人教【数学】数学一元二次方程的专项培优易错试卷练习题(含答案)

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．将m看作已知量，分别写出当0m时，与之间的函数关系式；

2．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．

【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．

3．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．

（1）求实数a的取值范围；

（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．

【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．

【解析】

试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.

试题解析：（1）∵方程有两个实数根，

∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；

（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，

∵x12x22+4x1+4x2=1，

∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，

∵a≤3，

∴a=﹣1．

4．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本．

【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．

【解析】

【分析】

（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．

【详解】

（1）设每个月生产成本的下降率为x，

根据题意得：400（1﹣x）2=361，

解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．

答：每个月生产成本的下降率为5%；

（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），

答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．

5．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20

千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【答案】（1）4元或6元；（2）九折.

【解析】

【详解】

解：（1）设每千克核桃应降价x元.

根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x

2

×20）=2240，

化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.

答：每千克核桃应降价4元或6元.

（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.

此时，售价为：60﹣6=54（元），54

100%=90% 60

.

答：该店应按原售价的九折出售.

6．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；

（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．

【答案】（1）k>–1

4

；（2）7

【解析】

【分析】

（1）由方程根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；（2）由根与系数的关系，可求x1+x2=-3，x1x2=1，代入求值即可．

【详解】

（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴>0?，即()22214410k k k +-=+>，解得1

4

k >-； （2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=，

∵125x x +=-，121=x x ，

∴()2

22121212225817x x x x x x +=+-=-=. 【点睛】

本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．

7．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每 千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．

（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32

倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的 售价定位为每千克多少元？

（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a %出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a %，且储备排骨的销量占总销量的57

，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了

128

a %，求 a 的值． 【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35.

【解析】

【分析】 （1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；

（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】

解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克

年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，

11月的进货价为： 340602元/千克

设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克

则(10020)(10)1000x x ，

解得10x =，25x =

因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元.

（2）根据题意可得52170(1%)100(1%)

70100(1%)701001%7728a a a a ??-++?+=?+ ???

解得135a =,20a =(舍去)

所以a =35.

【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.

8．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？

【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．

【解析】

【分析】

设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解

【详解】

解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．

解得110x =，230x =．

经检验，110x =，230x =都符合题意．

当10x =时，5060x +=，50010400x -=；

当30x =时，5080x +=，50010200x -=．

所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解

9．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m 的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．

【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．

【解析】

试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2

（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：

（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，

解得m≤4；

（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，

而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，

而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．

10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？

（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可

以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．

【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．

【解析】

试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；

（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．

试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，

150（x﹣20）=2250，

解得x=35，

答：销售单价至少为35元；

（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，

150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，

m﹣m2=12，

60m﹣3m2=192，

m2﹣20m+64=0，

m1=4，m2=16，

∵要使销售量尽可能大，

∴m=16．

【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．