高三理科数学试卷

高三第一次联考试卷 数学（理科）试卷

满分150分 考试时间120分钟

第I 卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1 .设集合1

{|

0}2x A x x

+=≥-，{1,0,1,2}B A B =-I ，则=（ ） A ．}{1,0,1- B. }{2,1,0 C. }{2,1,0,1- D.}{

2,1 2. 设复数21,z z 互为共轭复数， i z 311+

=，则21z z ＝( )

A ．－2＋i

B ．4

C ． －2

D ．－2－i

3. 已知数列{}n a 满足12(2)n n a a n --=≥，且134,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为（ ）

A. 2n a n =

B. 210n a n =+

C. 210n a n =-

D. 24n a n =+ 4.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方 形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为 （ ） A.

64

π

B.

32

π

C.

16π D. 8

π

5.若

2cos 23sin 2cos(

)

4

θθπ

θ=+，则sin 2θ=（ ）

A ．

13 B ．23- C ．2

3 D ．13

- 6. 已知函数2

2()log f x x x =+，则不等式0)1()1(<--f x f 的解集为（ ）

A ．)2,0(

B ．)2,1(-

C ．)2,1()1,0(Y

D ．(1,1)(1,3)-U

7.设向量a r ，b r 满足1,2==b a ρρ

，且)(b a b ρρρ+⊥，则向量b r 在向量2a b +r r 方向上的投影为

( ）

A ．1

B ．1- C. 2

1

-

D ．21

8. 已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的所有面中,面积最大的那个面的面积为( ) A.2 B.23 C.26

D.6

9. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约

数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样。如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入64022046a b ==，时，输出的=a （ ）

A. 66

B. 12

C. 36

D. 198

10. 已知抛物线2:8C y x P =上一点，1:2l x =-直线，

2:35300l x y -+=，则P 到这两条直线的距离之和的最小值为

（ ） A. 2

B. 234

C.

163415 D. 18

3417

11.已知函数2

||33

()()(3)(3)3

x x f x g x b f x x x -≤??==--?-->??，，函数，，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ）

A. 11

(,)4

-

+∞ B. 11(3,)4

--

C. 11(,)4

-∞-

D. (3,0)-

12. 设1=x 是函数3212()1()n n n f x a x a x a x n N +++=--+∈的极值点，数列{}n a 中满足11a =，

22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019

201820182018

[

]b b b b b b +++L =（ ）

A ．2017

B ．2018

C ．2019

D ．2020

正视图

侧视图

俯视图

2

2

11

1

1

第II 卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若

36=?

-dx x n

n

(其中0n >),则()21n

x -的展开式中2x 的系数为 ．

14.已知O 为坐标原点，点M 的坐标为)1,2(，点N ),(y x 的坐标满足??

?

??≤+≤-≥+2211y x x y y x ，则MN 的最

小值为 .

15. 设双曲线C ：22

11221(0,0)x y a b F F a b

-=>>的左焦点为，过作x 轴的垂线交双曲线C 于M ，N 两

点，其中M 位于第二象限，B （0，b ），若BMN ∠是锐角，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________.

16. 已知边长为36的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，沿对角线BD 折成二面角A -BD -C 的大小为

60°的四面体，则四面体ABCD 的外接球的表面积为________．

三、解答题（本大题共6小题，17-21题必答题，每小题12分；22、23题为选做题，任选一题作

答，每小题10分，共70分） 17．（本小题满分12分）

已知函数22()2sin 2sin (),6f x x x x R π

=--∈

（1）求函数()y f x =的对称中心；

（2）已知在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(

),262B b c f ABC a

π++=?的外接圆半径为3，求ABC ?周长的最大值。

18.（本小题满分12分）

交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：

交强险浮动因素和浮动费率比率表

浮动因素

浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20% 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30% 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故

上浮10%

上一个年度发生有责任道路交通死亡事故

上浮30%

某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

类型

数量

20

10

10

20

15

5 以这80（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950=a .某同学家

里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）

（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元：

①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.

19．（本小题满分12分）

如图四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ABCD ⊥平面，底面是梯形，AB ∥CD ，BC CD ⊥，AB=PD=4，CD=2，22AD =，M 为CD 的

中点，N 为PB 上一点，且(01)PN PB λλ=<

。 （1）若1

4

λ=时，求证：MN ∥平面P AD ；

（2）若直线AN 与平面PBC 所成角的正弦值为25

，

求异面直线AD 与直线CN 所成角的余弦值。

20. （本小题满分12分） 如图，已知椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x ， 其左右焦点为

)0,1(1-F 及)0,1(2F ，过点1F 的直线交椭圆C 于B A ,两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于E D ,两点，且||1AF 、||21F F 、||2AF 构成等差数列.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）记D GF 1?的面积为1S ，OED ?（O 为原点）的面积为2S ，试问：是否存在直线AB ，使得

2112S S =？说明理由.

21．（本小题满分12分）

已知函数21

()ln 2

f x x x x =-。

（1）若函数()(0,2)f x m ≥在上恒成立，求实数m 的取值范围.

（2）设函数()(01)x

g x a a a a

=

->≠且，若函数()()['()1]F x g x f x x =+-的图象与x 轴交于点A(1x ,0),B(2x ,0)两点，且0x 是函数()y F x =的极值点，试比较2

,

,2

1021x x x x x +的大小.

选做题，从22、23题任选一题作答，两题都答以第一题作答为准记分。 选修4-4：坐标系与参数方程 22．（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为22cos (2)32sin x y α

απαπα=+?≤≤?

=+?

为参数，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2

sin()4πρθ-=

（1）求曲线C 1与C 2的直角坐标方程；

（2）当C 1与C 2有两个公共点时，求实数t 的取值范围．

选修4-5：不等式选讲 23．（本小题满分10分） 已知函数()|1||2|()f x x x m m R =-++∈ （1）若m=2时，解不等式()3f x ≤

（2）若关于x 的不等式()|23|[0,1]f x x x ≤-∈在上有解，求实数m 的取值范围。

A

B

C

D

P

N

M

参考答案与解析

一、选择题

1-5 DBBAB 6-10 CDCDC 11-12 AC 二、填空题 13.79-

14.8

15.6

16.445π 三、解答题

17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由题意知

1111(2)(4)3(6),

3239,2

a d a d a d a d ++=+????+=??解得10,

3

d a =??

=?（舍去）或

11,2.d a =??

=?所以2(1)11n a n n =+-?=+.(5分)

（2）因为1

1

n n a a +=111(1)(2)12

n n n n =-

++++， 所以12231111n n n T a a a a a a +=

++???+=11()23-+11()34-+…+11()12n n -++=2(2)n n +.（10分） 18. 解：（1

）因为cos 5C =，且C 是三角形的内角，所以

5

. 所以

()sin sin[]sin BAC B C B C π∠=-+=+=

（）

sin cos cos sin B C B C +

=

22

.（4分） (2) 在

△

ABC

中

，

由

正

弦

定

理

，

得

sin sin BC AC

BAC B

=

∠，

所

以

sin sin AC BC BAC B

=∠g

6

10=，于是CD=132

BC =.在△ADC 中，

，（8分） 所以由余弦定理，得

AD=

=，

即中线AD

分)

19. 解：（1）抛物线E ：y 2=4x 的准线l 的方程为x=-1，由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为（±1，2），所以点C 到准线

l 的距离为d=2，

又CO =，所

以

2MN ===.（4分）

（2）设C （200,4y y ），则圆C 的方程为24

222

0000

()()416

y y x y y y -+-=+，即22

200202

y x x y y y -+-=.

由x=-1，得22

00210

2

y y y y -++=.设12-1,-1,M y N y （）（），则2

220002

01244(1)240,2

1

2

y y y y y y ?=-+=->????=+??V 由2AF AM AN =g ，得124y y =，所以20142y +=

，解得0y =0>V .

所以圆心C

的坐标为3(2

或3(,2，从而2

334CO =

，CO =，即圆C

的半径为

.(12分) 20. 解：（1）依题意，12(,0),(,0)A a A a -，P （2，-1），所以12PA PA u u u r u u u u r

g =（-a-2,1）·(a-2,1)=5-a 2,(2

分)

由12PA PA u u u r u u u u r g =1，a>0,得a=2,因为e

=c a

=，所以

，b 2=a 2-c 2=1，（4分）

故椭圆C 的方程为2

214

x y +=.（5分）

（2）假设存在满足条件的点Q （t ，0），当直线l 与x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，

因此直线l 的斜率k 存在，设l ：y+1=k （x-2），

由22

1(2),14

y k x x y +=-???+=??消y ，得（1+4k 2）x 2-（16k 2+8k ）x+16k 2+16k=0，（7分） △=-64k>0,所以k<0,

设1122(,),(,)M x y N x y ，则x 1+x 2=2216814k k k ++,x 1x 2=22

161614k k

k

++, 因为12

12QM QN

y y k k x t x t

+=+-- =212112(21(2()()()

1-)

kx k kx k x t x t x t x t -+------））(=

1212212122(21)()2(21)()kx x k kt x x k t x x t x x t -+++++-++=

222

(48)24(2)8(2)t k t

t k t k t -+-+-+，（10分）

所以要使对任意满足条件的k ，QM QN k k +为定值，则只有t=2，此时QM QN k k +=1.

故在x 轴上存在点Q （2，0）使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值1.（12分） 21. 解：（1）设切点坐标为（x 0，y 0），则y 0=x 0lnx 0,切线的斜率为lnx 0+1， 所以切线l 的方程为y-x 0lnx 0=（lnx 0+1）（x-x 0），又切线l 过点（1，0），

所以有-x 0lnx 0=（lnx 0+1）(1-x 0)，即lnx 0=x 0-1，设h （x ）=lnx-x+1，则1'()x

h x x

-=，x ∈（0,1），

'()0h x >，h （x ）单调递增，x ∈（1,+∞），'()0h x <，h （x ）单调递减，h （x ）max =h(1)=0有唯

一解，所以x 0=1，y 0=0.

所以直线l 的方程为y=x-1.（4分）

（2）因为g （x ）=xlnx-a （x-1），注意到g （1）=0，

所以所求问题等价于函数g （x ）=xlnx-a （x-1）在（1，e]上没有零点.

因为'()ln 1g x x a =+-.所以由'()0g x ?x>e a-1, 所以g （x ）在（0，e a-1）上单调递减，在（e a-1，+∞）上单调递增.（6分） ①当e a-1≤1，即a ≤1时，g （x ）在（1,e]上单调递增，所以g （x ）>g(1)=0. 此时函数g （x ）在（1,e]上没有零点，（7分）

②当1

e-1

时，g （x ）在[1,e]上的最大值g （e ）≥0，即此时函数g （x ）在(1,e]上有零点.（10分） （ii ）当

e

e-1

e

e-1

.(12分) 22. 解：（1）由a=2，

e=2c =，得

,所以

，故所求椭圆方程为22142x y +=.

由已知有

=圆C 2的方程为C 2：x 2+y 2=2.(4分)

（2）设直线l 1方程为y=k （x+2），由22(2),

142

y k x x y =+??

?+

=??得（1+2k 2）x 2+8k 2x+8k 2-4=0，

所以x P +x D =22812k k -+，又x D=221224k k +-，所以DP

D P x -

. 直线l 2的方程为1(2),y x k =-+即x+ky+2=0

，AB ==， 所以

1

2

ABD

S AB DP =V =

1

2

?=

=

24

3223k =

-+

=

3

，当且仅当=，

k=2

±

时取等号，因此△ABD

.(12分)