人教版七年级数学上册第四单元角复习讲义

2017年人教版七年级下册数学总复习讲义

第五章相交线与平行线 1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。 3、两条直线被第三条直线所截： 同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧） 内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧） 同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧） 4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足 6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 7、垂线段最短。 8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 10、平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。 11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 12、平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________ 14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 15、命题：判断一件事情的语句叫命题。 命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。 命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。 用尺规作线段和角 1．关于尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 2．关于尺规的功能 直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。 圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。 第六章实数

七年级下册数学讲义

目录 第一讲同底数幂的乘法 (1) 第二讲幂的乘方与积的乘方 (5) 第三讲同底数幂的除法 (9) 第四讲整式的乘法 (13) 第五讲平方差公式（1） (18) 第六讲平方差公式（2） (22) 第七讲完全平方式(1) (26) 第八讲完全平方式(2) (29) 第九讲整式的除法 (33) 第十讲单元测试 (37) 第十一讲两条直线的位置关系 (41) 第十二讲平行线的性质 (47) 第十三讲平行线的判定(1) (52) 第十四讲平行线的判定(2) (57) 第十五讲本章复习 (61) 第十六讲用表格表示的变量间关系 (66) 第十七讲用关系式表示的变量间关系 (70)

第一讲 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法性质：a m ? a n = a m +n (其中 m , n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变， 指数相加. ? 1 ?3 ? 1 ?4 例 1. 计算： （1） - ? ? 2 ? ? - ? ? 2 ? （2） a 2 ? a ? a 7 （3） - a 2 ? (- a )3 （4） 32 ? 27 ? 81 2. 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. 例 2. 计算： (1)(x - 2 y )2 (2 y - x ) 3 (2)(a - b - c )(b + c - a )2 (c - a + b )3 3. 三个或三个以上同底数幂相乘时， 也具有这一性质， 即 a m ? a n ? a p = a m +n + p （ m , n , p 都是正整数）. 例 3. 计算： （1） (- 2)2 ? (- 2)3 ? (- 2) = ； （2） a ? a 3 ? a 5 = ； （3） (a + b )(a + b )m (a + b )n = ； （4） a 4n a n +3 a = ； 4. 逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同， 它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 a m +n = a m ? a n （ m , n 都是正整数）. 例 4. 已知 a m = 2, a n = 3 ，求下列各式的值。 （1） a m +1 （2） a 3+n （3） a m +n +3 1 知识点梳理

【精品讲义】七年级上册数学 角

xx一对一辅导讲义 学生姓名年级七年级科目数学 授课教师上课时间年月日课时2h 教学课题角的计算和证明 教学目标 1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题． 教学重点 与难点 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题． 教学过程 考点一、角的概念 1．角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． 图1 图2

（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2. 角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3. 角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角（牢记三角板角度）． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 考点二、角的比较与运算 1. 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的1 60 为1分，记作“1′”， 1′的1 60 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．

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第五章 相交线与平行线 1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。 3、两条直线被第三条直线所截： 同位角F （在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧） 内错角Z （在两条直线内部，位于第三条直线两侧） 同旁内角U （在两条直线内部，位于第三条直线同侧） 4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足 6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 7、垂线段最短。 8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 10、平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 12、平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________ 14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 15、命题：判断一件事情的语句叫命题。 命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。 命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。 用尺规作线段和角 1．关于尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 2．关于尺规的功能 直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。 圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。 第六章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数 （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等；

人教版七年级下册数学培优讲义(附答案)

第19讲相交线、平行线 知识理解 1．如果∠AOB＋∠DOE＝180°，∠AOB与∠BOC互为邻补角，那么∠DOE与∠BOC的关系是（）A．互为补角B．互补C．相等D．互余 2．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1、∠2、∠3的度数和是（） A．360°B．180°C．120°D．90° 3．如果两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角（） A．相等B．互补C．相等或互余D．相等或互补 4．下列语句事正确的有（） ①有公共顶点且相等的两个角是对顶角；②有公共顶点且互补的两个是邻补角；③对顶角的平分线 在同一直线上；④对顶角相等但不一定互补；⑤对顶角有公共的邻补角． A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列说法：①点与直线的位置关系有点在直线上和点在直线外两种；②直线与直线的位置关系的相交、垂直和平行三种，其中（） A．①②都对B．①对②错C．①错②对D．①②都错 6．下列图中的∠1和∠2不是同位角的是（） A B C D 7．已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，则图中表示A点到直线BC的距离的是（）A．线段BD的长B．线段AE的长C．线段AF的长D．线段AG的长 8．如图，不能判断AB∥DF的是（） A．∠2＋∠A＝180°B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠A D．∠1＝∠4

第7题图 第8题图 第9题图 9．如图，下列条件中能说明AB ∥CD 的是（ ） A ．∠1＝∠2 B ．∠3＝∠4 C ．∠BA D ＋∠ABC ＝180° D ．∠ABC ＝∠ADC ，∠1＝∠2 10．在下列条件下，不能得到互相垂直的直线是（ ） A ．邻补角的平分线所在直线 B ．平行线的同旁内角平分线所在直线 C ．两组对边分别平行，一组对边方向相同，另一组对边方向相反的两个角的平分线所在直线 D ．两组对边互相垂直的两角的平分线所在直线 11．如图，已知DE ⊥AB ，∠1＝∠2，∠AGH ＝∠B ，则下列结论： ①GH ∥BC ；②∠D ＝∠HGM ；③DE ∥FG ；④FG ⊥A B ．其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④ 12．（1）观察图①，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角． （2）观察图②，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角． （3）观察图③，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角． （4）若有n 条不同直线相交于一点，则可以形成 对对顶角， 对邻补角． H M

人教版七年级数学上册 角测试题

人教版七年级数学上册角测试题 一、填空题 1.如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是_______. 考查说明：本题考查余角和补角的概念和性质． 答案与解析：选D。两角成补角，和为180°，因此该角为180°-120°=60°，而两角成余角，和为90°，因此这个角的余角为30°． 2.在8：30时，时钟的时针与分针的夹角为__________ 度． 考查说明：本题考查本题考查钟表时针与分针的夹角． 答案与解析：75。在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟转动6°，时针每小时转动30°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．8：30时，时钟的时针与分针的夹角是8.5×30°-6°×30=75度． 3.计算：33°52′+21°54′= ______________ 考查说明：本题考查度、分、秒的换算． 答案与解析：55°46′.两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度．33°52′+21°54′=54°106′=55°46′． 4.如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB= ______________

考查说明：本题考查角的计算． 答案与解析：180°。因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解． 设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°-a， 所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°-a=180°． 5.如图，在锐角内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；……照此规律，画10条不同射线，可得锐角个． 考查说明：本题考查射线的概念及规律探索． 答案与解析：66. 这是一道规律探索题,根据给出的条件寻找规律 画射 线的 条数 3…n 锐 角 个 数 1 … 所以当n=10时, =66.

人教版七年级数学上册《角》

4．3 角 第1课时角 教学目标 1．理解角的概念，能用运动的观点理解角、平角、周角的概念． 2．掌握角的表示方法，会用不同方法表示同一个角． 3．认识角的度量单位度、分、秒，会进行简单的换算和角度计算． 教学重点 1．角的定义和用不同的方法表示一个角． 2．会进行角度的换算． 教学难点 角的表示方法．角度的换算． 教学设计(设计者：) 教学过程设计 一、创设情境明确目标 A．以前我们曾经认识过角，那你们能从这两个图形中指出哪些地方是角吗？ B．在我们的生活中存在着许许多多的角，一起看一看，你能从教室中常用的物品里找出角吗？ 二、自主学习指向目标 自学教材第132至133页，完成下列问题： 1．角的概念： (1)有公共端点的__两条射线__组成的图形叫做角，这个公共端点是角的__顶点__，这两条__射线__是角的两条边． (2)角也可以看作由一条射线绕它的端点__旋转__而形成的图形，旋转开始时的射线叫做角的__始边__，旋转终止时的射线叫做角的__终边__．

2．角的表示： 如图所示，把图中用数字表示的角，改用三个大写字母表示分别是__∠1＝∠ADE，∠2＝∠EDB，∠3＝∠CED，∠4＝∠ABC，∠5＝∠AED__． 可用一个大字写字母表示的角是__∠A，∠B，∠C__． 3．角的度量： (1)常用的角的度量单位有__度__、__分__、__秒__；1°＝__60__′，1′＝__60__″. (2)1周角＝__2__平角＝__4__直角＝__360__°. (3)把下列各题结果化成度． ①72°36′＝__72.6__°； ②37°14′24″＝__37.24__°. 三、合作探究达成目标 探究点一角的概念及表示方法 活动一：阅读教材第132页，思考： 1．举出生活中给我们以角的形象的例子． 2．什么是角？什么是角的边？请画图说明． 3．画图说明如何表示一个角． 4．如何从旋转的角度描述角？在旋转的过程中，有哪些特殊的角？ 5．如图所示，图中共有多少个角？能用一个字母表示的角有几个？把它们表示出来， 能用三个字母表示的角是： 能用一个字母表示的角是： 【展示点评】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角 的顶点，这两条射线是角的两条边． 【小组讨论】角有哪几种表示方法？应注意什么问题？ 【反思小结】角的表示方法有4种，分别是用三个大写字母，一个大写字母，一个数字，一个希腊字母．用三个大写字母表示角时，顶点写在中间；用一个大写字

人教版七年级数学下册期末复习(一)相交线与平行线讲义【精校】.doc

期末复习(一) 相交线与平行线 各个击破 命题点 1 命题 【例1】已知下列命题： ①若a＞0，b＞0，则a＋b＞0； ②若a≠b，则a2≠b2； ③两点之间，线段最短； ④同位角相等，两直线平行． 其中真命题的个数是(C) A．1个B．2个 C．3个D．4个 【思路点拨】命题①、③、④显然成立，对于命题②，当a＝2、b＝－2时，虽然有a≠b，但a2＝b2，所以②是假命题． 【方法归纳】要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．和命题有关的试题，多以选择题 的形式出现，以判断命题真假为主要题型． 1．下列语句不是命题的是(C) A．两直线平行，同位角相等 B．锐角都相等 C．画直线AB平行于CD D．所有质数都是奇数 2．(兴化三模)说明命题“x＞－4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x＝－3． 3．(日照期中)命题“同旁内角互补”的题设是两个角是两条直线被第三条直线所截得到的同旁内角，结论 是这两个角互补，这是一个假命题(填“真”或“假”)． 命题点 2 两直线相交 【例2】如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE. (1)判断OF与OD的位置关系； (2)若∠AOC∶∠AOD＝1∶5，求∠EOF的度数． 【思路点拨】(1)根据∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE，求得∠FOD＝90°，从而判断OF与OD的位置

关系． (2)根据∠AOC，∠AOD的度数比以及邻补角性质，求得∠AOC.然后利用对顶角性质得∠BOD的度数，从而得∠EOD的度数．最后利用∠FOD＝90°，求得∠EOF的度数． 【解答】(1)∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠EOF＝1 2 ∠AOE. 又∵∠DOE＝∠BOD＝1 2 ∠BOE， ∴∠DOE＋∠EOF＝1 2 (∠BOE＋∠AOE) ＝1 2 ×180°＝90°， 即∠FOD＝90°.∴OF⊥OD. (2)设∠AOC＝x°， ∵∠AOC∶∠AOD＝1∶5，∴∠AOD＝5x°. ∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴x＋5x＝180，解得x＝30. ∴∠DOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°. 又∵∠FOD＝90°，∴∠EOF＝90°－30°＝60°. 【方法归纳】求角的度数问题时，要善于从图形中挖掘隐含条件，如：邻补角、对顶角，然后结合 条件给出的角的和、差、倍、分等关系进行计算． 4．(梧州中考)如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠BOD.若∠BOC＝110°，则∠AON的度数为145°． 5．如图，直线AB，CD相交于点O，已知：∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数． 解：∵∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠AOC＝70°. ∵∠BOE∶∠EOD＝2∶3，

人教版初一数学下册同步精编讲义

第1讲相交线 知识点1 直线交点个数 1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线． 【典例】 1.观察下列平面图形： 第一个图2条直线相交，最多有1个交点；第二个图3条直线相交最多有3个交点；第三个图4条直线相交；最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_____________. 【方法总结】 根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律，根据规律，写出n条相交线交点最多的个数的表达式：1+2+3+4+5+…+（n﹣1），因为1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=，所以n条相交线交点最多的个数为，令n=30即可求出答案.

【随堂练习】 1．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则 ． 2．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？ 知识点2 邻补角与对顶角 邻补角 1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角. 2. 邻补角的模型： ∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角， 特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.

对顶角 1. 对顶角的模型： ∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角. 特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线. 2. 对顶角的性质：对顶角相等. 【典例】 1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分． （1）直接写出图中∠AOC的对顶角：__________，∠EOB的邻补角：______________; （2）若∠AOC=70°且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数． 【方法总结】 （1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数． 本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，牢记“对顶角相等”和“互为邻补角的两个角的和等于180°”是解题的关键．

部编版七年级上册数学角教案

七年级数学上册教案 吧 斗 Assistant teacher 为 梦 想 奋

4.4角的比较 1.会用度量法和叠合法比较两个角的大小. 2.理解角的平分线的定义，并能借助角的平分线的定义解决问题. 3.理解两个角的和、差、倍、分的意义，会进行角的运算. 一、情境导入 同学们，如图是我们生活中常用的剪刀模型，现在考考大家，剪刀张开的两个角哪个大呢？ 二、合作探究 探究点一：角的比较 在某工厂生产流水线上生产如图所示的工件，其中∠α称为工件的中心角，生产要求∠α的标准角度为30°±1°，一名质检员在检验时，手拿一量角器逐一测量∠α的度数.请你运用所学的知识分析一下，该名质检员采用的是哪种比较方法？你还能给该质检员设计更好的质检方法吗？请说说你的方法. 解析：角的比较方法有测量法和叠合法，其中测量法更具体，叠合更直观.在质检中，采用叠合法比较快捷. 解：该质检员采用的方法是测量法，还可以使用叠合法，即在工件中找出一个角度为31°和一个角度为29°的两个工件，然后可把几个工件夹在这两个工件中间，使顶点和一边重合，观察另一边的情况. 方法总结：此题主要考查了角的大小比较，解题的关键是掌握角的大小比较的方法. 探究点二：角度的有关计算 【类型一】利用角平分线进行角度的计算 如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC. （1）求∠EOD的度数； （2）若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数.

解析：（1）根据OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC 可知∠DOE ＝∠DOC ＋∠EOC ＝ 1 2（∠BOC ＋∠AOC ）＝1 2 ∠AOB ，由此即可得出结论； （2）先根据∠BOC ＝90°求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论. 解：（1）∵∠AOB ＝120°，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，∴∠EOD ＝∠DOC ＋∠EOC ＝12（∠BOC ＋∠AOC ）＝12∠AOB ＝1 2 ×120°＝60°； （2）∵∠AOB ＝120°，∠BOC ＝90°，∴∠AOC ＝120°－90°＝30°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝12∠AOC ＝1 2 ×30°＝15°. 方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题 的关键. 【类型二】 利用三角板叠合进行角度的计算 如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，则∠AOC ＋∠DOB ＝（ ） A.120° B.180° C.150° D.135° 解析：由图可得：∠AOC ＋∠DOB ＝∠AOB ＋∠COD ＝90°＋90°＝180°.故选B. 方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系. 【类型三】 长方形折叠计算角的度数 如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，C 点落在C ′处，D 点落在D ′处.若∠EFC ＝119°， 则∠BFC ′为（ ） A.58° B.45° C.60° D.42° 解析：∵将长方形ABCD 沿EF 折叠，C 点落在C ′处，D 点落在D ′处，∠EFC ＝119°，∴∠EFC ′＝∠EFC ＝119°，∠EFB ＝180°－∠EFC ＝61°，∴∠BFC ′＝∠EFC ′－∠EFB ＝119°

七年级数学下册《第十二章 证明》复习讲义 (新版)苏科版

第12章《证明》 班级姓名 一、知识要点： 1．叫做命题，_________叫真命题，___________ 叫假命题。2．证明与图形有关的命题的一般步骤有（1）_________ （2）_________ (3) _________ 3. 三角形的内角和为，直角三角形的两个锐角，三角形的外角等于_____________ 4.______________ _________ 叫互逆命题 二、基础练习： 1．下面的句子中是命题的有___________________． （1）我是扬州人；（2）房间里的花；（3）你吃饭了吗？（4）内错角相等； （5）延长线段AB；（6）明天可能下雨；（7）若a2>b2 则a>b. （8）对顶角相等； 2．写出下列命题的条件与结论，并判断真假。 （1）能被2整除的数也能被4整除；条件是_________ 结论是_________ 它是（）命题 （2）相等的两个角是对顶角；条件是_________ 结论是_________ 它是（）命题 3. （1）命题“内错角相等”的条件是_________，结论是________ ，这个命题的逆命题的条件是___________，结论是__________． （2）命题“如果a>0，b>0，那么ab>0”的条件是___________，结论是_________，?这个命题的逆命题是___________． 4．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°，则∠BEC=______°． (1) (2) (3) 5．如图2，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的3个外角，则∠1+∠2+∠3=_______°． 6．如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BD平分∠CBE，则∠ADB=______°．

人教版七年级数学上册辅导讲义

最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京 时间15：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7 ，π，0，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数； （2）按整数、分数分类，有理数????????????????? 正整数 整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－ 22 7是分数，0.033. 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．

初一数学上册角的计算

余角补角 一、填空 1．∠α的补角是137°，则 ∠α=__________，∠α的余角是__________； 65°15′的角的余角是_________；35°59′的角的补角等于__________。 2．（1）一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的余角为_________°. （2）一个角的补角比这个角的余角大______________。 C 3．如图，O 是直线AB 上的一点。 （1）若∠AOC =32°48′56″，则∠BOC=____°____′____″ （2）若∠BOC =5 3∠AOB ，则∠AOC=________°. 4．两条直线相交得到的四个角中，其中一个角是45°，则其余三个角分别是__________， ___________，__________。 5．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 是∠∠2=_____°，∠3=______° 6．如图4，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠若∠AOC=80°，则∠MON=__________° 7．下列说法正确的是 （ ） （A ） 两个互补的角中必有一个是钝角； （B ）一个角的补角一定比这个角大； （B ） 互补的两个角中，至少有一个角大于或等于直角； （C ） （D ）相等的角是对顶角 8．如图，直线AB 、CD 相交于O ，因为∠1+∠3=180°， ∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2，其推理根据是（ ）（A ）同角的余角相等 （B ）等角的余角相等 （C ）同角的补角相等 （D ）等角的补角相等 8．如果∠1与∠2互为补角，∠1 〉∠2，那么∠2的余角等于 （ ） （A ）2 1（∠1+∠2） （B ）2 1∠1 （C ）2 1（∠1-∠2） （D ）∠1-∠2 A B O E

华东师大初中七年级上册数学角(基础)知识讲解

角（基础）知识讲解 【学习目标】 1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换； 2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法； 3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算； 4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算； 5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算； 6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：角397364 角的概念】 要点一、角的概念 1．角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两 条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图1 图2 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角 的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起 始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：

要点诠释： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 要点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1° 的1 60 为1分，记作“1′”，1′的 1 60 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的 角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除 的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位 得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．

七年级数学上册角的练习题

角 一、选择题 1．(变式练习）下列说法正确的是（） A.两点之间直线最短 B.用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大 C.把一个角分成两个角的射线叫角的平分线 D.直线l经过点A，那么点A在直线l上呢 答案：D 2、(变式练习）下列4个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一角的图形是（） 答案：B 3．(变式练习）下列关于平角、周角的说法正确的是（）． A．平角是一条直线 B．周角是一条射线 C．反向延长射线OA，就形成一个平角 D．两个锐角的和不一定小于平角 答案：C 4、(变式练习）右图中，小于平角的角有（） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 答案：D 5.(变式练习）如图所示，射线OA表示的方向，射线OB表示的方向,则 ∠AOB=( ) A.155 ° B.205 ° C.85° D.105° 答案：A 6、(变式练习）一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15° 北 西 南 东 75? 40? O B A 4题图5题图6题图

方向走到C点，那么 ABC=（） A .60° B .15° C.45° D.70° 答案：C 二、填空题： 7.(变式练习）角也可以看作由旋转面形成的图形。 答案：一条射线绕着它的端点 8.(变式练习）2周角= 1平角= 答案：720° 180° 9.(变式练习）1°的_____ 是1′ 答案：六十分一 10.(变式练习）1周角= 平角= 直角= ； 答案：2、4、360° 11.(变式练习）换算：42°27′= °，68°45′36″= °；答案：42.45° 68.76° 12.(变式练习）2点15分，钟表的时针与分针所成的锐角是度；答案：22.5 13.钟面上从4点到5点，时针与分针重合时，此时4点________分 答案：21又9/11分 14.(变式练习）计算： （1）53°18′36″-16°51′ 答案：53°18′36″-16°51′ =52°78′36″-16°51′=36°27′36″（2）（43°13′28″÷2-10°5′18″）×3 答案：（43°13′28″÷2-10°5′18″）×3 =(42°72′88″÷2-10°5′18″)×3 =(21°36′44″-10°5′18″)×3 =11°31′26″×3 =33°93′78″ =34°34′18″

人教版七年级数学上册第四章角复习题二(含答案) (43)

人教版七年级数学上册第四章角复习题二（含答案) 如图，C 岛在A 岛的南偏东15°方向，C 岛在B 岛的北偏东70°方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 的度数是（ ） A ．95° B ．85° C ．60° D ．40° 【答案】A 【解析】 【分析】 根据方位角的概念，利用平行线的性质结合三角形内角和定理即可求解. 【详解】 如图： ∵C 岛在A 岛的南偏东15°方向，∴15DAC ∠=?, ∵C 岛在B 岛的北偏东70°方向，∴70EBC ∠=?, ∵AD EB ，∴70ADC EBC ∠=∠=?, 在ADC ⊿中 ∠180180157095ACB DAC ADC =?-∠-∠=?-?-?=?， 故选：A ．

本题考查了与方位角有关的计算问题，利用平行线的性质是解题的关键. 二、填空题 22．把121.34?化成度、分、秒的形式为__________． ? 【答案】12120' 24'' 【解析】 【分析】 根据度分秒间的进率是60，不到一度的化成分，不到一分的化成秒，可得答案． 【详解】 121.34?＝121?20.4′＝121?20′24″， 故答案为：121?20′24″． 【点睛】 本题考查了度分秒的换算，大的单位化小的单位乘以进率，不到一度的化成分，不到一分的化成秒． α∠=?，则90°-α∠等于_______. 23．若4730' 【答案】42°30′ 【解析】 【分析】 根据角度的计算即可求解.

∵4730'α∠=?， ∴90°-α∠=90°-4730'?=42°30′ 故填：42°30′. 【点睛】 此题主要考查角度的计算，解题的关键是熟知角度计算的运算法则. 24．计算：180° － 72°48′ = _____________________________． 【答案】107°12′ 【解析】 【分析】 直接利用度分秒的转化将原式变形，进而计算得出答案． 【详解】 180°﹣72°48'=179°60'﹣72°48' =107°12'． 故答案为：107°12'． 【点睛】 本题考查了度分秒的换算，正确进行度分秒的转化是解题的关键． 25．一副三角板按如下图方式摆放，若2136'α∠=?，则β∠的度数为__________．只用度表示α∠的补角为__________．

七年级下册人教版数学培优讲义(带标准答案)

七年级下册人教版数学培优讲义(带答案)

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第19讲相交线、平行线 知识理解 1．如果∠AOB＋∠DOE＝180°，∠AOB与∠BOC互为邻补角，那么∠DOE与∠BOC的关系是（）A．互为补角B．互补C．相等D．互余 2．如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1、∠2、∠3的度数和是（） A．360°B．180°C．120°D．90° 3．如果两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角（） A．相等B．互补C．相等或互余D．相等或互补 4．下列语句事正确的有（） ①有公共顶点且相等的两个角是对顶角；②有公共顶点且互补的两个是邻补角；③对顶角的平 分线在同一直线上；④对顶角相等但不一定互补；⑤对顶角有公共的邻补角． A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列说法：①点与直线的位置关系有点在直线上和点在直线外两种；②直线与直线的位置关系的相交、垂直和平行三种，其中（） A．①②都对B．①对②错C．①错②对D．①②都错 6．下列图中的∠1和∠2不是同位角的是（） A B C D 7．已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，则图中表示A点到直线BC的距离的是（）A．线段BD的长B．线段AE的长C．线段AF的长D．线段AG的长 8．如图，不能判断AB∥DF的是（） A．∠2＋∠A＝180°B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠A D．∠1＝∠4

第7题图第8题图第9题图 9．如图，下列条件中能说明AB∥CD的是（） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠BAD＋∠ABC＝180°D．∠ABC＝∠ADC，∠1＝∠2 10．在下列条件下，不能得到互相垂直的直线是（） A．邻补角的平分线所在直线 B．平行线的同旁内角平分线所在直线 C．两组对边分别平行，一组对边方向相同，另一组对边方向相反的两个角的平分线所在直线D．两组对边互相垂直的两角的平分线所在直线 11．如图，已知DE⊥AB，∠1＝∠2，∠AGH＝∠B，则下列结论： ①GH∥BC；②∠D＝∠HGM；③DE∥FG；④FG⊥A B．其中正确的是（） H M A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④ 12．（1）观察图①，图中共有条直线，对对顶角，对邻补角． （2）观察图②，图中共有条直线，对对顶角，对邻补角． （3）观察图③，图中共有条直线，对对顶角，对邻补角． （4）若有n条不同直线相交于一点，则可以形成对对顶角，对邻补角．

人教版七年级下数学精品讲义精编

第五章相交线和平行线 第一节相交线 一、课标导航 二、核心纲要 1. 对顶角与邻补角 ⑴对顶角：两条直线相交所成的四个角中，一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线，这两个角叫做对顶角.对顶角相等. 注：相等的角不一定是对顶角. ⑵邻补角：两条直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角叫做邻补角.邻补角互补. 注：互补的角不一定是邻补角. 2.垂线 ⑴定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线是另一条直线的垂线. ⑵垂线的性质 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. ⑶点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 注：距离是指线段的长度，是一个数量；线段是图形，它们之间不能等同. ⑷垂线的画法 画法：1）一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上.

2）二移：移动三角尺使已知点落在它的另一条直线上. 3）三画：沿着这条直角边画线. 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线. ②过一点作线段的垂线，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上. 3.三线八角 ①∠4与∠8在截线l 的同侧，同在被截直线a ，b 的下方，则∠4与∠8是同位角.形似“F ”. ②∠5与∠3在截线l 的两旁，在被截直线a ，b 的之间，则∠5与∠3是内错角.形似“Z ”. ③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线a ，b 的之间，则∠5与∠4是同旁内角.形似“U ”. 本节重点讲解：一个画法（垂线的画法），三个性质（对顶角、邻补角和垂线），七个概念（对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离、同位角、内错角和同旁内角）. 三、全能突破 基础演练 1. (1) 在图5-1-2中所示的五个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2) 下列说法正确的是（ ） A. 有公共顶点的两个角是对顶角 B. 两条直线相交所成的角是邻补角 C. 两条直线相交所成的无公共边的两个角是对顶角 D. 有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 图5-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8