高中数学教案：3.2.2 函数模型的应用实例

3.2.2 函数模型的应用实例

三维教学目标

知识与能力：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题。

过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性。

情感、态度、价值观：体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值。

教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题。

教学难点：将实际问题转变为数学模型。

学习过程

一、复习提问

我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？

二、新课

例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立汽车行 驶这段路程时汽车里程表读数skm 与时间th 的函数解析式，并作出檅应的图像。

解：(1)阴影部分面积为：

50×1+80×1+90×1+75×1+65×1＝36

阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为

360km 。

（2）根据图有：

?????????<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(8010200450t t t t t t t t t t s

画出它的函数图像。在解决实际问题过程中，函数图像

能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。本例题是分段函数是刻画现实问题的重要模型。

例4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可 以为有效控制人口增长依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状 态下的人口增长模型：y ＝rt

e y 0，其中t 表示经过的时间，y 0表示t ＝0时的人口数， r 表示人口的年平均增长率。

表3－8是1950――1959年我国的人口数据资料

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001） 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型 与实际人口数据是否相符；

（2）如果按表3－8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

分析：分别求出1950到1959年的每一年的增长率，再算出平均增长率，得到从 口增长模型y=55196e 0.0221t ，作出原数据的散点图，作出模型的函数图像，可以看出 这个模型与数据是否吻合，用Excel 电子表格作出图像展示给学生看。第二问中，13 亿是130000万人，将y ＝130000代入所求出的函数模型，即可用计算器算出大约要在 39年后达到13亿人口。

例5、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进

价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：

销售单价/ 元 6 7 8 9 10 11 12

日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240

请根据以上根据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

解：由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的 基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，在此情况下的日均销售量为：

480－40（x －1）＝520－40x （桶）

由于x ＞0，所且520－40x ＞0，即0＜x ＜13

y ＝（520－40x ）x －200＝－40x 2＋520x －200， 0＜x ＜13

由二次函数的性质，易知，当x ＝6.5时，y 有最大值。

所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。

例6、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示：

身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

(1)根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未 成年男性体重ykg 与身高xcm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么 这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg 的在我校男生的体重是否正常？

解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，根据点的分布特征，可 考虑用y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性体重ykg 与身高xcm 关系的函数模型。 不妨取其中的两组数据（70，7.90），（160,47.25）代入y ＝a ·b x 得：

??????=?=1607025.479.7b

a b a ，用计算器解得：???≈≈02.12b a 这样，我们就得到一函数模型：x y 02.12?=

将已知数据代入上述函数解析式，或作出函数的图像，可以发现，这个函数模型 与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高 的关系。

（2）将x ＝175代入x

y 02.12?=，得： 17502.12?=y ≈63.98

由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以这个男生偏胖。

课后作业：