中考数学必考几何模型：角平分线四大模型
角平分线四大模型
模型 1 角平分线的点向两边作垂线
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口
模型实例
（1）如图①，在△ ABC 中，∠ C＝90°，AD 平分∠ CAB ，BC ＝6,BD ＝4,那么点 D 到直线AB 的距离是
解答：如图，过点 D 作DE⊥AB 于点E，∵AD 平分∠ CAB, ∴CD＝DE.
∵ CB ＝6,BD ＝4,∴ DE＝CD ＝2，即点 D 到直线AB 的距离是 2.
2）如图②，∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，求证：AP 平分∠ BAC
证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，
∵∠ 1＝∠ 2，∴ PD＝PE,∵∠ 3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF
如图，P是∠MON 的平分线上一点，过点P作PA⊥OM 于点A，
又∵ PD ⊥AB ，PF⊥AC ，∴ AP 平分∠ BAC （角平分线的判定）
练习
1、如图，在四边形ABCD 中，BC>AB，AD＝DC,BD 平分∠ ABC ，
求证：∠ BAD ＋∠ BCD ＝180°
证明：作DE⊥BC 于E，作DF⊥BA 的延长线于F，∴∠ F＝∠ DEC ＝90°, ∵BD平分∠
ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△ DFA ≌DEC,∴∠ FAD ＝∠ C ∵∠ FAD ＋∠ BAD ＝180°，∴∠ BAD ＋∠ BCD ＝180°
2. 如图，△ABC 的外角∠ ACD ∠的平分线CP与内角∠ ABC 的平分线BP相交于点P，若∠ BPC＝40°，则∠CAP ＝.
解答：如图所示，作PN⊥BD 于N，作PF⊥ BA ，交BA 延长线于F，作PM⊥ AC 于M ∵ BP、CP 分别是∠ CBA 和∠DCA 的角平分线，∴∠ ABP ＝∠ CBP,∠DCP＝∠ ACP，PF＝PN＝PM，∵∠ BAC ＝∠ ACD －∠ ABC ，∠ BPC＝∠ PCD－∠ PBC(外角性质) ∴∠BAC ＝2∠PCD－2∠PBC＝
2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°
∴∠ CAF ＝180°－∠ BAC ＝100°，∵ PF＝PM
∴AP 是∠FAC 的角平分线，∴∠ CAP＝∠ PAF＝50°
模型 2 截取构造对称全等
如图，P是∠ MON 的平分线上的一点，点 A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB＝OA,连接
PB，则△ OPB≌△ OPA
模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧
模型实例
（1）如图①所示，在△ ABC 中，AD 是△BAC 的外角平分线，P是AD 上异于点 A 的任意一点，试比较PB＋PC 与AB＋AC 的大小，并说明理由
解题：PB+PC >AB+AC
证明：在BA 的延长线上取点E, 使AE＝AB,连接PE，∵ AD 平分∠ CAE
∴∠CAD ＝∠ EAD ，在△ AEP 与△ACP 中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠ EAD,
AP＝AP，∴△ AEP≌△ ACP （SAS），∴ PE＝PC
∵在△PBE 中：PB+PE> BE,BE ＝AB+AE ＝AB+AC ，∴ PB+PC> AB+AC
（2）如图②所示，AD 是△ABC 的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB 与AC－AB 的大小，并说明理由
解答：AC-AB>PC-PB
证明:在△ ABC 中, 在AC 上取一点E,使AE=AB ，∴ AC-AE=AB-AC=BE ∵AD 平分∠ BAC ，∴∠ EAP= ∠ BAP ，在△ AEP 和△ ACP 中
∴△ AEP ≌△ ABP (SAS) ，∴ PE=PB ，∵在△ CPE 中
CE>CP-PE ，∴ AC-AB>PC-PB
练习
1. 已知，在△ ABC 中，∠ A ＝2∠ B,CD 是∠ ACB 的平分线，AC＝16,AD＝8,
求线段BC 的长
解：如图在BC 边上截取CE＝AC，连结DE，在△ ACD 和△ECD 中
AC EC
ACD ECD
CD CD
∴△ ACD ≌△ ECD(SAS)
∴AD＝DE ，∠A＝∠ 1 ，∵∠ A＝2∠B，∴∠ 1＝2∠B，
∵∠ 1＝∠ B＋∠ EDB ，∴∠ B ＝∠ EDB ，
∴ EBB ＝ED ，∴EB＝DA ＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝24
2. 在△ABC 中，AB＝AC,∠A＝108°,BD 平分∠ ABC，求证：BC＝AB ＋CD
∴△ABD ≌△ EBD(SAS) ，∴∠ DEB ＝∠ A ＝108°，∴∠ DEC＝180°－108°＝72
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∵AB ＝AC ，∴∠ C＝∠ ABC ＝2(180 °－108 °)＝36°，∴∠ EDC＝72°，
∴∠ DEC ＝∠ EDC ，∴ CE＝CD ，∴ BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB＋CD
3. 如图所示，在△ ABC 中，∠ A＝100°,∠ABC ＝40°,BD 是∠ ABC 的平分线，延长BD 至E，使DE
证明：在CB 上取点F，使得BF＝AB,连结DF，∵ BD 平分∠ ABC ，BD＝BD ∴△ABD ≌△ FBD ，∴ DF ＝AD ＝DE, ∠ ADB ＝∠ FDB ，∴ BD 平分∠ ABC ∴∠ABD ＝20°,则∠ ADB ＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE
∠CDF＝180°－∠ ADB －∠ FDB ＝60°，∴∠ CDF ＝∠ CDE，在△ CDE和△ CDF 中
DE DF
CDF CDE
CD CD
∴△ CDE ≌CDF，∴ CE ＝CF，∴ BC＝BF＋FC＝AB＋CE
模型 3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠ MON 的平分线上一点，AP 丄OP于P点，延长AP 交ON 于点.B,则△ AOB 是等腰三角形.
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的" 三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.
模型实例
如图.己知等腰直角三角形ABC 中，∠ A=90°, AB=AC, BD 平分∠ ABC, C￡丄BD. 垂足为 E.求证：BD=2C￡.
解答：如图，延长CE、BA 交于点F,∵CE 丄BD 于E, ∠BAC=90° ，∴∠ BAD= ∠CED.
∴∠ ABD= ∠ACF.又∵ AB=AC, ∠BAD= ∠CAF=90° , ∴△ ABD ≌△ ACF. ∴ BD=CF. ∵BD 平分∠ ABC, ∴∠ CBE= ∠ FBE. 又BE=BE, ∴△ BCE ≌△ BFE.
∴ CE=EF. ∴ BD=2CE.
练习
证明：延长AD 交BC于F,∵AD⊥BE, ∴∠ ADB= ∠ BDF=90° , ∵∠ ABD= ∠FBD,
∴ ∠2=∠BFD. ∵∠ BFD=∠1+∠C,∴∠ 2=∠1+∠C.
2.如图.在△ ABC 中. ∠ABC=3∠C,AD 是∠BAC 的平分线, BE丄AD 于点 E.
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求证:BE 12(AC AB).
(2)证明:延长BE 交AC 于点 F.∵AD 为∠BAC 的角平分线,∴∠ BAD= ∠CAD.∵AE=AE, ∴∠ BAE= ∠ FAE,则△ AEB ≌△ AEF，∴ AB=AF, BE=EF, ∠ 2=∠ 3.∴ AC-AB=AC-AF=FC. ∵∠ ABC=3 ∠C,∴∠ 2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C
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即∠ 1=∠C ∴ BF=FO=2BE. ∴ BE FC AC AB
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模型 4 角平分线+ 平行线
模型分析
有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的
条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.
模型实例
解答下列问题：
(1)如图① .△ABC 中，EF∥BC,点 D 在EF 上,BD 、CD 分别平分∠ ABC 、∠ ACB.写出线段EF 与BE、
CF 有什么数量关系？