
++B(s)一阶极点：(s+二阶极点：(s+ 2、极点在j ω轴上：
在原点：不在原点：2
11222cos()()cos()()cos()()
k t t k t t k t t t βθεβ
βθεββθε→++→+??+??
++222B(s)
一阶极点：s B(s)二阶极点：s
3、极点在右半平面在正实轴上：不在实轴上：H(s)的零、极点与h(t)的关系：（1）零点影响h(t)的幅度、相位；极点决定h(t)的形式
a) 左半平面极点对应h(t)，随时间增加，是按指数函数规律衰减的；
b) 虚轴上一阶极点对应h(t)是阶跃函数或正弦函数，二阶及二阶以上极点对应h(t)
是随时间增加而增大的；
c) 右半平面极点对应h(t)都是随时间增加按指数函数规律增加的。
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式 总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
信号与系统重点概念及公式总结： 第一章：概论 1.信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容） 2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 第二章：信号的复数表示： 1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。 常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部； 或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为 复数的辐角。（复平面） 2.欧拉公式： wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解 1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n = 如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21 21 2==≠=?? 则称集合F 为正交函数集 如果n i K i ,2,11 ==，则称F 为标准正交函数集。 如果F 中的函数为复数函数 条件变为：n i K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121 **==?≠=??? 其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。 3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。 如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ） ()∞<
信号与系统重要资料概念公式定理情况总结
信号与系统重点概念及公式总结： 第一章：概论 1.信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容） 2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 第二章：信号的复数表示： 1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。 常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部； 或C=|C|e j φ ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为 复数的辐角。（复平面） 2.欧拉公式： wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解 1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n Λ= 如果满足： n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i Λ2,1)(0)()(2 1 2 12 ==≠=? ? 则称集合F 为正交函数集 如果n i K i Λ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。 如果F 中的函数为复数函数 条件变为： n i K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i Λ2,1)()(0)()(2 1 2 1* *==?≠=?? ? 其中)(* t f i 为 )(t f i 的复共轭。 2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数
信号与系统常用公式
1 信号与系统常用公式 一、周期信号的傅里叶级数 1．三角函数形式的傅里叶级数：0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞ ==++∑，其中 01 011()t T t a f t dt T += ?，010112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=?，010112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=?。 2．指数形式的傅里叶级数：11()()jn t n f t F n e ωω∞ =-∞ =∑ ，其中0110 111()()t T jn t t F n f t e dt T ωω+-= ?。 二、傅里叶变换 1．傅氏正变换：()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞ --∞ ==? 2．傅氏逆变换：11()[()]()2j t f t F F F e d ωωωωπ ∞ --∞ ==? 3 1．拉氏正变换：0 ()[()]()st F s L f t f t e dt ∞ -==? 2．拉氏逆变换：11()[()]()2j st j f t L F s F s e ds j σσπ+∞ --∞ ==?
2 3 四、z 变换 1．z 正变换：0 ()[()]()k k X z Z x k x k z ∞ -===∑ 2．z 逆变换：111 ()[()]()2k C x k Z X z X z z dz j π--==? 3．z 变换的基本性质： 1．连续时间信号的卷积：121221()()()()()()f t f t f f t d f f t d ττττττ∞ ∞ -∞ -∞ *=-=-?? 2．离散时间信号的卷积：()()()()()()n n x k h k x n h k n h n x k n ∞ ∞ =-∞ =-∞ *=-=-∑∑ 3．卷积定理： （1）1212[()()]()()F f t f t F F ωω*=? （2）12121[()()]()()2F f t f t F F ωωπ?=* （3）1212[()()]()()L f t f t F s F s *=? （4）12121[()()]()()2L f t f t F s F s j π?=* （5）[()()]()()Z x k h k X z H z *= （6）1 [()()]()()2C z dv Z x k h k X v H j v v π?=?
信号与系统知识点
第1章 信号与系统分析导论 北京交通大学 1、 信号的描述及分类 周期信号： ()000002sin ,sin ,2t T m k N π ωωπ=ΩΩ=当为不可约的有理数时，为周期信号 能量信号：直流信号和周期信号都是功率信号。 一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但有少数信号既不是能量信号 也不是功率信号。 2、 系统的描述及分类 线性： 叠加性、均匀性 时不变：输出和输入产生相同的延时 因果性：输出不超前输入 稳定性：有界输入有界输出 3、 信号与系统分析概述 ※ 第2章 信号的时域分析 信号的分析就是信号的表达。 1、 基本连续信号的定义、性质、相互关系及应用 ()t δ的性质：筛选特性：000()()()()x t t t x t t t δδ-=- 取样特性：00()()d ()x t t t t x t δ∞ -∞-=? 展缩特性：1 ()() (0)t t δαδαα=≠ ()'t δ的性质：筛选特性：00000()'()()'()'()()x t t t x t t t x t t t δδδ-=--- 取样特性：00()'()d '()x t t t t x t δ∞ -∞-=-? 展缩特性：1'()'() (0)t t δαδααα= ≠ 2、连续信号的基本运算 翻转、平移、展缩、相加、相乘、微分、积分、卷积
3、基本离散信号 4、离散信号的基本运算 翻转、位移、抽取和内插、相加、相乘、差分、求和、卷积 5、确定信号的时域分解 直流分量+交流分量、奇分量+偶分量、实部分量+虚部分量、()[],t k δδ的线性组合。 第3章 系统的时域分析 1、系统的时域描述 连续LTI 系统：线性常系数微分方程 ()()y t x t 与之间的约束关系 离散LTI 系统：线性常系数差分方程 [][]y k x k 与之间的约束关系 2、 系统响应的经典求解（一般了解） 衬托后面方法的优越 纯数学方法 全解=通解+特解 3、 系统响应的卷积方法求解 ()zi y t ：零输入响应，形式取决于微分方程的特征根。 ()zs y t ：零状态响应，形式取决于微分方程的特征根及外部输入()x t 。 ()h t ：冲激平衡法（微分方程右边阶次低于左边阶次，则()h t 中不含有()t δ及其导数项） （一般了解） []h k ：等效初始条件法（一般了解） 4、 ※卷积计算及其性质 ※图形法 ※解析法 等宽/不等宽矩形信号卷积 卷积的基本公式及其性质（交换律、结合律、分配律） ※第4章 信号的频域分析 1、连续周期信号表达为虚指数信号()0jn t e t ω-∞<<∞的线性组合 0=()jn t n n x t C e ω∞-∞= ∑% 完备性、唯一性 ()n x t C ?%（周期信号的频谱）000001 ()T t jn t n t C x t e dt T ω+-=?%
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公 式总结 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
信号与系统重点概念及公式总结： 第一章：概论 1.信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容） 2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 第二章：信号的复数表示： 1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。 常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部； 或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复 数的辐角。（复平面） 2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解 1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n = 如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(2 1 21 2==≠=?? 则称集合F 为正交函数集 如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。 如果F 中的函数为复数函数 条件变为：n i K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(21 21* * ==?≠=???
其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。 3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。 如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ） ()∞<
信号与系统知识点总结
ε(k )*ε(k ) = (k+1)ε(k ) f (k)*δ(k) = f (k) ， f (k)*δ(k – k0) = f (k – k0) f (k)*ε(k) = f 1(k – k1)* f 2(k – k2) = f (k – k1 – k2) ?[f 1(k)* f 2(k)] = ?f 1(k)* f 2(k) = f 1(k)* ?f 2(k) f1(t)*f2(t) = f(t) 时域分析: 以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和,即 而任意信号作用下的零状态响应yzs(t) yzs (t) = h (t)*f (t) 用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。 学习3种变换域：频域、复频域、z 变换 ⑴ 频域：傅里叶表变换，t →ω；对象连续信号 ⑵ 复频域：拉普拉斯变换，t →s ；对象连续信号 ⑶ z 域：z 变换，k →z ；对象离散序列 设f (t)=f(t+mT)----周期信号、m 、T 、 Ω=2π/T 满足狄里赫利Dirichlet 条件，可分解为如下三角级数—— 称为f (t)的傅里叶级数 注意： an 是n 的偶函数， bn 是n 的奇函数 式中，A 0 = a 0 可见：A n 是n 的偶函数， ?n 是n 的奇函数。a n = A ncos ?n ， b n = –A nsin ?n ，n =1,2,… 傅里叶级数的指数形式 虚指数函数集{ej n Ωt ，n =0，±1，±2，…} 系数F n 称为复傅里叶系数 欧拉公式 cos x =(ej x + e –j x )/2 sin x =(ej x - e –j x )/2j 傅里叶系数之间关系 n 的偶函数：a n ， A n ， |F n | n 的奇函数: b n ，?n 常用函数的傅里叶变换 1.矩形脉冲 (门函数） 记为g τ(t) ? ∞ ∞--=ττδτd )()()(t f t f ∑ ∑∞=∞ =Ω+Ω+=1 10)sin()cos(2)(n n n n t n b t n a a t f ∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A A t f ?2 2n n n b a A +=n n n a b arctan -=? e )(j t n n n F t f Ω∞-∞ =∑= d e )(122 j ?-Ω-=T T t n n t t f T F )j (21e 21e j n n n j n n b a A F F n n -===??n n n n A b a F 212122=+=??? ??-=n n n a b arctan ?n n n A a ?cos =n n n A b ?sin -=
信号与系统常用公式
常用 公式 第一章 判断周期信号方法 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。 2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβ πβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时 正弦序列仍具有周期性， 其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时 正弦序列不具有周期性， 1、连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。 2、两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。 信号的能量 def 2 ()E f t dt +∞ -∞=? 信号的平均功率 def 2 /2 /2 1lim ()T T T P f t dt T +-→∞=? 冲激函数的特性 '''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ= ()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞ -∞ =? ()()()f t t a dt f a δ∞ -∞ -=? ()()11()()n n n at t a a δδ= g 001 ()()t at t t a a δδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=- ()()()()(1)(0)n n n t f t dt f δ∞ ∞ =-? - ''()()(0)t f t dt f δ∞ ∞ =-?- 动态系统是线性系统的条件 可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x ?=?+?=?+???????? 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=?+????????????? 零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+???????????? 判断系统时不变、因果、稳定的方法。 线性时不变的微分和积分特性。 第二章
吴大正信号系统总结
第一章 计算信号的周期P5 看P5中间一段关于周期计算的文字说明 P6页记住欧拉公式1.2-9 会判断是能量信号还是功率信号，或者是非功率非能信号（P7） 记住能量公式（1-2-14），功率公式（1-2-15） 会信号的基本运算，压缩，平移，反转。（考研画图题）会做P11例题1.3-2 P12-P22单位冲激函数和阶跃函数，定义，性质。P16不看 必须记住公式1.4-5, 1.4-6，1.4-7 1.4-8，1.4-9a和1.4-9b;取样性质的1.4-11. P17到P19公式都记住p20公式1.4-36, 1.4-37a, 1.4-37b, 1.4-38和1.4-39 特别是记住单位冲激偶函数的性质。 系统的分类。 1) 时变系统与非时变系统。 2）线性非线性判断。（奇次性，叠加性，线性） 3）线性动态系统的分解性，零输入线性，零状态线性 4）因果系统判断 5）稳定性判断 由系统模拟框图会写微分或者差分方程 第二章 1、P42微分方程的经典解中怎么区分齐次解和特解，区分自由响应和强迫响应 2、P49 与的求解会例题2.1-3 3、时域法零输入和零状态的求解 4、P52冲激响应和阶跃响应 5、P60 图解法求卷积积分（知道其步骤和方法）。卷积的函数式计算参考例题2.3-2 6、卷积的性质。特别是含有冲激函数的。P69 公式2.4-4 ，2.4-5 ，2.4-6 ，2.4-7，2.4-8 做例题2.4-2 7、卷积的微分和积分性质 P75以后的相关函数不看 第三章 1、P86的经典解法零输入和零状态的解法做下面对应的例题 记住公式3.1-26和3.1-30 会区分自由响应和强迫响应注意与零输入和零状态的区别，齐次解和特解 单位序列和序列响应，考试必考p95 2、阶跃响应 3、P101两个卷积和 例题3.3-1要会做 卷结和性质要会 3.4反卷积不考不用看 第四章（考研重点章节） 1 P120会求傅里叶级数。记住P121的公式