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高中数学函数模型及其应用

2.11 函数模型及其应用

一、填空题

1.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1 x 2(0＜x ＜240，x ∈N ＋)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本

时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．

解析设利润为f (x )(万元)，

则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150. 答案 150

2．某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x 件 (x ∈N*，x≤15)，设最低的购买费用是f(x)元，则f(x)的解析式是____________．

解析 f(x)＝??? 5 000x ，x ∈{1，2，3，4，5}，

4 500x ，x ∈{6，7，8，9，10}，

4 000x ，x ∈{11，12，13，14，15}

这是一个典型的分段函数问题，由题意很容易得到结论．答案 f(x)＝??? 5 000x ，x ∈{1，2，3，4，5}，

4 500x ，x ∈{6，7，8，9，10}，

4 000x ，x ∈{11，12，13，14，15}

3．从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x 和残留消毒液y 之间的函数解析式为________．

解析所倒次数1次，则y ＝19；所倒次数2次，则y ＝19×1920

……所倒次数x 次，则y ＝19? ????1920x －1＝20? ??

??1920x . 答案 y ＝20? ??

??1920x 4．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，

那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车(精确到 1小时)．

解析设至少经过x 小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09， ∴0.75x ≤0.3.x ≥log 0.750.3≈5.

答案 5

5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：

明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文

已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．

解析依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.

答案 4

6．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200 kg ，配料的价格为1.8元/kg ，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/kg 支付．当9天购买一次配料时该厂用于配料的保管费用P ＝________.

解析当9天购买一次配料时，该厂用于配料的保管费用

P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．

答案 88元

7．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，则本利和y 随存期x 变化的函数关系式是________．解析已知本金为a 元，利率为r ，则

1期后本利和为y ＝a ＋ar ＝a (1＋r )，

2期后本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2，

3期后本利和为y ＝a (1＋r )3，

……

x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*.

答案y＝a(1＋r)x，x∈N*

8．2002年初，甲、乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.2010年初在经济指标对比时发现，这两家企业在2002年和2009年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长：企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则2010年两企业缴纳地税的情况下列说法中正确的是________(填序号)．①甲多②乙多

③甲乙一样多④不能确定

解析设企业甲每年缴纳的地税组成数列{a n}，

由于企业甲年增长数相同，所以数列{a n}是等差

数列，则a n是关于n的一次函数．设企业乙每年

缴纳的地税组成数列{b n}，由于企业乙年增长率

相同，所以数列{b n}是等比数列，则b n是关于n的

指数型函数．根据题意，a1＝b1，a8＝b8，如图知

＜b9，故2010年企业乙缴纳的地税多．

答案②

9．将函数y2－x－12－1(x∈[0,2])图象绕原点逆时针方向旋转θ角(0≤θ≤α)，得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值是________．

解析由函数定义，若曲线对应的方程为函数

解析式时，直线x＝a与该曲线若相交，则仅有

一个交点，如图，当α＝π

时符合题意．

答案π4

10．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注入2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止，现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗浴．

解析由题意得水箱内的水量为y ＝200－34t ＋2t 2

＝2? ????t －1722＋200－1722，当t ＝172时，水箱内的水量达到最小值，此时放水量为172×34＝289升，而4＜28965＜5，所以该热水器一次至多可供4个人洗浴．

答案 4

11.某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为____________.(lg2=0.301 0,lg11.49=1.060 2)

解析设产值平均年增长率为x,则

10(1)4x +=. 两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.

∴lg 203010(1)010x ?.+==.060 2.

∴00602110x .+=.又∵lg11.49=1.060 2,

∴11.106020060249101010..==?.

∴00602101.=.149.

因此1+x=1.149,x=0.149=14.9%.

答案 14.9%

12．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式为________．

解析设新价为b ，依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%，化简

得b ＝54a ，所以y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ，即y ＝a 4

x (x ∈N *)．答案 y ＝a 4

x (x ∈N *) 13．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．

①则第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )＝________.

②据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．则服药一次后治疗有效的时间是________小时．

解析 ①设y ＝???

kt ， 0≤t ≤1，? ????12t －a

，t ＞1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由? ????121－a ＝4得a ＝3.则y ＝??? 4t ， 0≤t ≤1，? ????12t －3，t ＞1. ②由y ≥0.25得??? 0≤t ≤1，4t ≥0.25

或??? t ＞1，? ????12t －3≥0.25，

解得116≤t ≤5 因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916

小时．答案 ①y ＝??? 4t ，0≤t ≤1，? ????12t －3，t ＞1 ②7916

二、解答题

14．即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)

解析设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节，

则设t ＝kn ＋b .由??? 16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b ，

解得??? k ＝－2，b ＝24.

所以t ＝－2n ＋24. 设每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y 人，

则y ＝tn ×110×2＝2(－220n 2＋2 640n )．

当n ＝2 640440

＝6时，总人数最多为15 840人．故每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人．

15．某销售商销售某品牌手机，该品牌手机的进价为每部1 580元，零售价为每部1 880元．为促进销售，拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法，且赠送礼物的价值不超过180元．统计表明：在促销期间，礼物价值每增加15元(礼物的价值都是15元的整数倍，如礼物价值为30元，可视为两次增加15元，其余类推)，销售量都增加11%.

(1)当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍？

(2)试问赠送礼物的价值为多少元时，商家可获得最大利润？

解析设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为m 部，

(1)原来利润为(1 880－1 580)m ＝300m (元)，

当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润为

(1 880－1 580－30)m (1＋11%)2＝1.232 1×270m ，

1.232 1×270m 300m

＝1.108 89，即当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的1.1倍．

(2)当赠送礼物的价值为15x 元时，销售的总利润为f (x )元，则f (x )＝(1 880－1 580－15x )·m ·(1＋11%)x

＝15m (20－x )·1.11x ，x ∈N ，且x ≤12，

f (x ＋1)－f (x )＝15m (1.09－0.11x )·1.11x ，

令f (x ＋1)－f (x )≥0，得x ≤9

1011

. 因为x ∈N ，且x ≤12，

所以当x ≤9时，f (x ＋1)＞f (x )；当9＜x ≤12时，f (x ＋1)＜f (x )．

故当赠送礼物的价值为150元时，可以获得最大利润．

16．某地区的农产品A 第x 天(1≤x≤20)的销售价格p ＝50－|x －6|(元∕百斤)，一农户在第x 天(1≤x≤20)农产品A 的销售量q ＝40＋|x －8|(百斤)．

(1)求该农户在第7天销售农产品A 的收入；

(2)问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？

解析 (1)由已知第7天的销售价格p ＝49，销售量q ＝41.

∴第7天的销售收入W 7＝49×41＝2 009(元)．

(2)设第x 天的销售收入为W x ，

则W x ＝??? 44＋x 48－x

，1≤x ≤6，

2 009，x ＝7，

56－x 32＋x ，8≤x ≤20.

当1≤x ≤6时，W x ＝(44＋x )(48－x )≤?

?????44＋x ＋

48－x 22＝2 116，当且仅当x ＝2时取等号．

∴当x ＝2时取最大值W 2＝2 116. 当8≤x ≤20时，W x ＝(56－x )(32＋x )≤????

??56－x ＋32＋x 22＝1 936.(当且仅当x ＝12时取等号)∴当x ＝12时取最大值W 12＝1 936.

由于W 2>W 7>W 12，∴第2天该农户的销售收入最大．

答：(1)第7天的销售收入为2 009元；(2)第2天该农户的销售收入最大．

17． 2014年青奥会水上运动项目将在J 地举行，截止2010年底，投资集团B 在J 地共投资100万元用于地产和水上运动项目的开发，经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B 集团预期可从三个方面获得利润：

一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．

(1)B 集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？

(2)假设2012年起，J 地政府每年都要向B 集团征收资源占用费，2012年征收2百万元后，以后每年征收的金额比上一年增加10%，若B 集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于投资额的18%，问B 集团投资是否成功？

解析 (1)设B 集团用于水上运动项目的投资为x 百万元，四年的总利润为y 百

万元．

由题意，y ＝0.2(100－x )＋x ＋10

＝－0.2x ＋x ＋30，x ∈[0,100]．

即y ＝－0.2(x －2.5)2＋31.25，x ∈[0,10]．所以当x ＝2.5，即x ＝6.25时，y max ＝31.25.

故B 集团在水上运动项目投资6.25百万元，所获得的利润最大，为31.25百万元．

(2)由(1)知，在上交资源占用费前，y max ＝31.25，y min ＝20.

由题意，得从2012年到2014年，B 集团需上交J 地政府资源占用费共为 2(1＋1.11＋1.12)＝6.62(百万元)．

所以B 集团这四年的预期利润中值为31.25＋202

－6.62＝19.005. 由于19.005100

＝19.005%＞18%，所以B 集团投资能成功．故B 集团在J 地投资能成功．

18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k

3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万

元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k 的值及f (x )的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．

解析 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，

再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝

403x ＋5. 而建造费用为C 1(x )＝6x .

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5

＋6x (0≤x ≤10)．

(2)f (x )＝2????

??4003x ＋5＋3x ＋5－10≥2×2400－10＝70(当且仅当4003x ＋5＝3x ＋5，即x ＝5时，“＝”成立)，所以当x ＝5时，f (x )min ＝f (5)＝70.故隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．

高中数学函数最值问题的常见求解方法

一、配方法例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值．解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ．二、判别式法对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值．例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值．解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y ．因此 4 5 max = y ，无最小值．例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ．同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ．注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法例4：已知函数1 1 3452 2+++=x x x y ，求y 的最值．解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ．因此 7max =y ，1min -=y ．例5：已知函数)(1 2R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01 2 22 =-+-?+=+?++= b y ax yx b ax y yx x b ax y

高中数学函数概念

函数 1、函数的概念定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。已学函数的定义域和值域一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、函数图象定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况：分式中的分母不为零；偶次根式下的数或式大于等于零；实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定；定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．

高中数学：函数模型及其应用练习

高中数学:函数模型及其应用练习 1．已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P 运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S＝f(x)的图象是(D) 解析:依题意知当0≤x≤4时,f(x)＝2x；当4＜x≤8时,f(x)＝8；当8＜x≤12时,f(x)＝24－2x,观察四个选项知D项符合要求． 2．在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(B) x 1.99234 5.15 6.126 y 1.517 4.041 87.51218.01 A.y＝2x－2 B．y＝1 2(x 2－1) C．y＝log2x D．y＝log 1 2x 解析:由题中表可知函数在(0,＋∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大的越来越快,分析选项可知B符合,故选B. 3．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4,[5]＝5；{4.3}＝5,{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推．若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)(C) A．2[x＋1] B．2([x]＋1) C．2{x} D．{2x} 解析:如x＝1时,应付费2元,此时2[x＋1]＝4,2([x]＋1)＝4,排除A、B；当x＝0.5时,付费为

2元,此时{2x }＝1,排除D,故选C. 4．(福建质检)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( C ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 解析:设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为? ???? 12n , 由? ?? ?? 12n ＜11 000得n ≥10.所以,若探测不到碳14含量,则至少经过了10个“半衰期”．故选C. 5．(贵州遵义模拟)某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产,第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加3万元．该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后,盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本),则n 等于( B ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．7或8 解析:盈利总额为21n －9－?????? 2n ＋12×n (n －1)×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为n ＝41 6.所以当n ＝7时取最大值,即盈利总额达到最大值,故选B. 6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装,包装费用、销售价格如下表所示: ①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．

高一数学上册函数公式汇总

高一数学上册函数公式汇总公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2π+α)= sinα cs(2π+α)= csα tan(2π+α)= tanα ct(2π+α)= ctα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)= -sinα cs(π+α)= -csα tan(π+α)= tanα ct(π+α)= ctα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)= -sinα cs(-α)= csα tan(-α)= -tanα ct(-α)= -ctα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值

之间的关系： sin(π-α)= sinα cs(π-α)= -csα tan(π-α)= -tanα ct(π-α)= -ctα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)= -sinα cs(2π-α)= csα tan(2π-α)= -tanα ct(2π-α)= -ctα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= csα cs(π/2+α)= -sinα tan(π/2+α)= -ctα ct(π/2+α)= -tanα sin(π/2-α)= csα cs(π/2-α)= sinα tan(π/2-α)= ctα ct(π/2-α)= tanα

sin(3π/2+α)= -csαcs(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -ctαct(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -csαcs(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= ctαct(3π/2-α)= tanα(以上∈Z)

高一数学函数的概念及表示方法

全方位教学辅导教案姓名性别年级高一教学内容函数与映射的概念及其函数的表示法重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念教学过程课前检查与交流作业完成情况：交流与沟通针对性授课一、函数的概念一、复习引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等问题1：（）是函数吗？问题2：与是同一函数吗？观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课：

高中数学《函数的应用》公开课优秀教学设计

《函数的应用》教学设计一、教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学1》（人教B版）第三章第四节第一课时《函数的应用》．函数的应用是在学生学习了函数，指数函数、对数函数和幂函数的概念与性质后进行的一次综合应用，它不仅能加深学生对所学函数知识的理解，同时能提高学生利用所学知识解决实际问题的能力．通过经历由实际问题建立函数模型，再利用模型分析、解决问题的过程，学生体验了数学在解决实际问题中的价值和作用，体验了数学与日常生活的联系，有助于增强学生的应用意识，激发他们学习数学的兴趣，发展他们的实践能力．二、教学目标设置根据教学内容，以及学生现有的认知水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 1．了解数学建模的基本步骤，会建立函数模型解决实际问题； 2．经历建立函数模型解决实际问题的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力； 3．加深学生对数学应用问题的理解，培养学生的科学态度和反思意识，提高学习数学的兴趣．本节课的教学重点是建立函数模型解决实际问题；本节课的教学难点是选择适当的方案和函数模型解决问题．三、学生学情分析学生已经研究了一次函数、二次函数、指数函数等基本初等函数的图象和性质，能利用函数知识解决简单的数学应用问题．他们初步掌握了图形计算器的使用方法，能根据给定数据进行指定函数模型的拟合．授课班级的学生思维活跃，能积极参与课堂讨论．学生已经对北京的交通情况作了初步的调查和数据整理，对问题背景有一定的了解．但学生应用数学的意

识不强，数据处理能力不足，也缺乏利用数学模型对实际问题进行分析和评价的经验．四、教学策略分析本节课以探究学习作为主要的学习方式，通过情境引入、初步探究、综合应用、总结提升四个环节，逐步将研究引向深入．引导学生通过自主探究、合作交流，经历数学建模的过程，培养应用数学的能力．为了突破难点，落实重点，我采取了以下措施：首先，学生使用图形计算器辅助学习，避免繁琐的计算，为从多角度，多层次研究问题提供了支持．其次，以北京的热点问题——交通问题作为研究背景，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性．第三，将资料的采集和整理工作交给学生课前完成，让学生提前熟悉问题背景，降低探究难度，提高课堂效率．本节课的效果评价以当堂反馈为主，教师通过巡视、提问的方式关注学生的学习过程和学习进展．学生通过自主探索，交流讨论，上台展示等方式，展示学习的效果，发现认知障碍，以便得到及时的引导、分析和纠正．教师还将通过开放式作业进一步评估学生的学习效果．五、教学过程（一）创设情境，引入新课（1）教师对学生之前的调查作简单小结，引导学生回顾他们所提出的问题，引出本节课的课题——函数的应用．设计意图：让学生体会到数学来源于生活，激发学生的学习兴趣，并做好利用所学知识解决实际问题的准备，为后续探究做好铺垫．（2）ppt展示学生作业，师生共同梳理解题过程，并进行题后反思．设计意图： 1. 复习利用确定函数模型解决应用问题的基本方法和步骤． 2. 引发认知冲突，引导学生对问题进行反思，意识到实际问题往往数据多且没有确定的函数模型，从而引出后续的探究活动．（二）初步探究，归纳步骤

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试注：奇变偶不变，符号看象限。注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注：三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：

函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：

高中数学函数常用函数图形及其基本性质

高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见函数性质汇总常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候周期性：无补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k

补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0 a 时；当0