历年高考数学压轴题集锦

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-10

高考数学压轴题集锦

1椭圆的中心是原点

0,它的短轴长为 2 2，相应于焦点F(c,0) ( c 0)的准线I 与x 轴相

交于点A ， OF 2 FA ，过点A 的直线与椭圆相交于 P 、Q 两点。

(1) 求椭圆的方程及离心率；

uun umr

(2 )若OP 0Q 0，求直线PQ 的方程；

uurr (3)设 AP uuir

AQ ( 1)，过点P 且平行于准线1的直线与椭圆相交于另一点 M ，证

uuur urnr

明FM FQ . (14 分)

2.已知函数f(x)对任意实数x 都有f(x 1) f (x)

1，且当x [0,2]时，f(x) |x 1 |。

(1)

x [2k,2k 2](k Z)时，求 f(x)的表达式。

(2)

证明f (x)是偶函数。

1

(3)

试冋方程f (x) log 4 0是否有实数根？若有实数根， 指出实数根的个数；若没有

x

实数根，请说明理由。

3. (本题满分12分)如图，已知点

2

F ( 0, 1),直线 L : y=-2，及圆 C: x

-6

2

x

4. 以椭圆右 y 2

= 1 (a > 1)短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试

a

2 过点F 的直线g 交轨迹E 于G (X 1, y 1)、H (X 2, y 2)两点，求证：X 1x 2为定值；

6

-4

(y 3)1 2 3

判断并推证能作出多少个符合条件的三角形 5

已知，二次函数 f (x )= ax 2 + bx + c 及一次函数 g (x )=—

bx ,其中 a 、b 、c € R , a >b

> c , a + b + c = 0.

(I) 求证：f (x )及g (x )两函数图象相交于相异两点；

(H)设f (x )、g (x )两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A I B I 时，试求|A i B i | 的取值范围?

1的图象上一点B (1, b )的切线的斜率为一3。

(1) 求a 、b 的值；

(2) 求A 的取值范围，使不等式 f (x )W A — 1987对于x € ［ — 1 , 4］恒成立； (3)

令g x f x 3x 2 tx 1。是否存在一个实数 t ，使得当x (0,1］时，g (x )有

最大值1 ?

7已知两点M (— 2, 0), N (2, 0),动点P 在y 轴上的射影为H ,丨PH 丨是2和PM PN 的等比中项。 (1) 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；

(2)

若以点M 、N 为焦点的双曲线 C 过直线x+y=1上的点Q ,求实轴最长的双曲线 C 的方 程。

2 2

a n a 、□ a n a

&已知数列｛a n ｝满足 a 1 3a(a 0),a n 1

- ,设b n —

2a n

a n a

(1) 求数列｛b n ｝的通项公式；

(2) 设数列｛b n ｝的前项和为 S,试比较 3与-的大小，并证明你的结论?

8

9?已知焦点在x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，

且两条渐近线与以点 A(0「2)为

圆心，1为半径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线y x 对称.

(I)求双曲线C 的方程；

(n)设直线y mx 1与双曲线C 的左支交于 A , B 两点，另一直线I 经过M (-2, 0) 及AB 的中

点，求直线I 在y 轴上的截距b 的取值范围；

(川)若Q 是双曲线C 上的任一点，F 1F 2为双曲线C 的左，右两个焦点，从F 1引 F 1QF 2 的平分线的垂线，垂足为 N ,试求点N 的轨迹方程.

3

2

6 已知过函数f (x ) =x 3 ax 2

1 10. f(x)对任意x R 都有f(x) f(1 x) -■

2

1 1 n 1

(I)求f ()和f( ) f( ) (n N)的值.

2 n n

(n)数列a n满足：a n= f (0) + f (丄)f(2

- -

等差数列吗？请给予证明;f (n】)f (1)，数列a n是

-

4ah,T n b b22 b2

试比较T n 与S n 的大小. (川)令b n

bn.S n

32 16

n

11.:如图，设OA 、OB 是过抛物线y 2= 2px 顶点0的两条弦, 且OA OB = 0,求以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点 P 的 轨迹.(13分) 9

12.知函数f(x)= log 3(x 2— 2mx + 2m 2+和^)的定义域为 R (1)求实数m 的取值集合M ;

⑵求证：对 m € M 所确定的所有函数 f(x)中, 的m 的值和x 的值. 其函数值最小的一个是 2，并求使函数值等于 2 13.设关于x 的方程2x 2

-tx-2=0的两根为 ,( 4x t ),函数f(x)= 2—— X 1

(1).求f()和f()的值。 (2 )。证明：f(x)在［,］上是增函数。 (3 )。对任意正数 X 1、 X 2,求证：f ( X 1 X 1

X 2 X 2 )

f(—亠) X 1 X 2 * 2 14.已知数列｛a n ｝各项均为正数，S n 为其前n 项的和.对于任意的n N ，都有4S n a . 1 I 、求数列 a n 的通项公式. n — *

II 、若2 tS n 对于任意的n N 恒成立，求实数 t 的最大值.

15.( 12分)已知点H (— 3, 0),点P 在y 轴上，点 —- --- ---------- 3 - 且满足 HP ? PM =0, PM =— MQ , 2 (1) 当点P 在y 轴上移动时，求点 M 的轨迹C ; (2) 过点T (— 1, 0)作直线I 与轨迹C 交于A 、 得厶ABE 为等边三角形，求 X 0的值. Q 在x 轴的正半轴上，点 M 在直线PQ 上,

B 两点，若在x 轴上存在一点 E (x o ,0),使

2 16. ( 14 分)设 f 1(x)= ，定义 f n+1 (X)=f 1

[f n (X )]

1 X ,a

n =f i 0N ,

其中n € N *.

(1)求数列｛ a n ｝的通项公式;

4 n 2 n

⑵若 T 2n =a 1+2a 2+3a 3+ …+2na 2n ,Q n = 4- -,其中 n € N *,试比较 9T 2n 与 Q n 的大小.

4n 4- 1

17. 已知a = (x,0), b= (1, y),( a+\/3b ) ( a —临b ).

(I)求点(x, y)的轨迹C的方程；

(II)若直线L: y=kx+m(m 0)与曲线C交于A、B两点，D(0,-),且有|AD|=|BD| , 试求m的取值范围.

□ 1

18. 已知函数f (x)对任意实数p、q都满足f (p q) f(p) f (q),且f (1).

3

(1)当n N时，求f(n)的表达式；

n 3

(2)设a n nf (n) (n N ),求证：a k ;

k 1 4

(3)设b n nf-(n 3 (nN), S n b k,试比较—与6的大小.

f (n) k 1 k 1 S k

19. 已知函数f (x) log a x(a 0且a 1),若数列：2, f (aj, f (a2),…,

f(a n),2n 4(n N )成等差数列.

(1)求数列｛a n｝的通项a n ；

(2)若0 a 1,数列｛a n｝的前n项和为S，求lim S n;

n

(3)若a 2,令b n a n f (a n)，对任意n N ,都有b n

f 1(t),求实数t的取值范围.

20. 已知△ OFQ的面积为2飞,且OF FQ m.

■ * 1+ 1 +

(1)设' 6 m 4 6,求向量OF与FQ的夹角正切值的取值范围；

，6

(2)设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q (如图)，|OF| c,m (—— 1)c2,

4

当|OQ |取得最小值时，求此双曲线的方程.

(3)设F1为(2)中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线11、12上的动

点，且2|AB|=5|F 1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

2

21、已知函数f(x) 3x bx 1是偶函数，g(x) 5x c是奇函数，正数数列a n满足

2

a n 1,f(a n a n 1 )g( a n 1 a n a n ) 1

①求a n的通项公式;

②若a n的前n项和为S n，求lim S n. n

3 1

22、直角梯形ABCD中/ DAB= 90 ° AD// BC, AB= 2, AD= — , BC= —?椭圆C 以A、B 为焦

2

2

点且经过点D.

(1)建立适当坐标系，求椭圆C的方程；

1

(2)若点E满足EC - AB，问是否存在不平行AB的直线I与椭圆C交于M、N两点且

2

|ME | |NE |,若存在，求出直线I与AB夹角的范围，若不存在，说明理由.

23、.设函数f (x)

1 4x 2

(1)求证：对一切x R, f (x) f(1 x)为定值;

1 2

(2)记a n f (0) f ( ) f ()

n n f (- ^) f(1) (n N*),求数列｛a.｝的通

n

24. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数?当X 0时,f(x)=

7x x2 x 1

(I) 求当X<0时,f (x)的解析式；

(II) 试确定函数y = f(x) (X 0)在1, 的单调性，并证明你的结论