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2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)

2020年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.复数z=-1+i（i是虚数单位），则z的模为（）

A. 0

B. 1

D. 2

2.已知全集U=R，集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩（?U B）=（）

A. {-1，0，1}

B. {-1，0，1，2}

C. {x|x＜2}

D. {x|-1≤x＜2}

3.命题“?α∈R，sinα=0”的否定是（）

A. ?α∈R，sinα≠0

B. ?α∈R，sinα≠0

C. ?α∈R，sinα＜0

D. ?α∈R，sinα＞0

4.下列函数中，既是奇函数又在（-∞，+∞）上单调递增的是（）

A. y=sin x

B. y=|x|

C. y=-x3

D. y=ln（+x）

5.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=2S2，则数列{a n}的公比q=（）

A. -1

B. 1

C. 士1

D. 2

6.过椭圆+=1的中心任作一直线交椭圆于P、Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的

最小值是（）

A. 14

B. 16

C. 18

D. 20

7.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一

个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（）

A. 18种

B. 9种

C. 6种

D. 3种

8.已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为（）

A. B. C. D.

9.执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x值的个

数为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

10.设a=log43，b=log52，c=log85，则（）

A. a＜b＜c

B. b＜c＜a

C. b＜a＜c

D. c＜a＜b

11.已知F是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F且倾斜角为30°的直线与曲线E

的两条渐近线依次交于A，B两点，若A是线段FB的中点，且C是线段AB的中点，则直线OC 的斜率为（）

A. -

C. -3

D. 3

12.函数f（x）=e x-1-e-x+1+a sinπx（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的

取值范围为（）

A. （0，]

B. （0，）

C. （0，2]

D. （0，2）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C-sin B?sin C，则∠A=______．

14.已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（2x-1）

＞f（x-2）的解集为______．

15.已知各项都为正数的数列,其前n项和为,若,则______．

16.A，B为单位圆（圆心为O）上的点，O到弦AB的距离为，C是劣弧（包含端点）上一动点，

若=λ+（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围为______．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17.已知函数f（x）=+（ω＞0），x1，x2是函数f（x）的零点，且|x2-x1|的

最小值为．

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）设α，β∈（0，），若f（）=，f（）=-，求cos（α-β）的值．

18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N（500，52）（单位：

g）．

（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率约为多少？

（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．附：X～N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）=0.9974．

19.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点．

（Ⅰ）若E为AB1上的一点，且DE与直线CD垂直，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设异面直线AB1与CD所成的角为45°，求直线DE与平面AB1C1成角的正弦值．

20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，

过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M．

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值．

21.已知是函数的极值点．

Ⅰ求实数a的值；

Ⅱ求证：函数存在唯一的极小值点,且参考数据：,其中e为自然对数的底数

22.在平面直角坐标系xOy中，直线l1过原点且倾斜角为α（0）．以坐标原点O为极点，x

轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．在平面直角坐标系xOy中，曲线C2与曲线C1关于直线y=x对称．

（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l2过原点且倾斜角为，设直线l1与曲线C1相交于O，A两点，直线l2与曲线C2相交于O，B两点，当α变化时，求△AOB面积的最大值．

23.已知函数f（x）=|x+1|+|x+a|．

（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）＞2x的解集；

（Ⅱ）当不等式f（x）＞1的解集为R时，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：∵z=-1+i，

∴|z|=．

故选：C．

由已知直接利用复数模的计算公式求解．

本题考查复数模的求法，是基础题．

2.答案：A

解析：解：?U B={x|x＜2}；

∴A∩（?U B）={-1，0，1}．

故选：A．

进行交集、补集的运算即可．

考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．

3.答案：B

解析：解：特称命题的否定是全称命题，

∴?α∈R，sinα=0的否定为：?α∈R，sinα≠0，

故选：B．

直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．

4.答案：D

解析：解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y=sin x，为正弦函数，在（-∞，+∞）上不是单调函数，不符合题意；

对于B，y=|x|，为偶函数，不符合题意；

对于C，y=-x3，是奇函数但在（-∞，+∞）上单调递减，不符合题意；

对于D，y=ln x（+x），既是奇函数又在（-∞，+∞）上单调递增，符合题意；

故选：D．

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得可得答案．

本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5.答案：C

解析：解：根据题意，等比数列{a n}中，S4=2S2，

则（a1+a2+a3+a4）=2（a1+a2），

变形可得：a3+a4=a1+a2，

进而可得：q2=1，解可得q=±1，

故选：C．

根据题意，分析可得（a1+a2+a3+a4）=2（a1+a2），变形可得：a3+a4=a1+a2，进而可得q2=1，解可得

q的值，即可得答案．

本题考查等比数列的前n项的性质以及应用，属于基础题．

6.答案：C

解析：【分析】

本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆定义的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．由题意画出图形，然后利用椭圆的对称性把△PFQ的周长转化为椭圆上的点到两焦点的距离之和及过原点的线段的长度问题，则答案可求．

【解答】

解：如图，

由椭圆的定义知|PF|+|PF1|=2a

由椭圆的对称性知|QF|=|PF1|，

∴有|PF|+|QF|=2a，而|PQ|的最小值是2b，

∵+=1，

∴a=5，b=4，

∴△PFQ的周长的最小值为2a+2b=2（a+b）=18

故选：C．

7.答案：A

解析：解：由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入剩下的三个盒子中，

则2号小球有3种选择，3号小球还剩2种选择，4号小球只有1种选择，

根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有?1=18种，

故选：A．

先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解．本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题．

8.答案：B

解析：【分析】

本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积的计算，属于基础题．

根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．

【解答】

解：∵圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，

∴圆锥的底面半径为3，高为．

圆锥的体积为：π×9×3=9π．

故选：B．

9.答案：B

解析：解：根据题意，该框图的含义是：

当x≤2时，得到函数y=x2-1；当x＞2时，得到函数y=log2x，

因此，若输出的结果为1时，

（1）若x≤2，得到x2-1=1，解得x=，

（2）若x＞2，得到log2x=1，解得x=2，（舍去），

因此，可输入的实数x的值可能为-，，共有2个．

故选：B．

根据程序框图的含义，得到分段函数y=，由此解出关于x的方程f（x）=1，即可得到

可输入的实数x值的个数．

本题主要考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．

10.答案：B

解析：解：∵，；

∴a＞c；

又，；

∴c＞b；

∴a＞c＞b；

∴b＜c＜a．

故选：B．

根据换底公式即可得出，从而得出a＞c，容易得出，从而得出

c＞b，这样即可得出a，b，c的大小关系．

考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．

11.答案：D

解析：【分析】

本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线渐近线的位置

关系，考查中点坐标公式与斜率公式，属于中档题．

设B（x0，），表示出A点坐标，代入渐近线方程得出

x0=，求出C点坐标，根据斜率公式求出的值，即可得

出OC的斜率．

【解答】

解：F（-c，0），设B（x0，），

则A（，），

把A点坐标代入方程y=-x可得=-?，

整理可得x0=，

∴A（-，），B（，），

∴C（，），故k OC=，

又直线BF的斜率为=tan30°=，

∴=，

∴k OC=3．

故选D．

12.答案：A

解析：解：函数f（x）=e x-1-e-x+1+a sinπx（x∈R，e是自然对数的底

数，a＞0）存在唯一的零点等价于：

函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯一一个交点，

∵φ（1）=0，g（1）=0，

∴函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1唯一交点为（1，0），

又∵g′（x）=-e1-x-e x-1，且e1-x＞0，e x-1＞0，

∴g′（x）=-e1-x-e x-1在R上恒小于零，即g（x）=e1-x-e x-1在R上为

单调递减函数，

又∵φ（x）=a sinπx（a＞0）是最小正周期为2，最大值为a的正弦

函数，

∴可得函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1的大致图象如图：

∴要使函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯一一个交点，则φ′（1）≥g′（1），

∵φ′（1）=πa cosπ=-πa，g′（1）=-e1-1-e1-1=-2，

∴-πa≥-2，解得a，

又∵a＞0，

∴实数a的范围为（0，]．

故选：A．

函数f（x）=e x-1-e-x+1+a sinπx（x∈R，e是自然对数的底数，a＞0）存在唯一的零点等价于函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯一一个交点，由φ（1）=0，g（1）=0，可得函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1唯一交点为（1，0），g（x）的单调，根据单调性得到φ（x）与g（x）的大致图象，从图形上可得要使函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯一一个交点，则φ′（1）≥g′（1），即可解得实数a的取值范围．

本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题．

13.答案：

解析：【分析】

本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于中档题．

利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理表示出cos A，将化简后的式子整理后代入求出cos A 的值值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．

【解答】

解：由正弦定理化简sin2A=sin2B+sin2C-sin B?sin C，

得：a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc，

∴cos A===，

又∠A为三角形的内角，

则∠A=．

故答案为.

14.答案：（-∞，-1）∪（1，+∞）

解析：【分析】

本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，为中档题．

根据题意，由偶函数的性质结合函数的单调性可得f（|2x-1|）＞f（|x-2|），进而可得|2x-1|＞|x-2|，解可得x的取值范围，即可得答案．

【解答】

解：根据题意：当f（2x-1）＞f（x-2）时，

即f（|2x-1|）＞f（|x-2|）?|2x-1|＞|x-2|，

变形可得：4x2-4x+1＞x2-4x+4，

解可得x＜-1或x＞1，

即不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）；

故答案是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

15.答案：2n-1

解析：【分析】

本题考查数列的通项公式的求法，关键是得出数列{a n}为单调递增的等差数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

n=1时，4a1=（a1+1）2，解得a1=1，当n≥2时，4S n-1=，推导出（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）

=0，从而a n-a n-1=2，进而数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出结果．

【解答】

解：∵各项都为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，

4S n=（a n+1）2=，①

∴n=1时，4a1=（a1+1）2=a12+2a1+1=0，

解得a1=1，

当n≥2时，4S n-1=，②

①-②，得：4a n=+2（a n-a n-1），

∴（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，

∵数列各项都为正数，

∴a n-a n-1=2，

∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，

∴a n=1+（n-1）×2=2n-1，且验证n=1时也成立，

故答案为：2n-1．

16.答案：[1，]

解析：解：如图以圆心O为坐标原点建立直角坐标系，设A，

B两点在x轴上方且线段AB与y轴垂直，

∵A，B为单位圆（圆心为O）上的点，O到弦AB的距离为，

∴点A（-，），点B（，），

∴=（-，），=（，），即λ=（-，），μ=

（，），

∴=λ+μ=（，），

又∵C是劣弧AB（包含端点）上一动点，设点C坐标为（x，y），

∴，

∵=λ+μ=（，）=（x，y），

∴≤y=≤1，解得：1≤λ+μ≤，

故λ+μ的取值范围为[1，]．

以圆心O为坐标原点建立直角坐标系，设A，B两点在x轴上方且线段AB与y轴垂直，分别表示出A，B两点的坐标，求出、向量，即可表示出向量，由于C是劣弧AB（包含端点）上一动点，可知向量横纵坐标的范围，即可求出λ+μ的取值范围．

本题主要考查了向量的综合问题以及圆的基本性质，解题的关键是建立直角坐标系，表示出各点坐

标，属于中档难度题．

17.答案：解：（Ⅰ）f（x）=+=sin2ωx-cos2ωx=2in（2ωx-），

∵|x2-x1|的最小值为．

∴=，即T==π，得ω=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x-），

∴f（）=sin（α+-）=sin（α+）=cosα=，f（）=sin（β--）=sin（β-π）=-sinβ=-，则sinβ=，

又α，β∈（0，），∴sinα=，cosβ=，

∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+=．

解析：（Ⅰ）利用二倍角公式和辅助角公式整理出f（x）=sin（2ωx-），根据周期求得ω；

（Ⅱ）根据f（x）解析式可求解出cosα，sinβ；再利用同角三角函数关系求出sinα，cosβ；代入两角和差余弦公式求得结果．

本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型．

18.答案：解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg，由题意可知X～N（500，52）．

由于485=500-3×5，

所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知：

P（X＜485）=；

（Ⅱ）检测员的判断是合理的．

因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g的概率约为：0.0013×0.0013=1.69×10-6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的．

解析：（Ⅰ）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N（500，52）（单位：g），要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率，化为（μ-3σ，μ+3σ）的形式，然后求解即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g的概率几乎为零，

即可判定检测员的判断是合理的．

本题主要考查了正态分布中3σ原则，考查基本分析

应用的能力，属于基础题．

19.答案：（Ⅰ）证明：取AB中点M，连接CM，

DM，有MD∥AB1，

因为AC=BC，所以CM⊥AB，

又因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，

所以平面ABC⊥平面ABB1A1，

又因为平面ABC∩平面ABB1A1=AB，

所以CM⊥平面ABB1A1，

又因为DE?平面ABB1A1，

所以CM⊥DE，

又因为DE⊥CD，CD∩DM=D，CD?平面CMD，CM?平面CMD，

所以DE⊥平面CMD，又因为MD?平面CMD，

所以DE⊥MD，

因为MD∥AB1，

所以DE⊥AB1，

连接A1B交AB1于点O，因为ABB1A1为正方形，

所以A1B⊥AB1，又因为DE?平面ABB1A1，A1B?平面AA1B1B，

所以DE∥A1B，

又因为D为BB1的中点，

所以E为OB1的中点，

所以=．

（Ⅱ）如图以M为坐标原点，分别以MA，MO，MC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2a，由（Ⅰ）可知∠CDM=45°，

所以AB1=2a，

所以DM=CM=a，

所以A（a，0，0），B1（-a，2a，0），C1（0，2a，a），D（-a，a，0），E（-a，a，0），所以=（-2a，2a，0），=（a，0，a），=（a，a，0），

设平面AB1C1的法向量为=（x，y，z），则，

即，令z=-1可得=（，，-1）．

所以 cos＜＞===．

所以直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值为．

解析：（Ⅰ）取AB中点M，连接CM，MD，证明DE⊥平面CMD，即可说明DE⊥AB1，由底面为正方形，可求得=；

（Ⅱ）以M为坐标原点建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面AB1C1的法向量为，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解．

本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．

20.答案：解：（Ⅰ）由题意知，抛物线焦点为（0，），准线方程为y=-，

焦点到准线的距离为2，即p=2；

（Ⅱ）抛物线的方程为x2=4y，即y=x2，所以y′=x，

设A（x1，y1），B（x2，y2），l1：y-=（x-x1），l2：y-=（x-x2），

由于l1⊥l2，所以?=-1，即x1x2=-4，

设直线l方程为y=kx+m，与抛物线方程联立，得x2-4kx-4m=0，

△=16k2+16m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m=-4，所以m=1，

即l：y=kx+1，

联立方程得，即M（2k，-1），

M点到直线l的距离d==，

|AB|=?=4（1+k2），

所以S=?4（1+k2）?=4（1+k2）≥4．

当k=0时，△MAB面积取得最小值4．

解析：（Ⅰ）根据抛物线的性质即可得到结果；

（Ⅱ）由直线垂直可构造出斜率关系，得到x1x2=-4，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m；联立两切线方程，可用k表示出M，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值．

本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值．

21.答案：解：（Ⅰ）由已知f（x）的定义域为（0，+∞）且

，

所以，即a=；

此时，

设g（x）=f′（x），则，

则0＜x＜2 时g（x）为减函数．

又，

所以当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．所f（x）的极大值点x=1，符合题意．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．

当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，

g（4）=，g（2）＜0；

所以存在x0∈（2，4），使得g（x0）=0；

当 2＜x＜x0时，g（x）＜0，f（x）为减函数；

当x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数，

所以f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，

1＜x＜x0时f（x）为减函数，x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数；

所以函数f（x）存在唯一的极小值点x0．

又；

所以，且满足；

所以=；

故函数f（x）存在唯一的极小值点x0，且0＜f（x0）＜．

解析：本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题．

（Ⅰ）根f′（1）=0，求得实数a的值，通过导数验证函数单调，可知极值点x=1，满足题意；（Ⅱ）由（Ⅰ）函数f（x）的极小点值位于（2，+∞），此时f′（x）的零点位于x0∈，且x0为f（x）的极小点值点，代入f（x），f′（x），化简即可得f（x0）关于x0的二次函数，求解二次函数在区间上的值域即可证明结论．

22.答案：解：（Ⅰ）由题可知，C1的直角坐标方程为：x2+y2-2x=0，

设曲线C2上任意一点（x，y）关于直线y=x对称点为（x0，y0），

∴，

又∵，即x2+y2-2y=0，

∴曲线C2的极坐标方程为：ρ=2sinθ；

（Ⅱ）直线l1的极坐标方程为：θ=α，直线l2的极坐标方程为：．

设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．

∴，解得ρ1=2cosα，

，解得．

∴=

=．

∵0≤α＜，∴＜．

当，即时，sin（）=1，

S△AOB取得最大值为：．

解析：（Ⅰ）将C1化为直角坐标方程，根据对称关系用C2上的点表示出C1上点的坐标，代入C1方程得到C2的直角坐标方程，再化为极坐标方程；

（Ⅱ）利用l1和l2的极坐标方程与C1，C2的极坐标方程，把A，B坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值．

本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题．求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解．

23.答案：解：（Ⅰ）a=-1时，f（x）=

当x＜-1时，f（x）=-2x＞2x，即x＜0，此时x＜-1，

当-1≤x≤1时，f（x）=2＞2x，得x＜1，∴-1≤x＜1，

当x＞1时，f（x）=2x＞2x，无解，

综上，f（x）＞2x的解集为（-∞，1）．

（Ⅱ）f（x）=|x+1|+|x+a|≥|x+a-x-1|=|a-1|，

即f（x）的最小值为|a-1|，

要使f（x）＞1的解集为R，

∴|a-1|＞1恒成立，即a-1＞1或a-1＜-1，

得a＞2或a＜0，

即实数a的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．

解析：（Ⅰ）根据x的范围得到分段函数f（x）的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；

（Ⅱ）由绝对值三角不等式得到f（x）的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果．

本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型．

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

2020-2021学年广东省高考数学二模试卷(理科)及答案解析

广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数f（x）=+lg（6﹣3x）的定义域为（） A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，2] 2．己知复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|z|为（）A．B．C．6 D．3 3．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．已知sinα﹣cosα=，则cos（﹣2α）=（） A．﹣ B．C．D． 5．己知0＜a＜b＜l＜c，则（） A．a b＞a a B．c a＞c b C．log a c＞log b c D．log b c＞log b a 6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞍铜方升，其三视图如图所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（）

A．14 B．12+C．12+πD．38+2π 7．设计如图的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数（用j表示），则判断框中应填入的条件是（） A．i＜58？B．i≤58？C．j＜59？D．j≤59？ 8．某撤信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（） A．B．C．D．

9．己知实数x，y满足不等式组，若z=x﹣2y的最小值为﹣3，则a的值为（） A．1 B．C．2 D． 10．函数f（x）=x2﹣（）x的大致图象是（） A．B．C．D． 11．已知一长方体的体对角线的长为l0，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（） A．64 B．128 C．192 D．384 12．已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内有零点，则ω的取值范围是（） A．（，）∪（，+∞）B．（0，]∪[，1）C．（，）∪（，）D．（，）∪（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.

2020年高考数学模拟试卷汇编：专题4 立体几何(含答案解析)

2020年高考数学模拟试卷汇编专题4 立体几何（含答案解析） 1．（2020·河南省实验中学高三二测（理））现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（） A 3 B ．36 C 3 D 3 2．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16 B ．163 C ．163 D ．1283 3．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 4．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，

它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（） A ．36 B ．45 C ．54 D ．63 5．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．83π3 B ．4π1633 C 16343π+ D ．43π1636．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））在平面五边形ABCD E 中，60A ∠=?，63AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（） A ．63π B ．84π C ．252π D ．126π 7．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)

绝密★启用前全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是

A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<