2013年 北京市 高考数学 试卷及解析(文科)

2013年北京市高考数学试卷（文科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}

2．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）

A．ac＞bc B ．C．a2＞b2D．a3＞b3

3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A ．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+1

4．（5分）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）

A ．

B ．

C ．D．1

6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

1

A．1 B ．C ．D ．

7．（5分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）

A ．B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2

8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），则

p=；准线方程

为．

10．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．

11．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=；前n 项和S n=．

12．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．

13．（5分）函数f（x）=的值域为．

14．（5分）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

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15．（13分）已知函数f（x）=（2cos2x﹣1）sin 2x +cos 4x．

（1）求f（x）的最小正周期及最大值；

（2）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．

16．（13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；

（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；

（Ⅱ）BE∥平面PAD；

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（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．

18．（13分）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；

（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．19．（14分）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是

坐标原点．

（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；

（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

20．（14分）给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i﹣B i．

（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；

（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；

（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，

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