2020年辽宁省沈阳市中考数学试卷(附答案解析)
2020年辽宁省沈阳市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．（2分）下列有理数中，比0小的数是（）
A．－2B．1C．2D．3
2．（2分）2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录．将数据10900用科学记数法表示为（）
A．1.09×103B．1.09×104C．10.9×103D．0.109×105
3．（2分）如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
4．（2分）下列运算正确的是（）
A．a2+a3＝a5B．a2?a3＝a6C．（2a）3＝8a3D．a3÷a＝a3
5．（2分）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（）
A．65°B．55°C．45°D．35°
6．（2分）不等式2x≤6的解集是（）
A．x≤3B．x≥3C．x＜3D．x＞3
7．（2分）下列事件中，是必然事件的是（）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
8．（2分）一元二次方程x2－2x+1＝0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
9．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（－3，0），点B（0，2），那么该图象不经过的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（）
A．B．πC．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：2x2+x＝．
12．（3分）二元一次方程组的解是．
13．（3分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2＝2.9，S乙2＝1.2，则两人成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC ⊥OB于点C，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若OB＝4，AC＝3，则k的值为．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：2sin60°+（－）－2+（π－2020）0+|2－|．
18．（8分）沈阳市图书馆推出“阅读沈阳书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．（温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示）．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为．
四、（每小题8分，共16分）.
20．（8分）某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝，n＝；
（2）根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
21．（8分）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时．（1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．
（1）填空：AO的长为，AB的长为；
（2）当t＝1时，求点N的坐标；
（3）请直接写出MN的长为（用含t的代数式表示）；
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t＝时，请直接写出S1?S2（即S1与S2的积）的最大值为．
七、（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，
①求证：PA＝DC；
②求∠DCP的度数；
（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出P A和DC的数量关系．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离为．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，－3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．
①直接写出△MBN的形状为；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1＝S2时，求点M的坐标；
（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE
绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2时，请直接写出点G的坐标为．
【试题答案】
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．A
【解答】解：由于－2＜0＜1＜2＜3．
2．B
【解答】解：将10900用科学记数法表示为1.09×104．
3．D
【解答】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形．4．C
【解答】解：A、a2+a3，不是同类项，无法合并，不合题意；
B、a2?a3＝a5，故此选项错误；
C、（2a）3＝8a3，正确；
D、a3÷a＝a2，故此选项错误．
5．B
【解答】解：∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝180°－90°－∠BAC＝90°－35°＝55°，
∵直线AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝55°．
6．A
【解答】解：不等式2x≤6，
左右两边除以2得：x≤3．
7．A
【解答】解：A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件；
B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件；
C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；
D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件．
8．B
【解答】解：由题意可知：△＝（－2）2－4×1×1＝0．
9．D
【解答】解：（方法一）将A（－3，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+2．
∵k＝＞0，b＝2＞0，
∴一次函数y＝x+2的图象经过第一、二、三象限，
即该图象不经过第四象限．
故选：D．
（方法二）依照题意，画出函数图象，如图所示．
观察函数图象，可知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第四象限．10．C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，
∴AE＝AD＝2，
∵AB＝，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝60°，
∴的长＝＝．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．x（2x+1）
【解答】解：原式＝x（2x+1）．
12．
【解答】解：，
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
则方程组的解为．
13．乙
【解答】解：∵甲＝7＝乙，S甲2＝2.9，S乙2＝1.2，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩比较稳定．
14．6
【解答】解：∵AO＝AB，AC⊥OB，
∴OC＝BC＝2，
∵AC＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y＝，可得k＝6．
15．8
【解答】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点，
∴EF是△BCM的中位线，
∵EF＝6，
∴BC＝2EF＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝12，
∵AM＝2MD，
∴AM＝8．
16．或1
【解答】解：如图1，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝OD，∠BAD＝90°＝∠OHD，AD＝BC＝8，
∴OH∥AB，
∴，
∴OH＝AB＝3，HD＝AD＝4，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，∴∠APO＝∠EPO＝45°，
又∵OH⊥AD，
∴∠OPH＝∠HOP＝45°，
∴OH＝HP＝3，
∴PD＝HD－HP＝1；
当∠PFD＝90°时，
∵AB＝6，BC＝8，
∴BD＝＝＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝5，
∴∠DAO＝∠ODA，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，∴AO＝EO＝5，∠PEO＝∠DAO＝∠ADO，
又∵∠OFE＝∠BAD＝90°，
∴△OFE∽△BAD，
∴，
∴，
∴OF＝3，
∴DF＝2，
∵∠PFD＝∠BAD，∠PDF＝∠ADB，
∴△PFD∽△BAD，
∴，
∴，
∴PD＝，
综上所述：PD＝或1．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2×+9+1+2－
＝+12－
＝12．
18．【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，找出抽出的两名学生性别相同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中抽出的两名学生性别相同的结果数为3，
所以抽出的两名学生性别相同的概率＝＝．
19．【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，即可得到判定△AOM≌
△CON的条件；
（2）连接CE，设AE＝CE＝x，则DE＝6－x，再根据勾股定理进行计算，即可得到AE的长．
【解答】解：（1）∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠M＝∠N，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS）；
（2）如图所示，连接CE，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，则DE＝6－x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3，
∴Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，
即32+（6－x）2＝x2，
解得x＝，
即AE的长为．
故答案为：．
四、（每小题8分，共16分）.
20．【分析】（1）根据其他垃圾的吨数和所占的百分比可以求得m的值，然后根据条形统计图中的数据，即可得到n的值；
（2）根据统计图中的数据，可以得到可回收物的吨数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物．
【解答】解：（1）m＝8÷8%＝100，n%＝×100%＝60%，
故答案为：100，60；
（2）可回收物有：100－30－2－8＝60（吨），
补全完整的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，故答案为：108；
（4）2000×＝1200（吨），
即该市2000吨垃圾中约有1200吨可回收物．
21．【分析】求的是工效，工作总量是3000m，则是根据工作时间来列等量关系．关键描述语是提前2天完成，等量关系为：原计划时间－实际用时＝2，根据等量关系列出方程．【解答】解：设原计划每天修建盲道xm，
则－＝2，
解得x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，
答：原计划每天修建盲道300米．
五、（本题10分）
22．【分析】（1）如图，连接OD，由切线的性质可得∠ODC＝90°，可得∠BDO+∠ADC
＝90°，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可证∠A＝∠ADC，可得DC＝AC；
（2）由等腰三角形的性质可得∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，由三角形内角和定理可求∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠BDO+∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠A＝∠ADC，
∴CD＝AC；
（2）∵DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，
∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC＝180°，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，
∴DC＝OD＝，
故答案为：．
六、（本题10分）
23．【分析】（1）利用两点间距离公式求解即可．
（2）求出直线AB的解析式，利用待定系数法即可解决问题．
（3）求出PN，PM即可解决问题．
（4）如图，当t＝时，MN＝＝4，设EM＝m，则EN＝4－m．构建二次函
数利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵A（4，4），B（6，0），
∴OA＝＝4，AB＝＝2．
故答案为4，2．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，4），B（6，0）代入得到，，解得，
∴直线AB的解析式为y＝－2x+12，
由题意点N的纵坐标为1，
令y＝1，则1＝－2x+12，
∴x＝，
∴N（，1）．
（3）当0＜t＜4时，令y＝t，代入y＝－2x+12，得到x＝，
∴N（，t），
∵∠AOB＝∠AOP＝45°，∠OPM＝90°，
∴OP＝PM＝t，
∴MN＝PN－PM＝－t＝．
故答案为．
（4）．如图，当t＝时，MN＝＝4，设EM＝m，则EN＝4－m．
由题意S1?S2＝?m×4×（4－m）×4＝－4m2+16m＝－4（m－2）2+16，
∵－4＜0，
∴m＝2时，S1?S2有最大值，最大值为16．
故答案为16．
七、（本题12分）
24．【分析】（1）①证明△PBA≌△DBC（SAS）可得结论．
②利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）证明△CBD∽△ABP，可得＝＝解决问题．（3）分两种情形，解直角三角形求出AD即可解决问题．【解答】（1）①证明：如图①中，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，
∴△ABC，△PBD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠PBD＝60°，
∴∠PBA＝∠DBC，
∵BP＝BD，BA＝BC，
∴△PBA≌△DBC（SAS），
∴P A＝DC．
②解：如图①中，设BD交PC于点O．
∵△PBA≌△DBC，
∴∠BP A＝∠BDC，
∵∠BOP＝∠COD，
∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．
（2）解：结论：CD＝P A．
理由：如图②中，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，
∴BC＝BA，BD＝BP，
∴＝＝，
∵∠ABC＝∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴＝＝，
∴CD＝P A．
（3）过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N．
如图3－1中，当△PBA是钝角三角形时，
在Rt△ABN中，∵∠N＝90°，AB＝6，∠BAN＝60°，
∴AN＝AB?cos60°＝3，BN＝AB?sin60°＝3，
∵PN＝＝＝2，
∴P A＝3－2＝1，
由（2）可知，CD＝P A＝，
∵∠BAP＝∠BDC，
∴∠DCA＝∠PBD＝30°，
∵DM⊥PC，
∴DM＝CD＝
如图3－2中，当△ABN是锐角三角形时，同法可得P A＝2+3＝5，CD＝5，DM＝CD ＝，
综上所述，满足条件的DM的值为或．
故答案为或．
八、（本题12分）
25．【分析】（1）将点B，点C坐标代入解析式，可求b，c的值，即可求抛物线的表达式；
（2）①如图2，过点D作DH⊥OB，由旋转的性质可得OD＝3，∠COD＝30°，由直角三角形的性质可得OH＝OH＝，DH＝OH＝，由锐角三角函数可求∠HBD＝30°，由对称性可得BN＝BM，∠MBH＝∠NBH＝30°，可证△BMN是等边三角形；
②由三角形面积公式可求S2，S1，由等边三角形的面积公式可求MN的长，由对称性可求MR＝NR＝，由直角三角形的性质可求BR＝3，可得OR＝3，即可求点M坐标；
（3）如图3中，过点F作FH⊥BG交BG的延长线于H．想办法证明△BFK是等边三角形，推出BG⊥x轴即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，－3），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2－；
（2）①如图2，过点D作DH⊥OB于H，设MN与x轴交于点R，
∵点B（6，0）和点C（0，－3），
∴OC＝3，OB＝6，
∵线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD，
∴OD＝3，∠COD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵DH⊥OB，
∴∠ODH＝30°，
∴OH＝OH＝，DH＝OH＝，
∴BH＝OB－OH＝，
∵tan∠HBD＝＝＝，
∴∠HBD＝30°，
∵点M关于x轴的对称点为点N，
∴BN＝BM，∠MBH＝∠NBH＝30°，
∴∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
②∵△ODB的面积S2＝×OB×DH＝×6×＝，且S1＝S2，∴S1＝×＝3，
∵△BMN是等边三角形，
∴S1＝MN2＝3，
∴MN＝2，
∵点M关于x轴的对称点为点N，
∴MR＝NR＝，MN⊥OB，
∵∠MBH＝30°，
∴BR＝MR＝3，
∴OR＝3，
∵点M在第四象限，
∴点M坐标为（3，－）；
（3）如图3中，过点F作FH⊥BG交BG的延长线于H．
由题意BE＝BF＝6，FK∥OB，
∴∠ABK＝∠FKB＝60°，
∵BG平分∠FBE，GF平分∠BFK，
∴∠FGB＝120°，设GH＝a，则FG＝2a，FH＝a，在Rt△BHF中，∵∠FHB＝90°，
∴BF2＝BH2+FH2，
∴62＝（2+a）2+（a）2，
解得a＝或－2（不符合题意舍弃），
∴FG＝BG＝2，
∴∠GBF＝∠GFB＝30°，
∴∠FBK＝∠BFK＝60°，
∴△BFK是等边三角形，此时F与K重合，BG⊥KF，∵KF∥x轴，
∴BG⊥x轴，
∴G（6，－2）．