数列经典讲义(教师版)

Cxiaojun

数列和数列的练习

一、数列及其相关概念

1． 数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限．

2．数列的项及通项：

数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项． 数列的一般形式可以写成：123n a a a a L L ，，，，，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项． 3．数列的通项公式

如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式． 4．数列的分类

数列的分类方式一般有三种：

（1）项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列；

（2）从第2项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都比它的前一项小的数列

称为递减数列；这两种数列统称为单调数列．各项都相等的数列称为常数列；既不是单调数列，又不是常数列的，称为摆动数列，即有些项小于它的前一项，有些项大于它的前一项；

（3）如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数，则称此数列为有界数列，否则称为无界数列． 5．数列的表示方法

数列是定义域为正整数集（或它的一个有限子集{123}n L ，，，，）的一类特殊的函数()f n ，数列的通项公式也就是函数的解析式．

数列的表示方法通常有三种：

（1）通项公式法（对应函数的解析式法）；

（2）图象法（无限多个或有限多个孤立的点，取决于是无穷数列，还是有穷数列）； （3）列表法．

6．数列和函数、集合的区别

（1）数列和函数：数列是以正整数集*N (或它的有限子集){}1234n L ，，，，，为定义域的函数()n a f n =． （2）数列和集合的区别和联系：集合是没有顺序的，数列是有顺序的

7．数列的递推公式

如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，1112(2)n n a a a n -==-，≥．

给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法． 8 数列的前n 项和

数列{}n a 的前n 项和定义为：123n n S a a a a =++++L ．

数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1)

(2)n n

n S n a S S n -=?=?-?≥．

Cxiaojun

一、数列的基本概念

1. （2010年东城一模7） 已知数列{}n a 的通项公式3

log ()1

n n

a n n =∈+*N ，设其前n 项和为n S ，则使4n S <- 成立的最小自然数n 等于（ ）

A ．83

B ．82

C ．81

D ．80

2. （2011年海淀二模5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ ）

A.16 Ｂ.8 Ｃ.22 Ｄ.4

3. 数列{}n a 满足11

11

(2)3n n a a n n N a +-==-≥∈，，，则2008a 等于（ ）

A ．1

3

B ．3

C ． 13-

D ．-3

4. （2011年东城区期末理11）在数列{}n a 中，若12a =，且对任意的正整数,p q 都有

q p q p a a a =+，则8a 的值为 ．

5. （2010年东城二模6）已知函数6(3)3,7

(),

7.x a x x f x a x ---≤?=?>?，若数列{}n a 满足*()()n a f n n =∈N ，且{}n a 是递增数

列，则实数a 的取值范围是

（ ）

A ．9

[3)4

，

B ．9(3)4

，

C ．（2，3）

D ．（1，3）

6. 已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x y ∈R ，，

都有()()()f x y xf y yf x ?=+成立．数列{}n a 满足(2)n n a f =()n ∈*N ，且12a =．则数列的通项公式n a =__________________ ．

二、数列的递推公式

7. （2006年重庆12）在数列{}n a 中，若11123(1)n n a a a n +==+≥，，则该数列的通项n a =

8. 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ????=L ，求数列{}n a 的通项公式n a ．

9. 若数列{}n a 中，13a =，且2+1n n a a =（n 是正整数），则数列的通项公式时n a =

10. 已知数列{}n a ，满足112311+2+3+1)(2)n n a a a a a n a n -==-≥L ，（，则{}n a 的通项 11)

(2)

n n a n =?=?

≥?

（

11. 求满足下列条件的数列{}n a 的通项公式

（1）已知{}n a 满足+11

21

1

+

412

n n a a a n ==-，，求n a （2）已知{}n a 满足+13n n n a a =，且13a =，求n a

二、n a 与n S 的关系

12. （2011年四川9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1113(1)n n a a S n -==≥，，则6a =（ ）

A ．3 ×44

B ．3 ×44+1

C ．44

D ．44+1

13. 设数列{}n a 的前n 项和为111

,1(1)3

n n n S a a S n +==≥，，

则n a =______

14. 已知下列个数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式 （1）=n n S n （-1)；（2）=32n n S -；（3）21=(2)1n n S n a n a ≥=，

15. 已知下列个数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式 （1）2=231n S n n --（2）2=10n S n n -

等差数列

二、等差数列

1．等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．．，那么这个数列就叫等差数列．．．．，这个常数叫做等差数列的公差．．

，公差通常用字母d 表示． 用递推公式表示为a n - a n - 1 = d (n ≥ 2)或a n + 1 - a n = d (n ∈ N *)． 2．等差数列的通项公式：a n = a 1 + (n - 1)d = a m + (n - m )d ． 3．等差中项的概念：

定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．．．．

．其中2

a b

A +=． 说明：a ，A ，b 成等差数列 ? 2a b

A +=． 4．等差数列的前n 和公式：11()(1)

22

n n n a a n n S na d +-==+．

5．等差数列的性质：

(1) 在等差数列{a n }中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等差中项． (2) 在等差数列{a n }中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列． 如：a 1，a 3，a 5，a 7，…；a 3，a 8，a 13，a 18，…．

(3) 在等差数列{a n }中，对任意m ，n ∈ N *，a n = a m + (n - m )d ，n m

a a d n m

-=

-(n ≠ m )． (4) 在等差数列{a n }中，若m + n = s + t (m ，n ，s ，t ∈ N *)，则a m + a n = a s + a t ． (5) 等差数列{a n }中，公差为d ，

若d > 0，则{a n }是递增数列；若d = 0，则{a n }是常数列；若d < 0，则{a n }是递减数列． 6．数列最值：

(1) a 1 > 0，d < 0时，S n 有最大值；a 1 < 0，d > 0时，S n 有最小值． (2) S n 最值的求法：

① 若已知S n ，可用二次函数最值的求法(n ∈ N *)；

② 若已知a n ，则S n 取最值时n 的值(n ∈ N *)可如下确定100n n a a +≥??≤?或1

0n n a a +≤??≥?．

1. (1) 求等差数列8，5，2，…的第20项；

(2) - 401是不是等差数列- 5，- 9，- 13，…的项？如果是，是第几项？ 解：(1) 由a 1 = 8，d = 5 - 8 = - 3，n = 20，得a 20 = 8 + (20 - 1) ? (- 3) = - 49． (2) 由a 1 = - 5，d = - 9 - (- 5) = - 4，得数列通项公式为：a n = - 5 - 4(n - 1)，

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得- 401 = - 5 - 4(n - 1)成立，解之得n = 100，即- 401是这个数列的第100项．

2. (2011湖南理12)设S n 是等差数列{a n }(n ∈ N *)，的前n 项和，且a 1 =1，a 4 = 7，则S 5 = ．

【答案】25

【解析】由a 1 =1，a 4 = 7可得a 1 =1，d = 2，a 5 = 9，所以5(19)5

252

S +?=

=．

3. (2012辽宁理6)在等差数列{a n }中，已知a 4 + a 8 = 16，则该数列前11项和S 11 = ( B )

A ．58

B ．88

C ．143

D ．176 【解析】在等差数列中，∵a 1 + a 11 = a 4 + a 8 = 16，∴1111111()

882

a a S ?+=

=，答案为B ．

4. (2012江西理12) 设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1 + b 1 = 7，a 3 + b 3 = 21，则a 5 + b 5 = ．

【答案】35

【考点】本题考查等差数列的概念和运算．考查等差中项的性质及整体代换的数学思想． 【解析】(解法一)因为数列{a n }，{b n }都是等差数列，所以数列{a n + b n }也是等差数列．

故由等差中项的性质，得(a 5 + b 5) + (a 1 + b 1) = 2(a 3 + b 3)，即(a 5 + b 5) + 7 = 2 ? 21，解得a 5 + b 5 = 35． (解法二)设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，

因为a 3 + b 3 = (a 1 + 2d 1) + (b 1 + 2d 2) = (a 1 + b 1) + 2(d 1 + d 2) = 7 + 2(d 1 + d 2) = 21， 所以d 1 + d 2 = 7．所以a 5 + b 5 = (a 3 + b 3) + 2(d 1 + d 2) = 35．

5. 等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2 + a 4 + a 15的值是一个确定的常数，则数列{S n }中也为常数的项是

( C )

A ．S 7

B ．S 8

C ．S 13

D ．S 15

【解析】设a 2 + a 4 + a 15 = p (常数)，∴3a 1 + 18d = p ，即a 7 =31p ．∴S 13 =2

)(13131a a +?= 13a 7 =313

p ．

6.(2012浙江理7)设S n是公差为d (d≠ 0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是( C )

A．若d < 0，则数列{S n}有最大项

B．若数列{S n}有最大项，则d < 0

C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n > 0

D．若对任意n∈N*，均有S n > 0，则数列{S n}是递增数列

【解析】选项C显然是错的，举出反例：- 1，1，3，5，7，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n > 0不恒成立．故选C．

7.把正整数按下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设S n表示第n组

中所有各数的和，那么S21等于( B )

A．1113 B．4641 C．5082 D．53361

【分析】第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数．

解：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1 + 2 + 3 + … + 20 = 210个数，于是第21组的第一个数为

211，这组一共有21个数，S21 = 21 ? 211 +2120

2

?? 1 = 4641，故选B．

【说明】认真分析条件，转化为数列的基本问题．

8.已知数列{a n}的前n项和S n = 10n-n2 (n∈N*)，又b n = | a n |，求b n的前n项和T n．

解：由题可得：a1 = 9，当n > 1时a n = S n-S n- 1 = - 2n + 11，

若使a n = - 2n + 11 ≥ 0，则n≤ 5.5，即数列的前5项非负，以后各项均负，

∴当n≤ 5时，T n = S n = 10n-n2，

当n≥ 6时，

T n = a1 + a2 + … + a5- (a6 + a7 + … + a n)= 2(a1 + a2 + … + a5) - (a1 + a2 + … + a n)

= 2S5-S n = 50- (10n-n2)，

∴

2

2

10(05

10505

n

n n n

T

n n n

?-+<≤

?

=?

-+>

??

)

()

．

故第n组的第一个数是(n2-n- 1) + 2 = n2-n + 1．

9.设等差数列{a n}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n．

(1) 若a11 = 0，S14 = 98，求数列{a n}的通项公式；

(2) 若a1≥ 6，a11 > 0，S14≤ 77，求所有可能的数列{a n}的通项公式．

解：(1) 由S14 = 98，得2a1 + 13d = 14，

又a11 = a1 + 10d = 0，解得d = - 2，a1 = 20，

所以数列{a n}的通项公式是：a n = 22 - 2n．

(2) 由

14

11

1

77

6

S

a

a

≤

?

?

>

?

?≥

?

，得

1

1

1

21311

100

6

a d

a d

a

+≤

?

?

+>

?

?≥

?

，即

1

1

1

21311

2200

212

a d

a d

a

+≤

?

?

--<

?

?-≤-

?

①

②

③

由① + ②得- 7d < 11，即

11

7

d>-，① + ③得

1

13

d≤-，

∴

111

713

d

-<≤-，又d∈Z，∴d = - 1，

从而得10 < a1≤ 12，由a1∈Z，得a1 = 11或a1 = 12，

故所有可能的数列{a n}的通项公式是：a n = 12 -n和a n = 13 -n．

等比数列

三、等比数列

1．等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q 表示(q ≠ 0)，即：a n + 1∶a n = q (q ≠ 0)．

注意条件“从第2项起”、“常数”q ．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零． 2．等比数列的通项公式为：a n = a 1q n - 1 (a 1 ≠ 0，q ≠ 0)．

说明：(1) 由等比数列的通项公式可知：当公比q = 1时，该数列既是等比数列也是等差数列； (2) 由等比数列的通项公式知：若{a n }为等比数列，则

n

m

a a = q n - m ，即a n = a m q n - m ． 3．等比中项：如果a ，G ，

b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．其中G 2 = ab ，即G ab = 说明：两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项，它们互为相反数．

4．等比数列前n 项和公式：11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q

=??

=-?≠?-?

(错位相减法)．

说明：(1) a 1，q ，n ，S n 中已知三个可求第四个；

(2) 注意求和公式中是q n ，通项公式中是q n - 1，不要混淆； (3) 应用求和公式时，必要时应分q ≠ 1和q = 1的情况讨论． 5．等比数列的性质：

(1) 等比数列任意两项间的关系：

如果a n 是等比数列的第n 项，a m 是等比数列的第m 项，公比为q ，则有a n = a m q n - m ． (2) 对于等比数列{a n }，若m + n = s + t (m ，n ，s ，t ∈ N *)，则a m ? a n = a s ? a t ．

(3) 若{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，m ∈ N *，那么当q ≠ -1或m 为奇数时，S m ，S 2m - S m ，S 3m - S 2m 成等比数列．

(4) 等比数列{a n }中，a n + 1 = a n q ，a n + 12 = a n a n + 2． (5) 等比数列{a n }中，若公比为q ，则

① 当a 1 > 0，q > 1或a 1 < 0，0 < q < 1时为递增数列； ② 当a 1 < 0，q > 1或a 1 > 0，0 < q < 1时为递减数列；

③ 当q < 0时为摆动数列； ④ 当q = 1时为常数列．

高中数学数列综合专项练习讲义

高中数学数列综合专项 练习讲义 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

专题数 列综合 考点精要 会求简单数列的通项公式和前n 项和． 热点分析 数列的通项和求和，历来是高考命题的常见考查内容．要重点掌握错位相减法，灵活运用裂项相消法，熟练使用等差和等比求和公式，掌握分组求和法． 知识梳理 1.数列的通项求数列通项公式的常用方法： （1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、 数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。 （2）公式法：等差数列与等比数列。 （3）利用n S 与n a 的关系求n a ：则???≥-==-2111 n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ） （4）逐项作差求和法（累加法）；已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，则求n a 可用累加法 （5）逐项作商求积法（累积法）;已知 )2)((1 ≥=-n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，求n a 用累乘法. （6）转化法 2几种特殊的求通项的方法 （一）1n n a ka b +=+型。 （1）当1k =时，{}1n n n a a b a +-=?是等差数列，1()n a bn a b =++ （2）当1k ≠时，设1()n n a m k a m ++=+，则{}n a m +构成等比数列，求出{}n a m +的通项，进一步求出{}n a 的通项。 例：已知{}n a 满足111,23n n a a a +==-，求{}n a 的通项公式。

高二数学 数列教案

高二数学 数列教案 【基础概念】 1．数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个 位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2019年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式 就叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈） ， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ① {}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数 列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替 ()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关

数列求和讲义及练习题

数列求和 数列求和这类问题在初中、高中乃至大学的课本里都占有一定的比例，我们在小学学习数列求和问题的目的旨在发散思维，断炼学生观察事物的能力，通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律。 【知识要点】 数列：若干个数排成一列称为数列。 项：数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。特殊的数列——等差数列：数列中任意相邻两项的差相当 公差：等差数列中相邻两项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 【例题讲解及思维拓展训练题】 例1：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项 列表分析找规律： 解：第100项=3+（100－1）×4=399. 总结：通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 思维拓展训练一： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。 例2：有一个数列：4，10，16，22，…，52.这个数列共有多少项？ 分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52. 总结例1：要求一列数有多少项，可以先求出末项比首项多的公差的个数，再加1.解：项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 总结：项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 思维拓展训练二： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2，5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？

(浙江专用)2020版高考数学 数列的综合应用讲义(含解析)

第2课时 数列的综合应用 题型一 数列和解析几何的综合问题 例1 (2004·浙江)已知△OBC 的三个顶点坐标分别为O (0,0)，B (1,0)，C (0,2)，设P 1为线段BC 的中点，P 2为线段CO 的中点，P 3为线段OP 1的中点，对于每一个正整数n ，P n ＋3为线段 P n P n ＋1的中点，令P n 的坐标为(x n ，y n )，a n ＝1 2 y n ＋y n ＋1＋y n ＋2. (1)求a 1，a 2，a 3及a n 的值； (2)求证：y n ＋4＝1－y n 4 ，n ∈N * ； (3)若记b n ＝y 4n ＋4－y 4n ，n ∈N * ，求证：{b n }是等比数列． (1)解 因为y 1＝y 2＝y 4＝1，y 3＝12，y 5＝3 4， 所以a 1＝a 2＝a 3＝2， 又由题意可知y n ＋3＝ y n ＋y n ＋1 2 ， 所以a n ＋1＝1 2y n ＋1＋y n ＋2＋y n ＋3 ＝12y n ＋1＋y n ＋2＋y n ＋y n ＋12 ＝1 2y n ＋y n ＋1＋y n ＋2＝a n ， 所以{a n }为常数列， 所以a n ＝a 1＝2，n ∈N * . (2)证明 将等式12y n ＋y n ＋1＋y n ＋2＝2两边除以2得14y n ＋y n ＋1＋y n ＋2 2＝1. 又因为y n ＋4＝ y n ＋1＋y n ＋2 2 ， 所以y n ＋4＝1－y n 4，n ∈N * . (3)证明 因为b n ＋1＝y 4n ＋8－y 4n ＋4 ＝? ????1－ y 4n ＋44－? ?? ?? 1－y 4n 4 ＝－14(y 4n ＋4－y 4n )＝－1 4b n ， 又因为b 1＝y 8－y 4＝－1 4 ≠0，

等差数列概念及通项公式经典教案

等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ； 2.完成教材助读设置的问题，然后结 合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n

2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第五节数列的求和 文

第五节 数列的求和 掌握等差数列、等比数列的前n 项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活地运用这些方法解决相应问题． 知识梳理 一、直接用等差、等比数列的求和公式求和 1．等差数列{}a n 的前n 项和公式． S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2 d . 2．等比数列{}a n 的前n 项和公式． S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. (注意：公比含字母时一定要分类讨论) 二、错位相减法求和 例如{}a n 是等差数列，{}b n 是等比数列，求a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q ，然后将两式相减，相减后以“q n ”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)． 三、分组求和 把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和． 四、并项求和 例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和可用此法． 五、裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项． 1．特别是对于???? ??c a n a n ＋1，其中{}a n 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即

利用c a n a n ＋1＝c d ??? ?1a n －1a n ＋1(其中d ＝a n ＋1－a n )． 2．常见的拆项． 1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ???12n －1－12n ＋1； 1n (n ＋1)(n ＋2)＝12? ???1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)； 六、公式法求和 ∑k ＝1n k ＝n (n ＋1)2；∑k ＝1n ()2k －1＝n 2；∑k ＝1n k 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6； ∑k ＝1n k 3＝????n (n ＋1)22. 七、倒序相加法求和 如果一个数列{a n }多与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和就是用此法推导的． 八、其他求和法 如归纳猜想法、奇偶分拆法等． 基础自测 1．(2012·南阳一中考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 解析：由等差数列的性质知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，∴9,36－9，S 9－36成等差数列，即54＝9＋S 9－36.∴S 9＝81.∴a 7＋a 8＋a 9＝81－36＝45.故选B. 答案：B 2．(2013·三亚质检)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100 解析：由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)

高中数学 必修五 数列 全套教案(知识讲解+经典例题+巩固练习+答案)

数列的概念与简单表示法 【学习目标】 1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题. 2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系. 3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项. 4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】 数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决. 【要点梳理】 要点一、数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释： ⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项. 要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号. 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项. 要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和 数列的通项公式 如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

2020届高三第一轮复习讲义【22】-数列综合1

2020届高三第一轮复习讲义【22】-数列综合1（参数范围问题） 一、同步知识梳理 1、数列求单调性； 令()n f a n =，若()()01>-+n f n f ，则{}n a 递增；()()01<-+n f n f ，递减； 同理，已知0>n a ，令()n f a n =，若()()11>+n f n f ，则{}n a 递增；()() 11<+n f n f ，递减； 2、数列凸凹性； 若221+++≥ n n n a a a ，则{}n a 称之为上凸数列；若2 2 1+++≤n n n a a a ，则{}n a 称之为下凸数列； 上凸数列满足：()* +-∈<<≥≥≥≤≤≤≤N k n k a a a a a a n k k k ,11121ΛΛ，则k a 为最大值； 下凸数列满足：( ) * +-∈<<≤≤≤≥≥≥≥N k n k a a a a a a n k k k ,11121ΛΛ，则k a 为最小值； 3、数列周期性； 对于数列{}n a ，如果存在一个常数T （*T N ∈），使得对任意的正整数0n n >，恒有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列。若01n =，则称数列{}n a 为纯周期数列，若02n ≥，则称数列{}n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。周期数列主要有以下性质： ①周期数列是无穷数列，其值域是有限集； ②周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）； ③如果T 是数列{}n a 的周期，则对于任意的*k N ∈，kT 也是数列{}n a 的周期； ④如果T 是数列{}n a 的最小正周期，M 是数列{}n a 的任一周期，则必有|T M ，即M kT =，*k N ∈； ⑤已知数列{}n a 满足n t n a a +=（,*n t N ∈，t 为常数），,n n S T 分别为{}n a 的前n 项的和与积，若n qt r =+，0r t ≤<， ,*q r N ∈，则n t r S qS S =+，()q n t r T T T =； 常见形式：可参照函数周期性进行类比！ 例如：) (1 1)(x f a x f - =+，则()x f 是以a T 3=为周期的周期函数. 则数列：n k n a a 1 1-=+，则{}n a 是以k T 3=为周期的周期数列；

数列教案

数列教案 【基础概念】 1．数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个 位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2019年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式 就叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211 ，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈） ， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ① {}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数 列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替 ()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关

数列求和与综合(讲义)

数列求和与综合（讲义） 知识点睛 一、数列求和 1． 公式法： （1）等差数列前n 项和公式； （2）等比数列前n 项和公式． 2． 错位相减法： 适用于形如{}n n a b ?的数列，其中{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比q ≠1的等比数列． 方法： 设1122n n n S a b a b a b =+++… ① 则12231 n n n qS a b a b a b +=+++… ② ①-②得：11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++-…，转化为公式法求和． 3． 裂项相消法： 把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法．常见类型有： （1） 1111 ()()n n k k n n k =-++； （2） 21 111()4122121 n n n =---+； （31 k =； （4）1 log (1)log (1)log a a a n n n +=+-． 4． 其他方法： （1）分解法：分解为基本数列求和，比如数列{}n n a b +，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列． （2）分组法：分为若干组整体求和，经常分为偶数项之和与奇数项之和， 比如通项公式为(1)n n a n =-的数列{}n a ． （3）倒序相加法：把求和式倒序后两和式相加，适用于具有对称性质的数列求和． 二、 数列综合 1. 已知n S 求n a 的三个步骤： （1）先利用11a S =，求出1a ；

（2）用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系式， 利用1(2)n n n a S S n -=-≥求出当2n ≥时n a 的表达式； （3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写，即 11 1 2n n n a n a S S n -=?=?-?≥， ，． 2. 非等差或等比数列的转化： （1 ）转化为1{} n a 2 {}n a 、1{}n n a a +-等形式的等差、等比数列； （2）形如1=(010)n n a pa q p q ++≠≠，，的数列，转化为等比数列，设1+=()n n a p a λλ++，可解得= 1 q p λ-，则数列{}n a λ+为等比数列； （3）形如11=(010)n n n a pa qp p q +++≠≠，，的数列，转化为等差数列，两端同时除以1n p +，即得11n n n n a a q p p ++-=，则数列{}n n a p 为等差数列． 精讲精练 1. 在数列{}n a 中，1(1)n a n n = +，若它的前n 项和为2 014 2 015 ， 则项数n 为（ ） A ．2 013 B ．2 014 C ．2 015 D ．2 016

数列教案、考点、经典例题_练习

澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以 成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！ 高中数学 一、定义 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二．例题讲解。 一.基本问题 例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：

等比数列教案经典

《等比数列》教学设计（共2课时） 第一课时 1、创设情境，提出问题 （阅读本章引言并打出幻灯片） 情境1：本章引言内容 提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为： 1，2，,2,2,2432 ……，632 （1） 于是发明者要求的麦粒总数是 情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？ 10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… （2） 情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？,8 1,41,21…… （3） 问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)2 1( 2、自主探究，找出规律： 学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q )0(≠q 表示，即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。 如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,2 1 点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。 ??????23631+2+2+2++2

高三第一轮复习讲义【24】-数列综合3

2018届高三第一轮复习讲义【24】-数列综合3（简单的参数取整问题） 一、同步知识梳理 1、2个连续正整数的乘积一定是偶数； 2、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数?偶数＝偶数，奇数?偶数＝偶数，奇数?奇数＝奇数； 3、若正整数n k >，则1+≥n k ，同理：若n k <，则1-≤n k ； 4、若p 、q 、r 分别为三个正整数，且r q p <<，1≥-p q ，2≥-p r ； 5、奇数的平方都可以表示成18+m 的兴衰，偶数的平方可以表示成m 8或48+m 的形式； 6、若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。 7、平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9； 8、偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1 9、任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。 10、1°0,1122==→+=n m n m ；2°1,2222==→+=n m n m ；以此类推…… 同理，3的指数也如此：1,2633==→+=y x y x 。 11、()( )1 2 111-++++-=-n n a a a a a ； 12、()() 121212 2+-=-n n n ； 13、质素：有且只有2个素因数，1和身；合数：除了1和本身之外还有第三个因素； 14、被2整除，末尾是2的倍数； 15、被3整除，数字之和是3的倍数； 16、被5整除，末尾数字是0或者5，或者最后2位数字组合为（00,25,50,75）； 17、被7整除，①割尾法： 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 ②末三法： 这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（反过来也行）能被7、11、13整除。这个数就能被7、11、13整除。

数列求和优秀教案设计

题组教学：“探索—研究—综合运用”模式 ——“数列的裂差消项求和法解题课”教学设计 【课例解析】 1 教材的地位和作用 本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到提高学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。 2 学情分析 在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂差消项求和法，本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。本节课的容和方处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好的完成本节课的教学任务。【方法阐释】 本节课的教学采用心智数学教育方式之“题组教学”模式，分为“创设情景、导入新课，题组探索、自主探究，题组研究、汇报交流，题组综合、巩固提高，归纳总结、提升拓展”五个教学环节． 本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入，从课本习题的探究入手展开教学，学生能自主发现裂差消项求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的研究性题组和综合性题组又从更深更广的层面加强裂差消项求和法的应用。 【目标定位】

1 知识与技能目标 掌握裂项相消法解决数列求和问题的基本思路、方法和适用围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。 3 情感与价值观目标 通过数列裂差消项求和法的推广应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。 4教学的重点和难点 本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。 【课堂设计】 一、创设情景、导入新课 教师：请同学们回忆一下，我们在推导数列求和公式时，先后发现了哪几种数列求和的方法？ 学生1：在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。在等比数列求和公式的推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。 学生2：在学习求和过程中，我们还发现了分组求和法和通项转换法。

第10讲 数列单调性问题-新高考数学之数列综合讲义

第10讲 数列单调性问题 一．选择题（共3小题） 1．已知数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，* n N ∈，在数列{}n a 中，2 163 n n a n =-，设数列{}n b 中 的最小项是第k 项，则k 等于( ) A ．30 B ．28 C ．26 D ．24 【解析】解：数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，* n N ∈，在数列{}n a 中，2 163n n a n =-， ∴叠加可得2147 3(16)33 n n b b n -=-+， 21(24)529n b n b ∴=--+， 24n ∴=，n b 最小， 故选：D ． 2．在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B ． 865 8 C ． 825 8 D ．108 【解析】解：22293n a n n =-++对应的抛物线开口向下，对称轴为29291 72244 n =- ==-?， n 是整数， ∴当7n =时，数列取得最大值，此时最大项的值为27272973108a =-?+?+=， 故选：D ． 3．设函数6(3)3,7 (),7x a x x f x a x ---?=?>? ，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的 取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(2,3) C ．9 (,3)4 D ．(1,2) 【解析】解：函数6(3)3,7 (),7x a x x f x a x ---?=?>? ， 数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列 ∴2130187a a a a >??->??>-?，解得：1 32,9a a a a >??<-? 或，

2.1 数列的概念与简单表示法(一)(优秀经典公开课比赛教案)

澜沧拉祜族自治县第一中学教案 第二章数列 2.1 数列的概念与简单表示法（一） 学科：数学年级：高二 备课教师：刘德清、龙新荣、郭晓芳、王焕刚、沈良宏 一、教材分析： 本章首先通过具体例子介绍了一般数列的概念和数列的简单表示法，同时用函数知识加以说明，然后分别介绍了等差数列、等比数列的概念、通项公式以及前n项和公式，并突出了与一次函数、二次函数、指数型函数的联系。 本章的重点是数列的概念，等差数列、等比数列的通项公式以及前n项和公式；本章的难点是等差、等比数列前n项和公式的推导及其综合运用。 二、教学目标： 1、理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的联系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 2、通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力。 3、通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 三、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用。 四、教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析：在形成定义的教学设计中，设置了恰当的教学情境，引导学生合作与交流，强化学生的合作意识、协作精神。 3、教具选择：多媒体 六、教学方法：尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例， 小组讨论，引导学生理解掌握，讲练结合等。 七、教学过程

1、自主导学： 1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项 )，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项． 2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }． 3．数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值． 4. 如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 . 5．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 一、选择题 1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 )1(11 +-+n ，则该数列的前4项依次 为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C. 12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 答案 A 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项 答案 C 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2 －n ＋1 B ．a n ＝2 )1(-n n C ．a n ＝ 2 ) 1(+n n D ．a n ＝n 2＋1 答案 C 二、填空题 4. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝)2(1+n n (n ∈N * )，那么1120 是这个 数列的第______项． 答案 10

必修五数列综合复习——高一数学讲义

高一数学 数列综合 知识点1. 数列的相关基本概念 数列：按照一定顺序排列着的一列数。（有穷数列，无穷数列）（数列{}n a ） 数列中的每一个数叫做项。 递增数列：d > 0 递减数列：d,< 0 常数列：d = 0 摆动数列 数列表示法： （1）通项公式：数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可用一个式子来表示。 （2）递推公式：若已知前项且任一项n a 与其他项之间的关系可用一式子表示的公式 （注意：有的数列无通项公式 有的数列有多个通项公式） 知识点2. 等差数列 等差数列：若一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差为常数的数列。 等差中项：如，a ，A , b 组成等差数列可看成最简单的的等差数列，则A 为a ，b 的等差中项。 等差数列的通项公式： 1(1),()n n m a a n d a a n m d =+-=+- 知识梳理

知识点3.等差数列的相关应用和性质 1.等差数列的判定： （1）d a a n n =-+1（常数）?{}n a 是等差数列 （2）b kn a n +=（b,k 为常数）?{}n a 是等差数列 （3）212+++=n n n a a a （n ∈* N )?{}n a 是等差数列 2.等差数列的常用设法： （1）若有3个数成等差数列?(一般设为）b a a b a +-,, （2）若有4个数成等差数列?d a d a d a d a 3,,,3++-- 3.常用性质：（若{}n a 数列，d 公差） （1）0d >，递增数列；0

2.4 等比数列(一)(优秀经典公开课比赛教案)

澜沧拉祜族自治县第一中学教案 2.4 等比数列（一） 学科：数学年级：高二 主备教师：刘德清、龙新荣、郭晓芳、王焕刚、沈良宏 一、教材分析： 等比数列是来源于现实生活中的一种特殊数列，是数列的重要组成部分。 本节内容在教材中起着承上启下的作用：一方面，学法的承上，本节课之前学习了等差数列，而等比数列和等差数列具有相似性，可以让学生从已有的学习经验出发，将研究等差数列的方法类比到等比数列，促进学生在数学学习活动中获得更扎实的基本技能和基本思想；另一方面，为后续进一步研究等比数列的性质、等比数列前n项和公式，求一般数列的通项公式做好准备，为学生自主探究教材中——《购房中的数学》这一联系生活的问题打下基础。 二、教学目标： 1、掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导。 2、通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 3、充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 三、教学重点：等比数列的定义及通项公式。 四、教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析：既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性。进而达到更好的理解和巩固课堂所学知识的目的。学生在数学学习过程中，对于数学知识之间的有机联

系，感受数学的整体性方面，能力较为欠缺，需要老师在教学过程中抓住时机，加强培养，帮助学生体会类比在数学发现中的作用。 3、教具选择：多媒体 六、教学方法：指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，小组讨 论，引导学生理解掌握，讲练结合等。 七、教学过程 1、自主导学： 1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式：a n ＝a 1q n －1. 3．等比中项的定义 如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab . 一、选择题 1．一个数分别加上20, 50, 100后得到的三个数成等比数列，其公比为 ( ) A.53 B.43 C.32 D.12 答案 A 解析 设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25， ∴这三个数45, 75, 125，公比q 为7545＝53. 2. 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9 答案 B 解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9. 3．若正项等比数列{a n }的公比q ≠ 1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6 等于( ) A.5－12 B.5＋12 C.12 D ．不确定 答案 A