2019《高中数学专题题型分类大全》第一分册函数专题1函数的概念及解析式的一般构成
《高中数学专题题型分类大全》函数专题一____函数的概念及其解析式的一般构成
《必修1》函数专题
一、函数的概念及其解析式的一般构成
『知识与方法梳理』?
1.函数的概念：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，
使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一 确定的数f(x )和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.
相关词： （1）定义域： A ； （2）值域： {y | y =f(x ), x ∈ A } .
2.映射的概念：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集
合A 中的_任何一个_元素，在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的_对应_(包括集合A ，B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f)叫做集合A 到集合B 的映射，记作：“ f ：A →B ”．
3. 几种常见初等函数的解析式
函 数 解析式 参数 定义域 常函数 y = b b ∈R R 绝对值 y=a|x| a ≠0 R
反比例 y = k x
k ≠0 (- ∞, 0) ∪(0, +∞)
一次函数
y = a x + b a ≠0 R
二次函数
y = a x 2 + b x + c
a ≠0 R
y =a(x - h)2
+ k 顶点:（h,k) y = a(x -x 1)(x -x 2)
零点: x 1, x 2 指数函数 y = a x a ≠1,a>0 R 对数函数
y = log a x
a ≠1,a>0 (0,+∞) 幂函数
y = x α
α为正整数 R
α为负整数 (- ∞, 0) ∪(0, +∞)
α为正分数 [0, +∞) α为负分数
(0, +∞)
4.函数解析式的特殊构成：
（1）分段函数：定义域分成几段，每段解析式不同.
（2）复合函数：形如f[g(x )],内函数g(x )的函数值作为外函数f(x )的自变量
取值，计算外函数的值即为复合函数值.
（4）变换函数：经过平移或伸缩及对称等变换得到的函数.
（3）合成函数：由几个已知函数（初等或其复合与变换函数）通过加减乘
除等基本运算形成的函数.
（5）周期函数：存在非零常数T ，使得对函数定义域内的任意数x 都有
f(x +T)=f(x )成立.
5.解析式运算性质： （1）根式运算性质：
()n n a = a （n 为偶数时a ≥0,否则无意义）
； n
n a =?
??为偶数）为奇数）
n a n a ( ||( .(n ∈N*)
（2）分数指数幂与根式换算:（m,n ∈N*,n>1))
m n
a (a ≥0) = n a m ; m
n a -(a >0) = 1n a
m
. （3）指数式与对数式互化（a>0, a ≠1,b>0）：
a m
= b ? log a b=m （4）指数式运算性质（a>0, b>0） a r a s =a r+s (a r )s =a rs (ab)r = a r b r
a r a s =a r-s (a
b )r = a
r
b
r
（5）对数式运算性质（m,a,b>0,a,m ≠1,M>0, N>0）
log a （M ?N ）= log a M+log a N, log a M N =log a M - log a N, log m b
log m
a =log a b,
log a M n = n log a M , a log a M = M, log a 1= 0, log a a= 1.
6.常识知识与方法：
（1）分数指数幂的底：负数不能像正数那样定义分数指数幂
（否则会造成运算矛盾），.零只能定义正的分数指数幂。无理指数幂也如此。 （2）求定义域的常用经验：
①分式分母不为0; ②偶次根式下大于等于0；③真数大于0； ④底数大于0，不等于1；⑤0的0次幂没意义；⑥分段函数的定义域为各段并集; ⑦合成函数的定义域取交集；⑧复合函数的定义域：由外函数的定义域限制内函数的取值值域，进而确定内函数自变量的取值范围,此即复合函数的定义域.
（3）两种常见半周期(t)函数f(x )(周期为 T=2t )的等式条件.：
① f(x + t) = k - f(x )， (k ∈R)
② f(x + t) = ± k
f(x)
, (k ≠0)
（4）求函数解析式常用方法：
①求已知函数的解析式??
???
直接列等式法；直接求参数法；待定系数法.
②利用复合函数求未知函数的解析式??
???
配项法；
换元法；函数方程法.
『题型分类例析』?
（一）函数概念的理解与应用
1. 函数对应关系解析式的判断
■题型结构特征：判断对应关系解析式的合理性，或两种表示是否等价. ★判断识真☆ 给出下列四个对应：
①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝
1x ＋1
； ②A ＝{a |12a ∈N *}，B ＝{b |b ＝1
n ，n ∈N *}，对应关系f ：a →
b ，b ＝1
a
；
③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ；
④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．
其中是从A 到B 的映射的是___________．
【例题1】 下列函数中，表示同一函数的是（ ） A .y =5
x 5 与y =x 2
B. y = lne x 与y=e lnx
C.y =(x-1)(x+3)x-1 与y=x+3
D. y = x 0与y= 1x
2. 函数对应关系图像的判断
■题型结构特征：判断图像表示的对应关系的合理性.
【例题2】 若函数f(x)的定义域为M={x| -2≤x ≤2},值域
为N={y|0≤y ≤2}，则函数y=f(x)图象只可能是（ ）
〖类型题〗（一)
1. 下列对应：
①M ＝R ，N ＝N ＋，对应关系f ：“对集合M 中的元素，取
绝对值与N 中的元素对应”；
②M ＝{1，－1,2，－2}，N ＝{1,4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，
x ∈M ，y ∈N ；
③M ＝{三角形}，N ＝{x |x >0}，对应关系f ：“对M 中的三
角形求面积与N 中元素对应”． 是集合M 到集合N 上的函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个
2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1
x ＋1 B ．y ＝x 0和y ＝1
C ．f (x )＝x 2
和g (x )＝(x ＋1)2
D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x
(x )2
3. 已知函数f (x )＝|x －1|，则下列函数与f (x )相等的函数是( )
A ．g (x )＝|x 2－1|
|x ＋1|
B ．g (x )＝?????|x 2－1||x ＋1|，x ≠－1，2，x ＝－1
C ．g (x )＝???x －1，x ＞0，
1－x ，x ≤0
D ．g (x )＝x －1
4. a ，b 为实数，集合M ＝{b
a
，1}，N ＝{a ，0}，f ：x →2x 表示
把集合M 中的元素x 映射到集合N 中为2x ，则a ＋b ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．±2
（二）函数的定义域
1. 求函数定义域
■题型结构特征：已知函数解析式求其定义域.
【例题3】 函数f (x )＝1
2－|x |＋x 2－1＋(x －4)0的定义域为
__________.
※解法辩伪※ 1.已知函数f(x 2
– 3) = lg x 2
x 2 - 4
，求f(x)的定义域. 〖错解1〗只需lg x 2x 2 - 4 有意义，∴x 2
x 2 - 4
>0, ∴x 2 – 4 > 0, ∴x >
2或x < - 2.
〖错解2〗令x 2 – 3= t, 则x 2 = t + 3, ∴f(t) = lg t + 3
t - 1
, ∴f(x) =
lg x + 3x- 1 , ∴f(x)的定义域只需lg x + 3x- 1 意义，
∴x + 3x- 1
> 0, ∴x< - 3 或x > 1. 即f(x)的定义域为( - ∞, - 3)∪(1, +∞).
2.函数f(x + 2)的定义域为[ -1，2]，求函数f(x)的定义域. 〖错解〗因为函数f(x + 2)的定义域为[ -1，2]，所以 – 1 ≤ x + 2 ≤ 2, 则 – 3 ≤ x ≤ 0 ∴函数f(x)的定义域为[ - 3, 0].
2. 逆用函数定义域
■题型结构特征：已知函数定义域求解析式中相关参数.
【例题4】 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则实
数a 的取值范围为______________．
1. [2017山东理1]设函数y = 4 - x 2
的定义域为A ，函数y = ln(1 - x)的定义域为B, 则A ∩B = ( )
A.（1,2）
B.(1,2]
C.（-2,1）
D.[-2,1) 2. 若函数()1222
-=-+a
ax x
x f 定义域为R ，
则a 的取值范围是________．
3. 函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是 （ ） A.(,1)-∞- B ．(1,)+∞
C ．(1,1)(1,)-+∞
D ．(,)-∞+∞
4. [2014山东理3]函数1
)(log 1)(22-=
x x f 的定义域为( )
A.)
2
10(， B. (2,+∞)
C. ),2()2
1
0(+∞U ，
D. )2[]2
10(∞+，
，U
5. 已知函数y =
3
x - 1
kx 2
+ 4kx + 3
的定义域为R ，则k 的取值范围
是 .
6. 已知集合A ＝{x |x ≥4}，g (x )＝1
1－x ＋a
的定义域为B ，若
A ∩
B ＝?，则实数a 的取值范围是________．
7. （1）若f(x)的定义域为[-1,1]，则f(2x –1)的定义域是 . （2）若f(x + 1)的定义域为[-1, 1]，则f(2x )的定义域是 . （3）若f(x + 3)的定义域为[-5, -2]，则f(x + 1) + f(x – 1)的定义域.
2 -2 x
y O
A 2 -2 x
y O B 2 y 2
-2 x O
C 2 2 -2 x
y O
D
2
8. 22()lg x
x f x +-=，则22()()x x
f f +的定义域为 .
（三）函数式的运算与求值
1. 根式及分数指数幂的运算
■题型结构特征：含有根式或分数指数幂式子的运算问题. ★判断识真☆
下列根式中分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A.1
2()x x -=- B.1
3
26y y =
C .34
341()x x
-=
D.13
3x
x -=-(x ≠0)
2. 指数式的运算
■题型结构特征：含有指数式的运算问题.
【例题5】 设f(x )= 4x
4x + 2，若0 (1) 求f(a) + f(1 – a)的值； (2) 求f(12016) + f(22016) + f(32016) + ? ? ? + f(2015 2016)的 值. 3. 对数式的运算 ■题型结构特征：含有对数式的运算问题. ※解法辩伪※ 已知lg x +lg y = 2lg(x –2y ), 求lg 2x y 的值. 〖错解〗由已知得lg(xy ) = lg(x – 2y )2, ∴xy = (x – 2y )2, 即 x 2 – 5xy + 4y 2 = 0,解得 x = y 或 x = 4y ，故log 2 x y = 0 或 log 2 x y = 2. 【例题6】 已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-， 证明：（1）()()f x f x -=-； （2）2 2( )2()1 x f f x x =+. 4. 指数与对数式的混合运算 ■题型结构特征：同时含有指数式与对数式相关的运算问题. ★判断识真☆ 已知y x ,为正实数，则（ ） A.y x y x lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg ) lg(222 ?=+ C .y x y x lg lg lg lg 222+=? D.y x xy lg lg )lg(222?= 【例题7】 [2016浙江高考] 已知a >b >1.若log a b +log b a =52 ， a b =b a ，则a = ，b = . 5. 抽象函数值的计算问题 ■题型结构特征：没有解析式，但常常给出函数具有的某种性质(如恒等关系式)等已知条件，进而求函数值. 【例题8】 已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，对任意 x >0，y >0都有f (x y )＝f (x )－f (y )．若f (3)＝1，则f (9)＝____． 〖类型题〗（三) 1. （2015浙江理12）若2log 3a =，则22a a -+= ． 2. [2015陕西文10]设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =， ( )2a b q f +=，1 (()())2 r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q => 3. 设25a b m ==，且112a b +=，则m = ( ) A.10 B.10 C.20 D.100 4. 下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x 5. [2014四川文7]已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（ ） A.d ac = B.a cd = C.c ad = D.d a c =+ 6. 对于函数()lg f x x =定义域中任意12,x x 12()x x ≠有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=+；②1212()()()f x x f x f x ?=+；③1212 ()()0 f x f x x x ->-； ④1212()()()22x x f x f x f ++<.上述结论中正确结论的序号是 ( ) A ．② B ．②③ C ．②③④ D ．①②③④ （四）反函数 1. 求反函数解析式 ■题型结构特征：判断或求反函数. ★判断识真☆ 函数)(21R x y x ∈=+的反函数是 A. )0(log 12>+=x x y B. )1)(1(log 2>-=x x y C. )0(log 12>+-=x x y D. ) 1)(1(log 2->+=x x y 【例题9】 [2016上海文]已知点(3,9)在函数f(x) = 1 + a x 的 图像上，则f(x)的反函数f - 1 (x) = . 【例题10】 [2014全国大纲12]函数()y f x =的图象与函数 ()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ） A ．y=g(x) B ．y=g(-x ） C ．y= - g(x) D ．y= - g(- x) ※解法辩伪※ 函数f(x )=x 3+1的反函数f -1(x )=_________. 〖错答〗13 (1)x - 〖错解〗由y ＝x 3+1，得x ＝31-y 1 3(1)y =-, 将y 改成x ，x 改成y 可得答案. 2. 利用反函数计算 ■题型结构特征：利用反函数关系求值或解参数. 【例题11】 [2017上海8] 定义在（0，+∞）上的函数y = f(x) 的反函数为y = f - 1(x)，若31,0()(),0x x g x f x x ?-≤? =?>??为奇函数，则 f - 1(x) = 2的解为 〖类型题〗（四) 1. 函数3ln(1)(1)y x x =+>-的反函数是（ ） A ．3(1)(1)x y e x =->- B ．3(1)(1)x y e x =->- C ．3(1)()x y e x R =-∈ D ．3(1)()x y e x R =-∈ 2. 若函数y=f(x)是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点(,)a a ，则f(x)=（ ） A. 2log x B. 1 2 log x C. 12x D. 2x 3. （2015上海文4）设f -1(x)为f(x)= x 2x+1 的反函数，则 f -1(2)= . （五）分段函数 1. 分段函数求值 ■题型结构特征：无参分段求值. 【例题12】 [2015新课标2]函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+- 则2(2)(log 12)f f -+=( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2. 分段函数求参 ■题型结构特征：分段式含参或分段点含参或等式含参.确定参 数值. 【例题13】 已知函数f (x )＝??? 1－x ，x ≤0， a x ，x >0， 若f (1)＝f (-1)， 则实数a 的值等于( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【例题14】 已知实数a ≠0，函数2,1 ()2,1 x a x f x x a x + f (1-a )=f (1+a )，则a 的值为 . 3. 分段函数求解析式 ■题型结构特征：已知某段函数求未知段函数. 【例题15】 定义在R 上的函数f(x )满足f(x +1)=2f(x ).若当 0≤x ≤1时.f(x )= x (1-x )，则当-1≤x ≤0时，f(x ) =__________. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ※解法辩伪※ 已知奇函数f(x)，当x>0时，f(x) = x 2 + 2x,求x<0时f(x)的解析式. 〖错解〗∵f(x)是奇函数，∴f(-x) = - f(x),∴当x<0时，f(x) = -(x 2 + 2x). 4. 解分段函数不等式 ■题型结构特征：无参分段求值. ※解法辩伪※ 函数2 x 0, ()|-1| 0 x x f x x x ?-≥=? 〖错解〗由x 2 - x<2解得 - 1 综上不等式f(x)<2的解为-1 【例题16】 设函数()?? ???≥-<+=0,0 ,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实 数a 的取值范围是 . 【例题17】 [2017全国新课标3文16]设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?，， ，， 则满足f(x) + f(x - 1 2 ) > 1的x 的取值范围是__________. 5. 分段函数的零点 ■题型结构特征：考察分段函数的零点问题，或由零点的存在 性判断参数的取值. 【例题18】 已知函数()()2 2, 2,2,2,x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b ∈R ，若函数y=f(x) - g(x) 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.(74 ,+∞) B.(-∞,74) C.(0, 74) D.(7 4, 2) 6. 分段函数的单调性 ■题型结构特征：分段函数与单调性的综合. 【例题19】 已知函数f （x ）=?? ?>≤--. 1,log 1,1)2(x x ， x x a a 若f （x ） 在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为________. 【例题20】 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数)，x ∈R ， F (x )＝???f （x ）（x >0）， －f （x ）（x <0）. (1)若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零？ 7. 分段函数的最值 ■题型结构特征：分段函数最值要分段考察. 【例题21】 [2015浙江理10]已知函数223,1 ()lg(1),1x x f x x x x ? +-≥?=??+ ， 则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 8. 绝对值分段函数 ■题型结构特征：由绝对值确定的分段函数. 【例题22】 已知f (x )＝x |x －a |＋b ，x ∈R. (1)当a ＝1，b ＝0时，判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当a ＝1，b ＝1时，若f (2x )＝5 4 ，求x 的值； (3)若b <0，且对任何x ∈[0，1]，不等式f (x )<0恒成立，求实数a 的取值范围． 〖类型题〗（五) 1. [2015新课标1文10]已知函数12 22,1 ()log (1),1x x f x x x -?-≤=?-+>? ，且 ()3f a =-，则(6)f a -=（ ） A.74- B.54 - C.34- D.14- 2. 设???+∞∈-∞∈=], ,[,), ,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为 _______. 3. [2014江西文4] 已知函数2,0 ()()2,0x x a x f x a R x -??≥=∈? ，若[(1)]1f f -=，则=a （ ） 1.4 A 1 .2B .1C .2D 4. 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x ) ＝????? ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2 x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ( 12 )＝f ( 3 2 ) ， 则a ＋3b 的值为________． 5. f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x ) = x 2 - 1，则当x ∈R 时，f(x ) = . 6. 函数)2()21() 1(22)(2 ≥<<--≤?? ? ??+=x x x x x x x f ，则________)23(=-f ，若21)( 7. [2014全国课标1文（15）]设函数()11 3,1, ,1, x e x f x x x -? 8. [2015 山东理10]设函数 f(x )=31,1, 2,1 x x x x - ≥?,则满足 ()()()2f a f f a =的a 取值范围是（） A.[,1] B.[0,1] C.[ D.[1, + 9. [2016 年山东]已知函数 2 ||, ()24,x x m f x x mx m x m ≤?=?-+>?，， 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_________. （六） 复合函数与合成函数 1. 复合函数的解析式与函数值计算 ■题型结构特征：形如f[g(x)]的函数，考察其解析式或求值. 【例题23】 已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝??? x －1， x >0， 2－x ， x <0， (1)求f [g (2)]与g [f (2)]． (2)求f [g (x )]与g [f (x )]的表达式． ★判断识真☆ 设f (x ),g (x ),h (x )是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数(f ○g )(x )和(f ●g )(x )；对任意x ∈R , (f ○g )(x )=f (g (x )); (f ●g )(x )=f (x )g (x )．则下列等式恒成立的是（ ） A ．((f ○g )●h )(x )=((f ●h )○(g ●h ))(x ) B ．((f ●g )○h )(x )=((f ○h )●(g ○h ))(x ) C ．((f ○g )○h )(x )=((f ○h )○(g ○h ))(x ) D ．((f ●g )●h )(x )=((f ●h )●(g ●h ))(x ) 2. 已知复合函数及其内函数求外函数 ■题型结构特征：已知f[g(x)]及g(x)的解析式，求f(x). ※解法辩伪※ 已知：11 )11(2 -=+x x f ，求f(x). 〖错解〗设x t 1 1+ =，则 11-=t x ，代入已知得 f(t) = 1 (1t - 1 )2 - 1= (t - 1)2 - 1 = t 2 - 2t ∴ x x x f 2)(2-= 【例题24】 已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1 x 2， 则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x ＋1 x (x ≠0) B ．f (x )＝x 2＋2 C ．f (x )＝x 2 D ．f (x )＝(x －1 x )2 (x ≠0) 高一数学必修一集合与函数的概念 第一章集合与函数概念 一：集合的含义与表示 1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 2、集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确 定的：属于或不属于。 (2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表示：{…} (1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} b、描述法： ①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {xR|x-3>2},{x|x-3>2} ②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)无限集：含有无限个元素的集合 (3)空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： (1)元素在集合里，则元素属于集合，即：aA (2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集 定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：(或BA) 注意：有两种可能(1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA (2).“包含”关系(2)—真子集 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 ⑴函数的定义 ①传统定义：在某一个变化的过程中，有两个变量兀和y,如果对于在某一个范围内的任意一个x 的值，都有唯一的值y与之对应，则称y是兀的函数。 ②现代定义：设A、B是两个非空数集，如杲按照某个确定的对应关系/,使对于集合A 屮任意一个数尢，在集合B屮都有唯一一个数/(x)和它对应，那么就称A T B为从集合A到集合B 中的一个函数，记作J =/(X)(XG A)其中兀叫做自变量，兀的取值集合A叫做函数的定义域；与兀的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{/(X)\XE A}叫做函数的值域。 ⑵函数的理解： ①A、B都是非空数集(也就是限定了范围)，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在 ②若y = f(x)是从集合A到集合B的函数，则应紧扣它的“任意性”和“唯一性”，即 “任意性”一一对于A中的任意一个数X；“唯一性”一一在集合B中的都有唯一的确定的数/(兀)和它对应(还应该注意它的方向性、确定性) ③在现代定义域中B不一定是，函数的值域，如函数y = x2+l可以称为实数集到实数集的函数。 ④对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可。英中对应关系是核心，定义域是根本，当 定义域和对应关系已经确定，则值域也就确定了。 探究：若y = f(x)是从A到B的函数，则集合A、B分别是函数的定义域与值域么？ A定是值域，B可以是也可以不是，若函数y = f(x)的值域为C,则C是B的非空子集 ⑶函数符号/(兀)的含义：/(兀)表示一个整体，一个函数。而记号“厂可以看做是对“兀” 施加的某种法则(或运算)，女U/(x) = x2-2x4-3 o当x = 2吋，课看做是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x是某个代数式(或某一个函数符号)时，则左右两边的x都有同一个代数式(或函数符号)代替，如/(X)=(2X-1)2-2(2X-1)+3, /(g(x)) = [gS)]2—2[gS)] + 3等等，/(a)与/(x) 的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。 例题： 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出100件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1 元其销售量就减少10件，则每天的销售利润是销售单价的函数吗？若是求它的定义域和对应法则若不是，则说明理由。 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤ 陕西省高中数学人教新课标A版必修1 第一章集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大 （小）值 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共15题；共30分) 1. （2分） (2019高一上·宁乡期中) 若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数 的图像只可能是（） A . B . C . D . 2. （2分）已知y=f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，与g（x）图象关于x=1对称，当x∈[2，3]时，g （x）=2a（x﹣2）﹣3（x﹣2）2 ， a为常数，若f（x）的最大值为12，则a=（） A . 3 B . 6 C . 6或 D . 3. （2分） (2019高一上·兰州期中) 已知函数（是常数，且）在区间 上有最大值3，最小值，则的值是（） A . B . C . D . 4. （2分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A . y=﹣3|x| B . y= C . y=log3x2 D . y=x﹣x2 5. （2分）已知f(x)是定义在上的非负可导函数,且满足.对任意正数a,b,若a C . D . 7. （2分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（） A . 0＜a≤3 B . a≥2 C . 2≤a≤3 D . 0＜a≤2或a≥3 8. （2分）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则（） A . B . C . D . 9. （2分） (2016高一上·杭州期中) 下列函数中，值域为（0，+∞）的是（） A . y= B . C . D . y=x2+x+1 10. （2分） (2019高一上·杭州期中) 下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的是（） A . 【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与函数概念 新人教版必修1 1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义 目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中 元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用. 自 主 预 习 1.元素与集合的相关概念 . 统称为元素研究对象我们把，元素：一般地(1) . 组成的总体叫做集合一些元素把集合：(2) . 、无序性互异性、确定性集合中元素的三个特性：(3) . 我们称这两个集合是相等的，一样的集合的相等：构成两集合的元素是(4) 2.元素与集合的表示 . 表示集合中的元素…，c ，b ，a 元素的表示：通常用小写拉丁字母(1) . 表示集合…，C ，B ，A 集合的表示：通常用大写拉丁字母(2) 3.元素与集合的关系 .A ∈a 记作，A 属于集合a 就说，的元素A 是集合a ：如果”属于(1)“ . A ?a 记作，A 不属于集合a 就说，的元素A 不是集合a ：如果”不属于(2)“ 4.常用数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N * 或 N ＋ Z Q R 即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( ) (2)一个集合可以表示成{a ，a ，b ，c ，}.( ) (3)若集合A 是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A 中的元素.( ) 提示 (1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确. (2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错 误. (3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确. 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体 著名的数学家.其中能构成集合的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合. 课题：§1.2.1函数的概念 教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段 更注重函数模型化的思想． 教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关 系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程： 一、引入课题 1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例： 我国2003年4月份非典疫情统计： 3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关 系． 二、新课教学 （一）函数的有关概念 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P20例1 解：（略） 说明： ○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； ○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数 课本P21例2 解：（略） 说明： ○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆ 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：{a,b,c ……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集 B A ?? /?/ 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 1．已知R 是实数集，21x x ?? M =.则满足(21)f x -＜1 ()3 f 的x 取值范围是( ) 6．已知 上恒成立，则实数a 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 7．函数2 5 ---= a x x y 在（－1，＋∞）上单调递增，则a 的取值范围是 A ．3-=a B ．3f （2x ）的x 的取值 范围是________.高一数学必修一集合与函数的概念
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
函数的基本概念梳理以及题型.doc
高中数学必修一函数的概念知识点总结
陕西省高中数学人教新课标A版必修1第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值
(浙江专用)高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修1
人教A版高中数学必修一函数的概念
必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结
高一数学必修一函数概念表示及函数性质练习题(含答案)(优选.)
函数的概念及其表示方法知识点及题型总结
相关文档
- 3.1.1(第一课时)函数的概念-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
- 人教版高一数学必修1集合与函数概念教案1
- 高一数学必修一函数知识点总结
- 高一数学必修一三角函数的概念及公式
- 北师大版高中数学必修1《函数的概念》教案
- 高一数学必修一1.2.1函数的概念
- 新人教版高中数学必修一函数的概念
- 高中数学必修一函数概念定义域值域教学方案
- 《高一数学必修1》函数的概念、定义域、值域练习题(含答案)
- 数学必修1函数概念及性质(知识点总结)
- 人教A版高中数学必修第一册《函数的概念及其表示》1PPT
- 高中数学必修一函数的概念知识点总结
- 新人教版高中数学必修一函数的概念页PPT
- 人教A版数学必修一《函数的概念》课件
- 高中数学《函数的概念》教案 新人教A版必修1
- 苏教版高中数学必修一函数的概念和图象教案
- 高一数学必修一函数及其表示-函数的概念
- [高一数学]必修1数学-函数概念
- 高一数学必修一函数及其表示-函数的概念
- ..(第一课时)函数的概念-【新教材】人教A版()高中数学必修第一册课件