知识讲解_《变化率与导数、导数的应用》全章复习与巩固(理)_提高
《导数及其应用》全章复习与巩固
编稿：张林娟审稿：孙永钊
【学习目标】
1. 导数概念
通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义.
2. 导数运算
（1）会用导数定义计算一些简单函数的导数；
（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数；
（3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数.
3. 体会研究函数的意义
（1）认识导数对于研究函数的变化规律的作用；
（2）会用导数的符号来判断函数的单调性；
（3）会利用导数研究函数的极值点和最值点.
4.导数在实际问题中的应用
（1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型；
（2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义；
（3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：导数的概念及几何意义 导数的概念：
函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘
表示，定义为：
要点诠释： （1）
()()()()100010=
f x f x f x x f x y x x x x
-+?-?=?-?，它表示当自变量x 从0x 变1x ，函数值从()0f x 变到()1f x 时，函数值关于x 的平均变化率.当x ?趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数
=()y f x 在0x 点的导数.
（2）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．
（3）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度． 导数的几何意义：
要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.
导数的物理意义：
在物理学中，如果物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；
如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．
要点诠释：0'()f x 表示函数()f x 在0x 处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度()t θ对时间t 的变化率；瞬时电流是电量()Q t 对时间t 的变化率；瞬时功率是功()W t 对时间t 的变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． ()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即
()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）
要点二：导数的计算 基本初等函数的导数
基本初等函数 导数 特别地
常数函数()
y c c =为常数 '0y =
'0π=，'=0e
幂函数()n
y x
n =为有理数
1n y n x -=?
211'x x ??
= ?
??
，()1'2x x =
指数函数x
y a = 'ln x y a a =?
()'x
x
e e
=
对数函数log a y x = 1
'ln y x a =
? ()1ln 'x x
=
正弦函数sin y x = 'cos y x =
()2
sin 1
tan '='=cos cos x x x x ?? ???
()2cos 1
cot '='=sin sin x x x x
??
??? 余弦函数cos y x =
'sin y x =-
要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 和、差、积、商的导数
要点诠释：
（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±
±=±±±．
（2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；22
11'()1'()'()
'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ???-?==-≠?
???
． 复合函数的导数
设函数()u x ?=在点x 处可导，''()x u x ?=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ?=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =?，或写作'[()]'()'()x f x f u x ??=?． 要点三：导数在研究函数性质中的应用 利用导数研究可导函数的单调性
设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，
（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：
（1）在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.
（2）只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.
利用导数研究可导函数的极值
求函数()y f x =在其定义域内极值的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；
④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，则()f x 在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释：
①注意极值．．与极值点．．．的区别：取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. ②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0
f x '=，
且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
③可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数
)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3
，在x =0处，'(0)0f =，但x =0不是函数的极值
点.
利用函数研究可导函数的最值
若函数()y f x =在闭区间[,]a b 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数()f x 在(,)a b 内的导数()f x '； ②求方程()0f x '=在(,)a b 内的根；
③求在(,)a b 内所有使()0f x '=的的点的函数值和()f x 在闭区间端点处的函数值()f a ，()f b ；
比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的最小值.
要点诠释：
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.
②若()f x 在开区间(,)a b 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：导数在解决实际问题中的应用
我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：
(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式
()y f x =；
(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；
(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释：
①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：
②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；
③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使'()0f x =的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 【典型例题】
类型一：导数的概念与公式的应用 例1. 求下列各函数的导数：
（1）12
x
y x e =；
（2）()ln 25=x y x
+‘；
（3）(
)5
sin cos sin y x ??=?
?
；
（4）2-5
y x =
. 【思路点拨】要求函数的导函数，应遵循一定的顺序：先观察：找出函数中的基本函数（或复合函数）；再确定函数的构成：它是由①中的基本函数（或复合函数）由哪种四则运算而成的；最后根据导数的四则运算法则写出导函数.是复合函数的，按照复合函数的求导法则计算. 【解析】
（1）观察函数结构：该函数是由二次函数2
y x =与1x
y e =相乘得到的；
导数的乘法法则：()112
2
'''x
x y x e x e ??
=+ ???
；
求出各函数导数：()111
2
21'2=21x x
x
y x e x e e x x ??=+-- ???
.
（2）观察函数结构：该函数是由复合函数()=ln 25y x +与一次函数=y x 相除得到的；
导数的除法法则：()()2
ln 25'ln 25'=x x x x y x ++????‘ ；
求出各函数导数：()()()()
22
2ln 25225ln 25
25==25x
x x x x x y x x x +++++‘ . （3）该函数是由函数5
sin cos sin y u u v v t t x ====，，，复合而成的，由复合函数求导法则，可得：
()()()()()()''''5
5544555'cos cos sin sin sin cos 5=5cos sin sin cos cos sin u v t x y y u v t x x x x x x x x ??????==??????
；
（4）该函数是由1
y u
=
，u v =和25v x = 复合而成，由复合函数求导法则，可得： ()3
1'2=2-52-522-5
y x x x =
.
【总结升华】
（1）在导数的运算中，最复杂、最应引起重视的莫过于符合函数求导，因此应主要复合函数的求导方法。解这类问题的关键是正确分析函数的符合层次，一般由最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合
函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定符合过程.
（2）除了牢固掌握导数的相关公式外，记住两个常用的导数：①
211'x x ??
= ???
；②
'=.
举一反三：
【变式1】函数cos2y x =+ ）
A.－2sin2x +
x x 2cos
B.2sin2x +
x
x 2cos
C.－2sin2x +x
x 2sin
D.2sin2x －
x
x 2cos
【答案】A
【变式2】函数2=cos 2y x x 的导数为 ( )
A ．2=2cos 2sin 2y x x x x '－
B ．2=2cos 22sin 2y x x x x '－
C ．2=cos 22sin 2y x x x x '－
D ．2=2cos 22sin 2y x x x x '＋
【答案】B
例2. 日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1 t 水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为()()5284
=80100100c x x x
<<-，求净化到下列纯净度时，所需费
用的瞬时变化率． (1)90%；(2)98% .
【思路点拨】利用导数的概念作答。当净化度为x %时，所需费用的瞬时变化率即为该点处的导数，即()'c x . 【解析】由导数的概念可知，
净化到90%纯度时，所需费用的瞬时变化率就是()'90c ；净化到90%纯度时，所需费用的瞬时变化率就是
()'98c . ∵()()
2
5284
'=
100c x x -，
∴()()
2
5284
'90=
=52.8410090c -，
()()
2
5284
'98=
=132110098c -.
故纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率为52.84元/t ；纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率为1 321元/t.
【总结升华】会用导数分析一些常见的生活、科学现象及术语，比如功率、降雨强度、边际成本等等，能利用导学解决一些实际问题中的变化趋势问题，进一步理解导数的概念。 举一反三：
【变式】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第x h 时，原油的温度（单位：C ?）为()()2
71508f x x x x =+ 揶.计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化
率，并说明它们的意义. 【答案】
()()'2708f x x x =， 揶
第2h 的原油温度的瞬时变化率为()'2227=3f =?- ，
它表示第2h 附近，原油温度以3C/h ?的速度下降；
第6h 的原油温度的瞬时变化率为()'6267=5f =? ，
它表示第6h 附近，原油温度以5C/h ?的速度上升.
类型二：导数的简单应用
例3.已知函数()3
2
39f x x x x a ＝－＋＋＋.
(1) 当=0a 时，求曲线()f x 在点()()11f ，处的切线方程；
(2)若
()f x 在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【解析】
(1) =0a 时，()3
2
39f x x x x ＝－＋＋，()2
369f x x x '＝－＋＋，
∴
()111f ＝，()112f '＝，
所求切线方程为()11121y x -=-，即12-1y x =. (2)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， ∴f (2)>f (－2)． ∵在(－1,3)上f ′(x )>0， ∴()f x 在(－1,2]上单调递增． 又由于()f x 在[－2，－1)上单调递减， ∴f (－1)是()f x 的极小值，且f (－1)＝a －5.
∴f (2)和f (－1)分别是()f x 在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2. ∴()f x ＝－x 3＋3x 2＋9x －2. ∴f (－1)＝a －5＝－7，
即函数()f x 在区间[－2,2]上的最小值为－7.
【总结升华】（1）掌握求函数的切点方程的方法和步骤，此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 不在曲线上，应先设出切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值. （2）掌握求函数最值的方法和步骤，解此类问题的关键是，将连续区间上的最值问题转化为有限个数值的大小比较问题. 举一反三：
【变式1】函数()3
2
f x x ax b ＝＋＋的图像在点(10P ，)处的切线与直线3=0x y ＋平行．
(1)求a ，b ；
(2)求函数()f x 在()[0] 0t t >，内的最大值和最小值．
【答案】(1)()2
32f x x ax '＝＋，由已知条件()()1=0'1= 3.
f f ???
-??，
(2)由(1)知()3
2
32f x x x ＝－＋，则()2
363(2)f x x x x x '＝－＝－．
()'f x 与()f x 随x 变化情况如下：
x
(－∞，0)
0 (0，2) 2 (2，＋∞)
()'f x ＋ 0 － 0 ＋ ()f x
↗
2
↘
－2
↗
由()0f x f ＝，解得x ＝0，或x ＝3. 因此根据()f x 图像，
当0 2 32f t t t ＝－＋； 当2 2 32f t t t ＝－＋，最小值为()22f ＝－. 【变式2】设函数()2 =++ln f x x ax b x ，曲线()y f x ＝过()10P ，，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值； (2)证明：()22f x x ≤－. 【答案】 （1）()=1+2+b f x ax x '， (2)证明：()22f x x ≤－恒成立≡()() 220f x x ≤－－恒成立≡()()max 2200f x x ≤≤????－－恒成立. 设()()()2g =(22)=23ln 0x f x x x x x x >－－－－＋，， ()()()21332312= x x x x g x x x x x ++'=+= 当0 ∴()()max g g =0x x T，即()f x ≤2x －2. 例4. 设函数3 ()1f x ax bx =++在1x =处取得极值1-. (Ⅰ)求a b 、的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间. 【思路点拨】先根据极值的意义，确定参数a b 、的值，再解不等式()0f x '>（或()0f x '<），得到()f x 的单调增（或减）区间. 【解析】（Ⅰ）2 ()3f x ax b '=+,由已知得 (1)30(1)1 1. f a b f a b '=+=?? =++=-?， 解得1a =，3b =-. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2 '()333(1)(1)f x x x x =-=-+， 当1x >或1x <-时，()0f x '>，当(1,1)x ∈-时，()0f x '<. 因此()f x 的单调增区间是(,1)-∞-，(1,)+∞，单调减区间是(1,1)-. 【总结升华】灵活掌握求函数单调区间、极值（最值）的方法和步骤. 举一反三： 【变式1】如果函数()=y f x 的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数()=y f x 在区间132? ?-- ?? ?，内单调递增； ②函数()=y f x 在区间132?? - ??? ，内单调递减； ③函数()=y f x 在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数()=y f x 有极小值； ⑤当1 =2 x －时，函数()=y f x 有极大值． 则上述判断正确的是________．(填序号) 【答案】③ 由导函数的图象可以得到原函数()=y f x 的草图： 故只有③正确. 【变式2】已知函数c bx x ax x f -+=4 4ln )((x >0)在x = 1处取得极值-3-c ，其中a,b,c 为常数. （1）试确定a,b 的值； （2）讨论函数()f x 的单调区间并求极值； 【答案】 （1） 由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-． 又对()f x 求导得 34 31 ()4ln 4f x ax x ax bx x '=++3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12,3a b ==-． （2）由（1）知3 ()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数． 所以()f x 有极小值(1)3f c =--. 因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞,当1x =时，()f x 取极小值3c --. 类型三：分类讨论思想在导数中的应用 【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题3（Ⅱ）】 例5.已知函数()f x = 2 ln(1)2 k x x x +-+ (k ≥0)，求()f x 的单调区间. 【思路点拨】先求导(1) '()1x kx k f x x +-=+，再根据(1)x kx k +-的首项系数与两根大小进行分类讨论，注 意函数的定义域. 【解析】(1) '()1x kx k f x x +-= +，(1,)x ∈-+∞. 当0k =时，'()1x f x x =-+. 所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 当0k >时，由(1)'()01x kx k f x x +-= =+，得10x =，21k x k -= . 当01k <<时， 21x x >， 此时在区间(1,0)-和1( ,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)k k -上，'()0f x <， 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k k -. 当1k =时，12==0x x 2 '()01x f x x = +? 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞，无减区间. 当1k >时，12x x >， 此时，在区间1(1, )k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k k -上，'()0f x <， 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k -. 综上所述，当0k =时，x 得单调递增区间是()f x '，单调递减区间是x ； 当01k <<时，()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1( ,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k k -； 当1k =时，()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞，无减区间； 当1k >时，()f x 得单调递增区间是1(1, )k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k -. 【总结升华】（1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0； （2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定'()f x 的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力 中的作用，从而提高简化计算的能力； （3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了. 举一反三： 【变式1】设函数2 ()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值. 【解析】 （Ⅰ）当1a =时，232 ()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且 2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-． 所以，曲线2 (1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得 580x y +-=． （Ⅱ）2322 ()()2f x x x a x ax a x =--=-+- 22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---． 令()0f x '=，解得3 a x = 或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表： 因此，函数()f x 在3 a x = 处取得极小值3a f ?? ??? ，且34327a f a ?? =- ??? ； 函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =． （2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表： 因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =； 函数()f x 在3 a x = 处取得极大值3a f ?? ???，且34327a f a ?? =- ??? ． 注意：1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图象法.2. 列表能比较清楚的看清极值点.3. 写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚. 【变式2】已知函数()ln f x ax x =- (a 为常数). （Ⅰ）当1=a 时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）求函数()f x 在 [)+∞,1上的最值. 【解析】（Ⅰ）当1a =时，函数()f x =ln x x -，函数的定义域为(0,)x ∈+∞ 由()01 1>- ='x x f 得1>x ，∴函数()f x 的单调增区间为(1,)+∞； 由()01 1<-='x x f 得10< （Ⅱ）∵1 '()f x a x =-, ①若0a ≤，则对任意的[1,)x ∈+∞都有'()0f x <，∴函数()f x 在[1,)+∞上为减函数， ∴()f x 在[1,)+∞上有最大值，没有最小值，()(1)f x f a ==最大值； ②若0a >，令'()0f x =得1x a =， 当01a <<时，11a >，∴当1(1,)x a ∈时'()0f x <，函数()f x 在1(1,)a 上为减函数，当1 (,)x a ∈+∞时 '()0f x >，函数()f x 在1 (,)a +∞上为增函数； ∴1x a = 时，函数()f x 有最小值，11()()1ln f x f a a ==-最小值， 当1a ≥时， 1 1a ≤，在[1,)+∞恒有'()0f x ≥，∴函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，()f x 在[1,)+∞有最小值，()(1)f x f a ==最小值； 类型四： 转化与化归思想在导数中的应用 例6. 若函数()2 =(+)e ()x f x x ax a ∈R －，在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围． 【思路点拨】将问题转化为：()()'0,11f x x ≥-<<恒成立，再转化为求函数的最值问题。 【解析】 【总结升华】转化与化归思想就是在处理繁杂问题时通过转化，归结为易解决的问题，本题中将含参不等式的恒成立问题转化为求函数最值的问题． 举一反三： 【变式1】已知函数2 ()ln 20)f x a x a x =+-> (.若对于(0,)x ?∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围. 【解析】对于(0,)x ?∈+∞，不等式()2(1)f x a >-成立≡min ()2(1)f x a >-，()0x > ① 下面求在=()y f x ，()0x >的最小值： 22 22()a ax f x x x x -'=- +=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得2 0x a <<. 所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2 (0, )a 上单调递减. 所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2 ()y f a =. 因为对于(0,)x ?∈+∞都有()2(1)f x a >-成立， 所以2()2(1)f a a >-即可. 则 22 ln 22(1)2a a a a +->-. 由2ln a a a >解得20a e <<. 所以a 的取值范围是2 (0, )e . 【变式2】已知函数2()ln ,()x x f x x x g x e e == -． 证明：对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立． 【解析】要证明对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥， 即证明min max ()g ()f m n ≥，,(0,)m n ∈+∞. 下面进行证明： 易知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞在1 x e =时取得最小值， 又11()f e e =- ， 可知1 ()f m e ≥-． 由2()x x g x e e =-，可得1'()x x g x e -=． 所以当(0,1),'()0,()x g x g x ∈>单调递增， 当(1,),'()0,()x g x g x ∈+∞<单调递减. 所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值， 又1(1)g e =- ， 可知1()g n e ≤-， 所以对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立． 类型五：数形结合思想在导数中的应用 例7.求函数()3 32f x x ax ＝－＋的极值，并说明关于x 的方程3 320x ax － ＋＝何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中a>0)？ 【解析】函数的定义域为R ，其导函数为()2 33.f x x a '＝－ 由 ()0f x '＝ 可得x ±＝ ()f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由此可得，函数在x ＝－a 处取得极大值32 ()2+2f a a －＝； 在x ＝a 处取得极小值3 2 ()22f a a ＝ －. 根据列表讨论，可作函数的草图(如图)： 因为极大值32 ()2+2f a a －＝ >0， 故当极小值32 ()22f a a ＝ －<0，即a >1时，方程3 320x ax －＋＝有三个不同的实根； 当极小值3 2()22f a a ＝