2019-2020学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级(上)期中数学试卷

2019-2020学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1．（2分）下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

2．（2分）将二次函数y＝x2图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是（）A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x﹣1）2﹣2C．y＝（x+1）2﹣2D．y＝（x﹣1）2+2

3．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE＝120°，那么∠B等于（）

A．130°B．120°C．80°D．60°

4．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确是（）

A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＜0

C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＞0，b＜0，c＞0

5．（2分）半径为7的圆，其圆心在坐标原点，则下列各点在圆外的是（）

A．（3，4）B．（4，4）C．（4，5）D．（4，6）

6．（2分）如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）

A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF

7．（2分）《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB

＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（）

A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸

8．（2分）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）

A．B．

C．D．

二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分.

9．（2分）请写出一个开口向上，且对称轴为直线x＝3的二次函数解析式．

10．（2分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是．

11．（2分）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC ＝90°，则∠A＝．

12．（2分）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是米2．

13．（2分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为．

14．（2分）如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC＝6，则AC的长为．

15．（2分）阅读下面材料：

在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：

尺规作图：过圆外一点作圆的切线．

已知：P为⊙O外一点．

求作：经过点P的⊙O的切线．

小敏的作法如下：

如图，

（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；

（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；

（3）作直线P A，PB．所以直线P A，PB就是所求作的切线．

老师认为小敏的作法正确．

请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是；由此可证明直线P A，PB都是⊙O 的切线，其依据是．

16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2019的坐标为．

三、解答题：本大题共12个小题，共68分.（第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27、28题，每小题5分）

17．（5分）已知：二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式．

18．（5分）已知二次函数y＝x2﹣6x+8．

（1）将y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；

（2）画出这个二次函数的图象；

（3）当0≤x≤4时，y的取值范围是．

19．（5分）如图，A，D是半圆上的两点，O为圆心，BC是直径，∠D＝35°，求∠OAC的度数．

20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以点O 为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．

（1）画出△A1OB1；

（2）直接写出点A1和点B1的坐标；

（3）求线段OB1的长度．

21．（5分）一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此件文物进行复原，因此把残片抽象成了一个弓形，如图，经过测量得到弓形高CD＝米，∠CAD＝30°，请你帮助文物学家完成下面两项工作：（1）作出此文物轮廓圆心O的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求出弓形所在圆的半径．

22．（6分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°

后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．

23．（6分）如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三角形，使其一个顶点与抛物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长（结果精确到0.1，）．

24．（6分）如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE 交AC于G，∠ADG＝∠AGD．

（1）求证明：AD是⊙D的切线；

（2）若∠A＝60°，⊙O的半径为4，求ED的长．

25．（5分）吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整

（1）该函数的自变量x的取值范围是．

（2）列表：

表中m＝，n＝．

（3）描点、连线

在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，

y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：

（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：

①；

②．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的表达式；

（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；

（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y＝kx﹣4的上方，求k的取值范围．

27．（7分）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．

①求证：∠AED＝∠CED；

②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；

（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．

28．（7分）定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．

如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点D，以AB为直径，在x轴上方作半圆交y轴于点C，半圆的圆心记为M，此时这个半圆与这条抛物线x轴下方部分组成的图形就称为“蛋圆”．

（1）直接写出点A，B，C的坐标及“蛋圆”弦CD的长；

A，B，C，CD＝；

（2）如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．

①求经过点C的“蛋圆”切线的解析式；

②求经过点D的“蛋圆”切线的解析式；

（3）由（2）求得过点D的“蛋圆”切线与x轴交点记为E，点F是“蛋圆”上一动点，试问是否存在S△CDE ＝S△CDF，若存在请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）点P是“蛋圆”外一点，且满足∠BPC＝60°，当BP最大时，请直接写出点P的坐标．

2019-2020学年北京市朝阳区陈经纶中学九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．

故选：D．

2．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），

可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k，

代入得：y＝（x+1）2﹣2．

∴所得图象的解析式为：y＝（x+1）2﹣2；

故选：C．

3．【解答】解：∵∠ADC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADE＝120°．

故选：B．

4．【解答】解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴在y轴右侧，

∴a与b异号，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

故选：D．

5．【解答】解：A、d＝5＜r，所以在圆内；

B、d＝4＜r，所以在圆内；

C、d＝＜r，所以在圆内；

D、d＝2＞r，所以在圆外．

故选：D．

6．【解答】解：A、OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为旋转角，故本选项错误；

B、OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误；

C、OC旋转后的对应边为OE，故∠COE可以作为旋转角，故本选项错误；

D、OC旋转后的对应边为OE不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确；

故选：D．

7．【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，

∴AE＝BE＝5，

设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x

∵DE＝1，

∴OE＝x﹣1，

在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：

x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，

即2x＝26，

解得：x＝13

所以CD＝26（寸）．

故选：C．

8．【解答】解：当0＜x≤1时，y＝x2，

当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，

CD＝x，则AD＝2﹣x，

∵Rt△ABC中，AC＝BC＝2，

∴△ADM为等腰直角三角形，

∴DM＝2﹣x，

∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，

∴S△ENM＝（2x﹣2）2＝2（x﹣1）2，

∴y＝x2﹣2（x﹣1）2＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，

∴y＝，

故选：A．

二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分.

9．【解答】解：依题意取a＝1，顶点坐标（3，﹣3），

由顶点式得y＝（x﹣3）2﹣3．

即y＝x2﹣6x+6．

故答案为：y＝x2﹣6x+6（答案不唯一）．

10．【解答】解：∵点P（1，﹣2），

∴关于原点的对称点的坐标是：（﹣1，2）

故答案为：（﹣1，2）．

11．【解答】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，∠A′DC＝90°，

∴∠ACA′＝35°，则∠A′＝90°﹣35°＝55°，

则∠A＝∠A′＝55°．

故答案为：55°．

12．【解答】解：如图所示：

连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠BOC＝×360°＝60°，

∵OB＝OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC＝OB＝OC，

∴BH＝BC＝1，

∴OH＝，

∴S正六边形＝6S△OBC＝6××2×＝6．

故答案为：6．

13．【解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，

即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1．

故答案为x1＝﹣2，x2＝1．

14．【解答】解：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．

∵P A、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，

∴OA⊥AP，∠APO＝∠APB＝30°．

∴OP＝2OA，∠AOP＝60°，

∴PC＝2OA+OC＝3r＝6，则r＝2，

∵∠AOD＝60°，AO＝DO，

∴△AOD是等边三角形，则AD＝OA＝2，

又∵CD是直径，

∴∠CAD＝90°，

∴∠ACD＝30°，

∴AC＝AD?cot30°＝2，

故答案为2．

15．【解答】解：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是：直径所对的圆周角是直角；

由此可证明直线P A，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．

16．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，

∴B（1，1），

连接OB，

由勾股定理得：OB＝，

由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，

∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，

相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，

∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），…，

发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)

∴点B2019的坐标为（﹣，0）

故答案为（﹣，0）．

三、解答题：本大题共12个小题，共68分.（第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27、28题，每小题5分）

17．【解答】解：由对称性，函数图象与x轴另一个交点为（﹣1，0），

设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），

将（0，﹣1）代入，解得：a＝，

∴二次函数解析式为y＝（x+1）（x﹣3），

即二次函数解析式为y＝2﹣x﹣1．

18．【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+8

＝（x2﹣6x+9）﹣9+8

＝（x﹣3）2﹣1；

（2）令x＝0，得y＝8，

令y＝0，得x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或x＝4，

则抛物线与x轴的交点为：（2，0），（4，0）；与y轴的交点为：（0，8）．

由（1）题得：对称轴为x＝3，顶点坐标为（1，﹣1），开口向上，故图象为：

（4）∵当x＝0时，y＝8；当x＝4时，y＝0，

又∵当x＝1时，y有最小值﹣8，

∴当0≤x≤4时，y的取值范围是﹣1≤y≤8，

故答案为﹣1≤y≤8．

19．【解答】解法一：

解：∵∠D＝35°，

∴∠B＝∠D＝35°，

∵BC是直径，

∴∠BAC＝90°．

∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝55°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝55°．

解法二：

解：∵∠D＝35°，

∴∠AOC＝2∠D＝70°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵∠OAC+∠OCA+∠AOC＝180°，

∴∠OAC＝55°．

20．【解答】解：（1）画出△A1OB1，如图．

（2）点A1（0，1），点B1（﹣2，2）．

（3）OB1＝OB＝＝2．

21．【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求作的点；

（2）连接AO．

∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，

∴AC＝2CD＝米，∠ACD＝60°

∴AO＝CO

∴AO＝CO＝AC＝米．

答：此弓形所在圆的半径为米．

22．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°．

∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE，

∴CD＝CE，∠DCE＝60°，

∴∠DCE＝∠ACB，

即∠BCD+∠DCA＝∠DCA+∠ACE，

∴∠BCD＝∠ACE，

在△BCD与△ACE中，

∴△BCD≌△ACE，

∴∠EAC＝∠B＝60°，

∴∠EAC＝∠ACB，

∴AE∥BC．

23．【解答】解：以抛物线的顶点O为坐标原点，过点O作直线AB的平行线和垂线分别作为x轴和y轴，建立平面直角坐标系．

则D（3，﹣6）

设抛物线解析式为y＝ax2（a≠0），

∵D（3，﹣6）在抛物线上代入得：，

∴，

∵△ABO是等边三角形，

∴，

设，

∴，

∴x1＝0（舍），，

∴，，

答：等边三角形的边长为5.2dm．

24．【解答】（1）证明：连接OD．

∵E为BC的中点，

∴OE⊥BC于F．

∴∠AGD+∠ODE＝∠EGF+∠OED＝90°，则OD＝OE，

∴∠ODE＝∠OED，

∵∠AGD＝∠ADG，

∴∠ADG+∠ODE＝90°．

即OD⊥AD，

∴AD是⊙O的切线；

（2）作OH⊥ED于H，

∴DE＝2DH，

∵∠ADG＝∠AGD，

∴AG＝AD，

∵∠A＝60°，

∴∠ADG＝60°，

∴∠ODE＝30°，

∵OD＝4，

∴DH＝OD＝2，

∴DE＝2DH＝4．

25．【解答】解：（1）由y＝知，x2﹣4x+5≠0，所以变量x的取值范围是一切实数．故答案为：一切实数；

（2）m＝，n＝，

故答案为：；；

（3）建立适当的直角坐标系，描点画出图形，如下图所示：

（4）观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x＝2对称．故答案为：该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x＝2对称

26．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，

∴x＝﹣＝﹣＝1．

解得：m＝1．

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x．

（2）将x＝3代入抛物线的解析式得y＝﹣32+2×3＝﹣3．

将y＝﹣3代入得：﹣x2+2x＝﹣3．

解得：x1＝﹣1，x2＝3．

∵a＝﹣1＜0，

∴当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2．

（3）设点M关于y轴对称点为M′，则点M′运动的轨迹如图所示：

∵当P＝﹣1时，q＝﹣（﹣1）2+2×（﹣1）＝﹣3．∴点M关于y轴的对称点M1′的坐标为（1，﹣3）．∵当P＝2时，q＝﹣22+2×2＝0，

∴点M关于y轴的对称点M2′的坐标为（﹣2，0）．

①当k＜0时，

∵点M关于y轴的对称点都在直线y＝kx﹣4的上方，∴﹣2k﹣4≤0．

解得：k≥﹣2．

②当k＞0时，

∵点M关于y轴的对称点都在直线y＝kx﹣4的上方，∴k﹣4≤﹣3．

解得；k≤1．

∴k的取值范围是﹣2≤k≤1．

27．【解答】证明：（1）

①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，

∴AC＝AD，∠DAC＝60°