2020年福建省中考数学试卷及答案
2020年福建省中考数学试卷及答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.有理数1
5
-的相反数为（）
A.5
B.
15
C.15
-
D.5
-2.如图所示的六角螺母，其俯视图是（
）
A. B. C. D.
3.如图，
面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF ?的面积是（）
A.1
B.
1
2
C.
13 D.
14
4.下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A. B. C. D.
5.如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5BD =，则CD 等于（
）
A.10
B.5
C.4
D.36.如图，数轴上两点,M N 所对应的实数分别为,m n ，则m n -的结果可能是（
）
A.1
- B.1 C.2 D.3
7.下列运算正确的是（）
A.2233a a -=
B.222()a b a b +=+
C.
(
)
2
2
24
36-=-ab a b D.11(0)
-?=≠a a a 8.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）
A.62103(1)-=
x x
B.
6210
31=-x C.621031-=
x x
D.
6210
3=x
9.如图，四边形ABCD 内接于O ，AB CD =，A 为 BD
中点，60BDC ∠=?，则ADB ∠等于（）
A.40?
B.50?
C.60?
D.70?
10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线2
2y ax ax =-上的点，下列命题正确的是（
）
A.若12|1||1|->-x x ，则12y y >
B.若12|1||1|->-x x ，则12y y <
C.若12|1||1|-=-x x ，则12
y y = D.若12y y =，则12
x x =第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11.计算：8-=__________.
12.若从甲、
乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为________．
13.一个扇形的圆心角是90?，半径为4，则这个扇形的面积为______．
（结果保留π）14.2020年6月9日，
我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为100+米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为_________米．
15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则ABC ∠
等于_______度．
16.设,,,A B C D 是反比例函数k
y x
=
图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD 可以是平行四边形；②四边形ABCD 可以是菱形；③四边形ABCD 不可能是矩形；④四边形ABCD 不可能是正方形．
其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解不等式组：26312(1)x x x x ≤-??
+>-?①②
18.如图，点,E F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE DF =
．
求证：BAE DAF ∠=∠．
19.先化简，再求值：211
(1)22
x x x --÷
++
，其中1x =+．
20.某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
21.如图，AB 与O 相切于点B ，AO 交O 于点C ，AO 的延长线交O 于点D ，E 是 BCD
上不与,B D 重合的点，1
sin 2
A =
．
（1）求BED ∠的大小；
（2）若O 的半径为3，点F 在AB 的延长线上，且BF =，求证：DF 与O 相切．
22.为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图．
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如下面的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构
的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
23.如图，C 为线段AB 外一点．
（1）求作四边形ABCD ，使得//CD AB ，且2CD AB =；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为,M N ，求证：,,M P N 三点在同一条直线上．
24.如图，ADE ?由ABC ?绕点A 按逆时针方向旋转90?得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．
（1）求BDE ∠的度数；
（2）F 是EC 延长线上的点，且∠=∠CDF DAC ．①判断DF 和PF 的数量关系，并证明；②求证：
=EP PC
PF CF
．
25.已知直线1:210=-+l y x 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，二次函数的图象过,A B 两点，交x 轴于另一点C ，4BC =，且对于该二次函数图象上的任意两点()111,P x y ，()222,P x y ，当125>≥x x 时，总有
12y y >．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线2:(10)=+≠l y mx n n ，求证：当2m =-时，21//l l ；
（3）E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线3:2=-+l y x q 过点C 且交直线AE 于点F ，求ABE ?与
CEF ?面积之和的最小值．
福建省2020年中考数学试题参考答案
一、选择题
1-10BBDCB CDAAC 二、填空题11.812.
13
13.4π14.10907-15.3016.①④三、解答题
17.解：由①得26+≤x x ，
36x ≤，2x ≤．
由②得3122+>-x x ，
3221->--x x ，3x >-．
∴原不等式组的解集是32x -<≤．
18.解：证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴B D ∠=∠，AB AD =．
在ABE ?和ADF
?中，AB AD B D BE DF
ì=???
?D=Dí???=??∴()≌??ABE ADF SAS ，∴BAE DAF ∠=∠．
19.原式()()
212
211x x x x x +-+=
?
++-1
1
x =-；
当1x =时，原式
2=
=.20.解：
（1）设这个月该公司销售甲特产x 吨，则销售乙特产()100x -吨，依题意，得()10100235+-=x x ，解得15x =，则10085-=x ，经检验15x =符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产m 吨，则销售乙特产()100m -吨，且020≤≤m ，公司获得的总利润(10.510)(1.21)(100)0.320=-+--=+w m m m ，因为0.30>，所以w 随着m 的增大而增大，又因为020≤≤m ，
所以当20m =时，公司获得的总利润的最大值为26万元，故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
21.解：(1)连接OB ，
∵AB 与O 相切于点B ，∴OB AB ⊥，∵1
sin 2
A =
，∴30A ∠=?，∴60AOB ∠=?，则120BOD ∠=?．由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：
1
602
?∠=
∠=BED BOD ．故答案为：60?．(2)连接OF ，
由(1)得OB AB ⊥，120BOD ∠=?，∵3OB =，33BF =，∴tan 3∠==BF
BOF OB
，∴60BOF ∠=?，∴60DOF ∠=?．
在BOF ?与DOF ?中，OB OD BOF DOF
OF OF =??
∠=∠??=?
∴()≌??BOF DOF SAS ，∴90ODF OBF ∠=∠=?．
又点D 在O 上，故DF 与O 相切．
22.解：
（1）依题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元的户数为6
100012050
?
=．（2）依题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为
()1.56 2.08 2.210 2.512 3.09 3.25 2.41
50
??+?+?+?+?+?=（千元）．（3）依题意，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：月份
123456人均月纯收入（元）500300150200300450月份
789101112人均月纯收入（元）
620
790
960
1130
1300
1470
由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于
500300150200300450620790960113013001470+++++++++++9601130130014704000>+++>．
所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23.解：
（1）
则四边形ABCD 就是所求作的四边形．
（2）∵AB CD ∥，∴ABP CDP ∠=∠，BAP DCP ∠=∠，∴ABP CDP ??∽，∴
AB AP
CD CP
=．∵,M N 分别为AB ，CD 的中点，∴2AB AM =，2CD CN =，∴
=AM AP
CN CP
．连接MP ，NP ，又∵BAP DCP ∠=∠，∴∽??APM CPN ，∴∠=∠APM CPN ，
∵点P 在AC 上∴180∠+∠=?APM CPM ，∴180∠+∠=?CPN CPM ，∴,,M P N 三点在同一条直线上．
24.解：
（1）由旋转的性质可知，AB AD =，90BAD ∠=?，ABC ADE ??≌，∴B ADE ∠=∠，
在Rt ABD ?中，45∠=∠=?B ADB ，∴45∠=∠=?ADE B ，
∴90∠=∠+∠=?BDE ADB ADE ．（2）①=DF PF ．
证明：由旋转的性质可知，AC AE =，90CAE ∠=?，在Rt ACE ?中，45∠=∠=?ACE AEC ，∵CDF CAD ∠=∠，45∠=∠=?ACE ADB ，∴∠+∠=∠+∠ADB CDF ACE CAD ，即∠=∠FPD FDP ，
∴=DF PF ．
②过点P 作//PH ED 交DF 于点H ，∴∠=∠HPF DEP ，
=EP DH
PF HF
，∵45∠=∠+∠=?+∠DPF ADE DEP DEP ，
45∠=∠+∠=?+∠DPF ACE DAC DAC ，
∴∠=∠DEP DAC ，又∵∠=∠CDF DAC ，∴∠=∠DEP CDF ，∴=∠∠HPF CDF ．又∵FD FP =，F F ∠=∠∴≌??HPF CDF ，∴HF CF =，∴=DH PC ，
又∵
=EP DH
PF HF ，∴=EP PC
PF CF
．
25.解：
（1）对于1:210=-+l y x ，当0x =时，10y =，所以()0,10A ；
当0y =时，2100x -+=，5x =，所以()5,0B ，又因为4BC =，所以()9,0C 或()1,0C ，
若抛物线过()9,0C ，则当57x <<时，y 随x 的增大而减少，不符合题意，舍去．若抛物线过()1,0C ，则当3x >时，必有y 随x 的增大而增大，符合题意．故可设二次函数的表达式为210=++y ax bx ，
依题意，二次函数的图象过()5,0B ，()1,0C 两点，
所以255100100a b a b ++=??
++=?，解得2
12
a b =??
=-?所求二次函数的表达式为221210y x x =-+．
（2）当2m =-时，直线2:2(10)=-+≠l y x n n 与直线1:210=-+l y x 不重合，假设1l 和2l 不平行，则1l 和2l 必相交，设交点为()00,P x y ，
由000
02102y x y x n =-+??=-+?得002102-+=-+x x n ，
解得10n =，与已知10n ≠矛盾，所以1l 与2l 不相交，所以21//l l ．（3
）如图，
因为直线3:2=-+l y x q 过()1,0C ，所以2q =，又因为直线1:210=-+l y x ，所以31//l l ，即//CF AB ，所以∠=∠FCE ABE ，∠=∠CFE BAE ，
所以∽??FCE ABE ，所以2
????= ???
FCE ABE S CE S BE ，
设()04=< 11 10522 ?= ?=??=ABE S BE OA t t ，所以2 222 (4)5(4)5??--??=?=?= ??? FCE ABE CE t t S S t BE t t ， 所以25(4)5??-+=+ABE FCE t S S t t 801040=+ -t t 2 1040? =+ 所以当t =时，??+ABE FCE S S 的最小值为40-．