放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩 例1.(1)求∑
=-n
k k 121
42的值; (2)求证:35112
<∑
=n
k k
. 解析:(1)因为121121)12)(12(2142
2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n
k (2)因为
??? ??+--=-=-
<1211212144
4
11
1
222
n n n n n ,所以35321121121513121112=+
k 技巧积累:(1)??? ??+--=-<=1211212144441222
n n n n n (2))
1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1
11)1(1!11)!(!!11≥--=-<
=+r r r r r r n r n r n n
C T r
r r n r (4)1111
(1)1132132(1)
n n n n +<++++
+
(5)n
n n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+22
1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n
n n (8) n n n n n n n 2)32(1
2)12(12
13211221
?+-?+=????
??+-+-
(9)
?
?
? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)2
1
212121222)1212(21-++=
-++=--+ 21 121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 1 11)1(1)1(1)1)(1(1112 3 --+????? ??+--=+-< ?=n n n n n n n n n n n n 1 11121 11111+--<-++??? ? ??+--=n n n n n n n (13) 3 212132122)12(332)13(2221 n n n n n n n n n <-?>-?>-?>?-=?=+ (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112 2 2 22 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 1.(1)求证:)2()12(21 67) 12(1513 112 22≥-->-+ +++n n n (2)求证:n n 412 14136 116 14 12-<++++ (3)求证: 1122642) 12(531642531423121-+ n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 2. 3 5191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 3.已知n n n a 24-=,n n n a a a T +++= 212,求证:23321<++++n T T T T . 二、函数放缩 )0(ln x 1><+x x ）（ x x 1 1ln ->(x>1) x x x x x 11ln 1ln -≤?-≤. (x>1) 例.求证: n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 解析:提示:2ln 1 ln 1ln 1211ln )1ln(++-++=??-?+=+ n n n n n n n n n 2.求证:e n <+??++)! 1 1()! 311)(! 211( 和e n <+??++)3 11()81 11)(9 11(2 . 三、分式放缩 姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和 )0,0(>>>++ a m b a b 记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例 姐妹不等式:12)121 1()5 11)(3 11)(11(+>-+ +++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n 解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-??122563412n n =+??n n 212674523 )12(212654321+?-??n n n ?12)1 22563412(2 +>-?? n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-+ +++n n 1.证明:.13)2 31 1()711)(4 11)(11(3+>-+ +++n n 四、分类放缩 例。.求证:2 1 21 3 12 11n n >-++++ 1.求证：n n +≤+??+++≤+ 2 121312112n 1 五、二项放缩 n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,121 0+=+≥n C C n n n , 2 222210++= ++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n )2(1x 1≥+>+n nx n ）（ 例. 已知112111,(1).2n n n a a a n n +==+++证明2 n a e < 解析: ?-+-+ ≤+) 1(1 ))1(11(1n n a n n a n n ?+-+ ≤++)1)()1(11(11n n a n n a .)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 11 1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 112<-<+-+?-<+-+?∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <- 1.a>0,b>0,c>0,)3(,a 222≥>+=+n c b a c b n n n 求证：已知 2.已知a +b =1,a >0,b >0,求证：.12n n n b a -≥+ 练习： 1 .)2(2 1 2)1n 211()511)(311(≥+>-+ ??++n n 2.)1(n 131211>>??+++ n n 3.(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足11S >，且 *),2)(1(6N n a a S n n n ∈++= （1）求{n a }的通项公式；(5分) （2）设数列{n b }满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和， 求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+. (7分) 4.已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线 n l ， 切点为(,)n n n P x y ． （１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （２）证明：13521n n n x x x x x y -????< < 5. (本小题满分12分) 设数列n a 满足1 1 110, 1.11n n a a a 且 (Ⅰ)求n a 的通项公式； (Ⅱ)设1 1 ,n n a b n 记1 n n k k S b ，证明： 1.n S 6.已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+． （Ⅰ）求lim n n n a S →∞； （Ⅱ）证明：12 222312n n a a a n +++…＞． 7.20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足： 112 3(1)0,2 n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==． （Ⅰ）求345,,a a a 的值； （Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列； （Ⅲ）设* 242,,k k S a a a k N =++???+∈证明：4*17 ()6n k k k S n N a =<∈∑ ． 8.