四边形知识点经典总结
四边形知识点：
名称定义性质判定面积
平行四边形两组对边分别平行的
四边形叫做平行四边
形。
①对边平行；②对边相等；
③对角相等；④邻角互补；
⑤对角线互相平分；
⑥是中心对称图形
①定义；
②两组对边分别相等的四边形；
③一组对边平行且相等的四边形；
④两组对角分别相等的四边形；
⑤对角线互相平分的四边形。
S=ah
(a为一边长，h为这条
边上的高)
矩形有一个角是直角的平
行四边形叫做矩形
①具有平行四边形的性
②对角线相等；
③既是中心对称图形又是
轴对称图形。
④四个角都是直角
①定义
②对角线相等的平行四边形是矩
形；
③有三个角是直角的四边形是矩
形；。
S=ab(a为一边长，b为
另一边长)
菱形有一组邻边相等的平
行四边形叫做菱形。
①具有平行四边形的性质
②对角线互相垂直，且每一
条对角线平分一组对角；
③既是中心对称图形又是
轴对称图形。
④四边形相等
①四条边相等的四边形是菱形；
②对角线垂直的平行四边形是菱
形；③定义。
①S=ah(a为一边长，h
为这条边上的高)；
②(b、c为两条
对角线的长)
正方形
有一组邻边相等且有
一个角是直角的平行
四边形叫做正方形
具有平行四边形、矩形、菱
形的性质：①四个角是直
角，四条边相等；②对角线
相等，互相垂直平分，每一
条对角线平分一组对角；③
既是中心对称图形又是轴
对称图形。
①有一组邻边相等的矩形是正方
形；
②有一个角是直角的菱形是正方
形；
③③定义。
①(a为边长)；
②(b为对角线
长)
一、关系结构图：
A B
D
O
C
A
D
B
C
O
C
D
B
A
O
C
D
A B
1．四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°.
2．多边形的内角和与外角和定理：（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°.
直角三角形
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5.在直角三角形中30°角所对的直角边等于它斜边的一半。
判定
判定1若，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定2：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形判定3若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形斜边中线定理
1．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……；仅是中心对称图形的有：平行四边形……；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…… .注意：线段有两条对称轴.
※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：
2
)3
n(n
.
A
B C
D
12
3
4
A
B C
D
三．精典例题解答：
1．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。
求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF。
证明：（1）∵ AE=CF ∴ AE+EF=CF+FE 即 AF=CE
又ABCD是平行四边形，∴ AD=CB，AD∥BC ∴∠DAF=∠BCE
在△ADF与△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS）
（2）∵△ADF≌△CBE ∴∠DFA=∠BEC ∴ DF∥EB
例1图例2图
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，
求证：四边形BFDE是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC，OB=OD
又∵ AE=CF
∴ OA+AE=OC+CF 即 OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
3．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD 上的点C’处，折痕DE交BC于点E，连结。
求证：四边形是菱形。
证明：根据题意可知
则，，
∵ AD∥BC ∴∴∠CDE=∠CED
∴ CD=CE ∴∴四边形为菱形
例3图
4．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）。试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。
解：HG=HB。
证法1：连结AH，
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形
∴∠B=∠G=90°由题意知AG=AB，又AH=AH
∴ Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）
∴ HG=HB
证法2：连结GB
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形
∴∠ABC=∠AGF=90°
由题意知AB=AG
∴∠AGB=∠ABG
∴∠ABC-∠ABG =∠AGF-∠AGB 即∠HBG=∠HGB
∴ HG=HB
5．如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。
（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相
交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；
（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n。
解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是____AO____和____DE____。
理由如下：
∵在Rt△ADO与Rt△AEO中，AD=AE，AO=AO，
∴ Rt△ADO≌Rt△AEO
∴∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE）
∴ AO⊥DE（等腰三角形的三线合一）
注：其它的结论也成立如GD⊥BE。
（2）∵四边形AEOD的面积为
∴三角形ADO的面积=
∵ AD=2
∴
∴∠DAO=30°
∴∠EAB=30°即旋转的角度是30°
例5图例6图
6．四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG。
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。
证明：（1）如图，
∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°
又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE
∴△ADE≌△CDG
∴ AE=CG
（2）猜想：AE⊥CG。
证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N
∵△ADE≌△CDG
∴∠DAE=∠DCG
又∵∠ANM=∠CND
∴△AMN∽△CDN
∴∠AMN=∠ADC=90°
∴ AE⊥CG
7．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。
证明：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠DAC
∵ AN是△ABC外角∠CAM的平分线
∴∠MAE=∠CAE
∴
又∵ AD⊥BC，CE⊥AN
∴∠ADC=∠CEA=90°
∴四边形ADCE为矩形
（2）当时（答案不唯一），四边形ADCE是正方形。
证明：∵ AB=AC，AD⊥BC于D
∴
又
∴ DC=AD
由（1）四边形ADCE为矩形
∴矩形ADCE是正方形
例8图
8．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。
证明：（1）由折叠可知：，，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD
∴∠B=∠D′，AB=AD′
∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3
∴∠1=∠3
∴△ABE≌△AD′F
（2）四边形AECF是菱形。
由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC
∴∠5=∠6
∴∠4=∠6
∴ AF=AE
∵ AE=EC
∴ AF=EC
又∵ AF∥EC
∴四边形AECF是平行四边形
∵ AF=AE ∴四边形AECF是菱形。
9．如下图，已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD 于点F．