双曲线练习题
圆锥曲线与方程（双曲线练习题）
一、选择题
1.已知方程22
121
x y k k +=--的图象是双曲线，那么 的取值范围是（ ）
A .
B .
C .
D .
2.双曲线22
221(00)x y a b a b
->>＝，的左、右焦点分别为12F ,F ,P 是双曲线上一点，满足212|PF F F |=，直线1PF 与
圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ）
A.
54
B.53
3.过双曲线22
12
y x -=的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ）
A .1条
B .2条
C .3条
D .4条
4.等轴双曲线222:C x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A,B 两点，AB ＝C 的实轴长等于（ ）
5.已知双曲线
x y m
2
219的一条渐近线的方程为y
x 5
，则双曲线的焦点到直线的距离为( ) A ．2B . C .D .
6.若直线过点(3,0)与双曲线2
24936x
y 只有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A .1条
B .2条
C .3条
D .4条
7.方程22
1()23
x y k k k -∈-+R ＝表示双曲线的充要条件是（ ）
A.2k >或3k <-
B.3k <-
C.2k >
D.32k -<<
二、填空题
8.过原点的直线，如果它与双曲线22
134
y x -=相交，则直线的斜率的取值范围是.
9.设为双曲线
2
2
14
x y 上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是．
10.过双曲线
2
2
22
1(,0)x y a b a b 的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，
以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.
11.已知双曲线22221(00)x y a ,b a b
-=>>的渐近线与圆22
420x y x +-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值
范围是．
三、解答题（本题共3小题，共41分） 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在轴上,虚轴长为12，离心率为54
； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y
x 32
13.已知双曲线22
221x y a b
-＝(a ＞0，b ＞0)的右焦点为(0)F c,．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y x =且2c =，求双曲线的方程；
（2）以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A
作圆的切线，斜率为求双曲线的离心率．
14.已知双曲线x y a b
2222
1a b （0,0)的离心率23
e ，原点O 到过点(,0),(0,)A a
B b （1）求双曲线的方程；
（2）已知直线5(0)y kx k 交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值 一、选择题
1.C 解析：由方程的图象是双曲线知，,即
2.D 解析：设1PF 与圆相切于点M ，因为212PF F F =，所以12PF F △为等腰三角形，所以111
4
F M PF =. 又因为在直角1F MO △中，2
2
22211FM FO a c a =-=-，所以111
4
F M b PF ==.① 又12222PF PF a c a =+=+，②
222c a b =+,③
由①②③解得5
3
c a =．
3.C 解析：由题意知，.
当只与双曲线右支相交时，的最小值是通径长，长度为，此时只有一条直线符合条件； 当与双曲线的两支都相交时，的最小值是实轴两顶点间的距离，长度为，无最大值， 结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件. 综上可得，有3条直线符合条件.
4.C 解析：设等轴双曲线C 的方程为22
x y λ-=．①
∵ 抛物线2
162168y x p p ===，
，，∴42
p
=．∴ 抛物线的准线方程为4x =-． 设等轴双曲线与抛物线的准线4x =-的两个交点为(4),(4)(0)A ,y B ,y y --->
，
则()2AB |y y |y =
--==，∴y =．
将4
x =-，
y =22
(4)λ--=，∴4λ=.
∴ 等轴双曲线C 的方程为2
2
4x y -=，即22
144
x y -＝.∴ 双曲线C 的实轴长为4．
5.C 解析：双曲线2219x y m
-=
的一条渐近线方程为y =
，即.不妨设双曲线的右焦点为,则焦点到直线l
的距离为d =.
6.C 解析：将双曲线化为标准方程为22
194
x y -=则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与x 轴垂直的直线满足
题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的两条直线也满足题意，因此这样的直线共有3条.
7.A 解析：方程22
1()23
＝x y k k k R -∈-+表示双曲线，
当且仅当(2)(3)>0k k -+，∴2k >或3k <-.反之，当2k >或3k <-时，双曲线方程中分母同号，方程22
1()23
＝x y k k k R -∈-+表示双曲线.
二、填空题
8.3,,???-+ ? ???
??
∞∞解析：双曲线22134y x
-=
的渐近线方程为y =.若直线l 与双曲线相交，则k k < 9.解析：设,，则00,22
x y x
y
，即，.
将代入双曲线方程，得点的轨迹方程为2
24414
x y ，即. 10.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN 为圆的直径且点A 在圆上，所以F 为圆的圆心，且所以
2b c a a =+，即22c a c a a -=+.由c e a
=，得2e e - 11.(1,2]解析：由圆22420x y
x +-+=化为22
(2)2x y -+=，得到圆心(20)，，半径r =
∵ 双曲线22
221(00)x y a ,b a b -=>>的渐近线b y x a
±
＝与圆22
420x y x +-+=有交点，
，∴22
b a ≤．∴12
c e a ＜＝．∴ 该双曲线的离心率的取值范围是(1,2]． 三、解答题
12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为x y a b a b ()2
22
2
10,0．
由题意，得222212,
5,4,
b c a a b c =???
=??
?+=?解得8,6.a b =??=?
所以双曲线的标准方程为
2
2164
36
x y ．
（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为22
2210,0x y a b a b
->>=()
由题意，得2632a b a =???=??，，解得3,
9,2a b ?==?
???
所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为
2
219
814
x y ．
同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为
2
2194
y x ．
方法二：设以
3
2
y x为渐近线的双曲线的方程为
22
(0).
49
x y
λ
λ
当λ＞时，6，解得λ
9
4
．此时，所求的双曲线的标准方程为
22
1
981
4
x y
．当λ＜时，96
λ，解得λ．此时，所求的双曲线的标准方程为
22
1
94
y x
．
13.解：（1）∵双曲线
22
22
1
x y
a b
-＝的渐近线方程为
b
y x
a
=±，
∴若双曲线的一条渐近线方程为y x
=，可得1
b
a
=
，解得a b
=.
∵2
c
==，∴a b
==
由此可得双曲线的方程为
22
1
22
x y
-＝.
（2）设点A的坐标为()
m,n
，可得直线AO的斜率满足
n
k
m
==m=.①∵以点O为圆心，c为半径的圆方程为222
x y c
+=，
∴将①代入圆方程，得222
3n n c
+=，解得
1
2
n c
=，m
=.
将点
1
2
A
??
?
?
??
代入双曲线方程，得
2
2
22
1
2
1
c
a b
???
? ?
????
-＝.
化简，得222222
31
44
c b c a a b
-=.
∵222
c a b
=+，∴将222
b c a
=-代入上式，化简、整理，得4224
3
20
4
c c a a
-+=.
两边都除以4a，整理，得42
3840
e e
-+=，解得2
2
3
e=或22
e=.
∵双曲线的离心率1
e>，∴该双曲线的离心率2
e=(负值舍去）.
14.解：
（1）因为
c
a
，原点O到直线：的距离
ab
d
c
a b
22
3
，所以1, 3.
b a故所求双曲线的方程为
2
2 1.
3
x
y
（2）把5
y kx代入22
33
x y中,消去，整理，得22
(13)30780
k x kx.
设C x y D x y CD
1122
(,),(,),的中点是
00
,
（）
E x y，则12
02
15
213
x x k
x
k
，y kx
k
002
5
5.
13 BE
y
k
x k
11
，所以
00
0,
x ky k即
22
155
1313
k k
k
k k
++=
--
.
又,所以,即