数列的极限知识点-方法技巧-例题附答案和作业题

数列的极限

一、知识要点

1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．

某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作

lim n n a a →∞

=．

（注：a 不一定是｛a n ｝中的项） 2几个重要极限：

（1）01

lim

=∞→n n （2）C C n =∞

→lim （C 是常数） （3）()()()??

?

??-=>=<=∞

→1,11,110lim a a a a a n n 或不存在，

（4）???

??

??<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 0

11101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在

3. 数列极限的运算法则:

如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞

→∞

→那么

B A b a n n n +=+∞

→)(lim B A b a n n n -=-∞

→)(lim

B A b a n n n .).(lim =∞

→ )0(lim

≠=∞→B B A

b a n

n n 4．无穷等比数列的各项和

⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞

=

⑵1

lim ,(0||1)1n n a S S q q

→∞

==

<<- 二、方法与技巧

⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.

⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为

()N m n

m ∈1或()1

型的极限.

⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a .

②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. ③利用已知数列极限（如() 01

lim

,10lim =<=∞→∞

→n

q q n n n 等）. ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.

⑤∞－∞,

∞

∞

,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限

题型讲解

例1 求下列式子的极限： ①n

n

n )1(lim

-∞

→； ②∞→n lim 112322+++n n n ； ③∞→n lim 11

22++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2） ∞

→n lim （n n +2－n ）;（3）∞

→n lim （

22n +24n + (22)

n

） 例2 ()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞

→∞

→∞

→lim lim ,lim 是的（ ）

A 充分必要条件

B 充分不必要条件

C 必要不充分条件

D 既不充分又不必要条件

例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n

n n b a ∞→lim =3,求n n

n nb a a a 221lim +++∞→ 的

值为

例4 求n

n n

n n a a a a --∞→+-lim （a >0);

例5 已知1)1

1

(

lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值;

例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞

→n lim （

q a +11－q n ）=2

1

,求a 1的取值范围

例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．

（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；

（2）求∞

→n lim 1

122+-+-n n n n a a 的值．

数列极限课后检测

1下列极限正确的个数是（ ）

①∞→n lim αn 1

=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞

→n lim C =C （C 为常数） A 2 B 3 C 4 D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（ ）

A 若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝A

B 若a n ＞0，∞

→n lim a n ＝A ，则A ＞0

C 若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2

D 若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞

→n lim b n

5若数列{a n }的通项公式是a n =2

)

23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）

等于（ ） A 2411 B 2417 C 2419 D 24

25

6数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=51

,a n +a n +1=15

6+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ）

A 52

B 72

C 41

D 25

4 7．∞→n lim n n ++++ 212=__________ ∞→n lim 3

2222-+n n

n =____________

∞

→n lim ［n （1－

31）（1－41）（1－51）…（1－2

1+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn c

an ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim a

cn c an ++22的值是（ ）

9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则

∞

→n lim

2

)

1(+n a n =_____________

10等比数列{a n }公比q =－

21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=3

8

,则a 1=_____________

11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）

（1）求{b n }的通项公式；（2）求∞

→n lim （

212-b +213-b +214-b +…+2

1

-n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞

→n lim

n n b a =2

1, 求极限∞

→n lim （

111b a +221b a +…+n

n b a 1）的值

∞－∞=0;②原式=∞

→n lim

n n +2－∞

→n lim n =∞－∞不存在

对于（3）要避免出现原式=∞

→n lim 22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim 22n

n =0+0+…+0=0这样的错误 例2 B

例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n

n n b a ∞→lim =3,求n n

n nb a a a 221lim +++∞→ 的

值为

解：由n

n

n b a ∞→lim

=3?d 1=3d 2 ，

∴n n n nb a a a 221lim +++∞→ =212

11

14])12([2)

1(lim d d d n b n d n n na n =-+-+

∞→43 点评：化归思想 例4 求n

n n

n n a a a a --∞→+-lim （a >0);

解：n

n

n

n n a a a a --∞→+-lim =??????

???????<<-=+-=>=+-∞→∞→).

10(111lim ),1(0),1(11111lim 2222a a a a a a a n n

n n n n 点评：注意分类讨论

例5 已知1)1

1

(

lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 解：1

1

)()1(lim 2++-+--∞→n b n b a n a n =1，

∴ ??

?=+-=-1

)(0

1b a a ?a=1,b=─1

例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞

→n lim （

q a +11－q n ）=2

1

,求a 1的取值范围 解: ∞

→n lim （

q a +11－q n ）=2

1

,

∴∞

→n lim q n 一定存在∴0＜|q |＜1或q =1

当q =1时，

2

1a －1=21

,∴a 1=3

当0＜|q |＜1时，由∞

→n lim （

q a +11－q n ）=21得q a +11=2

1

,∴2a 1－1=q ∴0＜|2a 1－1|＜1∴0＜a 1＜1且a 12

1 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠

2

1

或a 1=3 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．

（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；

（2）求∞

→n lim

1

122+-+-n n

n n a a 的值．

解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,

∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －

1

∴S n ＝?

??

??≠>--=).

10(1)

1(3)1(3c c c

c c n n 且

（2） ∞

→n lim

1

122+-+-n n

n n a a ＝∞→n lim n

n n n c c 32321

1+--- ①当c =2时，原式＝－

4

1; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c

c c n n 3)2(23

)2

(11+?---＝－c 1;

③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 1

1

)2

(32)2(31--?+-n n c c c 21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 试卷解析 1 答案:B

3解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ；

取a n ＝

n

1

，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C

5 解析:a n =???

?

???-++--+--------),

(2

2323),(2)

23(23为偶数为奇数n n n

n n

n n n n n 即a n =?????--).

3),

(2(

为偶数为奇数n n n n

∴a 1+a 2+…+a n =（2－

1+2－

3+2－

5+…）+（3－

2+3－

4+3－

6+…）

∴∞

→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=

4112

1313

2122

2

21-=-+

-----+9

1191

-

=.2419

答案:C

6 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =

51

+[256+35

6+…+n 5

6]+a n ∴原式=21［51+5

11256

-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）

∵a n +a n +1=

1

5

6+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0∴∞

→n lim a n =0 答案:C

7 解析:原式=∞→n lim

2

)1(2

++n n n =∞→n lim 221212n

n

n ++=0

∞→n lim 32222

-+n n n =∞→n lim 2

3221n

n -+2

1 解析: ∞→n lim ［n （1－

31）（1－41）（1－51）…（1－2

1+n ）］

=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim 2

2+n n

=2 答案:C 8解析: 答案:D 由∞→n lim c

bn c

an ++=2,得a =2b

由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b ∴c

a =6∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 2

2n

a c n c

a ++

=c a =6

9析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）∴{n a }是公差为3的等差数列，1a

∴n a =3+（n －1）·3=3n ∴a n =3n 2

∴∞→n lim 2)1(+n a n

=∞→n lim 12322

++n n n =∞→n lim 2

1

213n

n ++=3

10析:∵q =－

2

1,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4

111-

a =38

∴a 1=2 11 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1

n =2时，a 2=6代入得a 3=15同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n

①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立

那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=1

1

-+k k （a k －1）

=11-+k k （2k 2－k －1）=1

1-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1） ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2

（2）∞

→n lim （

212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161

+…+2

212-n ）

=

21∞→n lim ［

311?+4

21

?+…+)1)(1(1+-n n ］ =

41∞→n lim ［1－31+21－41+…+

11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=83

12 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2

∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）,∴2d 2－3d 1=2

又∞

→n lim

n n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =2

1,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2

∴n n b a 1=)24()12(1-?+n n =41（121-n －121+n ）∴原式=∞→n lim 41（1－1

21+n ）=41