2012年理数高考试题答案及解析-全国

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II ）

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.

第I 卷

注意事项：

全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.

2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

一、选择题

1、复数

131i i -++=A 2+I

B 2-I

C 1+2i

D 1- 2i 【解析】i i i i i i i i 212

42)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C.【答案】C

2、已知集合A ＝{1.3.

}，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=

A 0

B 0或3

C 1

D 1或3 【解析】因为A B A = ,所以A B ?,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ，选B.

【答案】B

3 椭圆的中心在原点，焦距为

4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1 B 212x +28y =1C 28x +24y =1 D 212x +2

4

y =1【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42

-=-c

a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a

b ，所以椭圆的方程为

14

82

2=+y x ，选C.【答案】C

4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为

A 2

B

C

D 1

【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.

【答案】D

（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列

的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100

【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以n n a n =-+=)1(1，所以1

11)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又

101

1001011110111001312121111110110021=-=-++-+-=+ a a a a ，选A.【答案】A

（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若

a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则

(A) （B ） (C) (D)

【解析】在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52

=CD ,所以

5

454422=-

=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即b a AD )(54-=-==，选D.

【答案】D （7）已知α为第二象限角，3

3cos sin =+αα，则cos2α=

(A) （B ）(C) 【解析】因为33cos sin =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以03

2cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+

=-=-αααα，所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3

533315-=?-，选A.【答案】A

（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=(A)14 （B ）35 (C)34 (D)4

5

【解析】双曲线的方程为12

22

2=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=??-+=

PF F ,选C.【答案】C

（9）已知x=ln π，y=log 52，21

-=e z ，则

(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x

【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e

e z 121==-，1121<

【答案】D

(10) 已知函数y ＝x 2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝

（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1

【解析】若函数c x x y +-=33

的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.

【答案】A

（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种

【解析】第一步先排第一列有63

3=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图

，所以共有1226=?种，选A.

【答案】A （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73

.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为

（A ）16（B ）14（C ）12(D)10

【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可.

【答案】B

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.

2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.

3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

（注意：在试题卷上作答无效）（13）若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.

【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得

z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截距最 大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z .

【答案】1

-（14）当函数取得最大值时，x=___________.

【解析】函数为)3sin(2cos 3sin π

-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，

3533πππ

<-

≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=

x .【答案】6

5π

=x （15）若

的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.

【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62n n C C =，所以8=n ，所以展开式的通项为k k k k k k x C x

x C T 2888811(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以25861(x C T =，所以21x

的系数为5658=C .【答案】56

（16）三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°

则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.

【解析】如图设,,,1AA ===设棱长为1，则,1b a AB +=b c a BC a BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160=∠=∠CAA BAA 所以2

1=?=?=?，所

3=

，2= ，2)-()(11=+?+=?BC AB ，设异面直线的夹角为θ

，所以36322cos =?θ.【答案】

36

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）

△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.

19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(

1

2

y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两

曲线的切线为同一直线l.

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.

22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n 与x轴交点的横坐标.

（Ⅰ）证明：2 x n＜x n+1＜3；

（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.