平行线等分线段定理三角形梯形的中位线(含答案)

平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线

重点与难点：三角形、梯形中位线的综合运用 一、知识点

（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直

线上截取的线段也相等。

推论1：经过梯形一腰与底平行的直线，必平分另一腰。 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边。 （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 （3）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 二、例题：

例1、下列图形是不是中心对称图形？若是，请指出对称中心。 （1）线段；（2）直线；（3）平行四边形；（4）圆

解： （1）线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点；

（2）直线是中心对称图形，对称中心是直线上的任意一点；

（3）平行四边形（当然也就包括了矩形、菱形、正方形）是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；

（4）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 例2、判断下列说法是否正确：

（1）矩形的对边关于对角线交点对称。（ ） （2）圆上任意两点关于圆心对称。（ ）

（3）两个全等三角形必关于某一点中心对称。（ ） （4）成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等。（ ） 解：（1）（4）正确

（2）（3）错误

例3、在下列图形中既是轴对称图菜，又是中心对称图形的是（ ）

①任意平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤正三角形；⑥等腰直角三角形 解：①②③

例4、下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） ①平行四边形；②一条线段；③一个角；④圆 解：①

＊例5、在△ABC 中，∠A≠90°，作既是轴对称又是中心对称的四边形ADEF ，使D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，这样的四边形可以作（ ）个

D C F

E

B

D

C

F B A

3

D

C

E

B A

2

1D

C

F B A

解：如图：因为四边形ADEF 是中心对称图形， 所以它一定是平行四边形； 因为四边形ADEF 是轴对称图形， 所以它的对角线互相垂直。

于是它是菱形。这样的菱形只能作一个。

例6、如图：在四边形ABCD 中，有AB=DC ，∠B=∠C，AD

∴EB=EC（等角对等边） 又∵AB=CD ∴AE=DE

∴∠1=∠2（等边对等角）

∵∠1+∠2+∠E=180°，∠B+∠C+∠E=180° ∴∠1=∠B

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行） 又∵AD≠BC,AB=CD

∴四边形ABCD 是等腰梯形（等腰梯形定义） 法二：作AF∥CD 交BC 于F ，则 ∠3=∠C（两直线平行，同位角相等） 又∵∠B=∠C ∴∠B=∠3

∴AB=AF（等角对等边） ∴AF=CD

∴四边形AFCD 是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴AD∥BC（平行四边形的对边互相平行0 又∵AD≠BC,AB=CD

∴四边形ABCD 是等腰梯形（等腰梯形定义）

例7：梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=3，AB=4，BC=5，则腰CD 的取值范围是__________。 要求一条线段的取值范围，通常应当把这条线段放到一个三角形中，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来求得取值范围。

解 如图，作DF∥AB 交BC 于F ，则得到平行四边形ABFD 从而求得DF=4，BF=3，CF=2 在△CDF 中，4－2

D

C

F

E

B A D

C

B

A

G

即：2

例8：已知，梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=1cm ，BC=5cm ，∠B=60°，∠C=30°。 求：（1）AB 、CD 的长；（2）梯形ABCD 的面积。

解：（1）如图，作AE⊥BC 于E ，DF⊥BC 于F ，则∠AEB=∠AEF=90°，∠DFC=90° ∴AE∥DF（垂直于同一直线的两条直线平行） 又∵AD∥BC

∴四边形AEFD 是平行四边形（平行四边形的定义）

∴四边形AEFD 是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形） ∴AE=DF，EF=AD=1cm 设BE=x

在Rt△ABE 中，∵∠B=60°

∴∠BAE=90°－∠B=30°（直角三角形两锐角互余）

∴AB=2BE=2x（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） 又∵AB 2=AE 2+BE 2（勾股定理） ∴AE=3x ∴DF=3x

在Rt△DFC 中，同理可得CD=23x ，CF=3x ∴BE+EF+CF=x+1+3x=5 ∴x=1

∴AB=2cm，CD=23，AE=3 （2）S ABCD =

2)(AE BC AD +=332

3

)51(=+

当然，这个题目也可这样作辅助线：

如图，作AG∥CD 交BC 于G ，从而得到一个平行四边形和一个直角三角形。

三、训练题：

1、下面图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） （A ）平行四边形 （B ）菱形 （C ）等边三角形 （D ）等腰梯形

2、下列命题中的真命题是（

）

A 、 等腰梯形底角相等；

B 、等腰梯形对角线互相垂直；

C 、平行四边形也是梯形；

D 、等腰梯形是轴对称图形。

3、梯形的两底分别长16cm 和8cm ，两底角分别为60°和30°，则较短的腰长为( )

（A ）8cm （B ）10cm （C ）12cm （D ）4cm

4、梯形高为12，两对角线长为15和20，则梯形面积是( )

（A ）150 （B ）42 （C ）150 或42 （D ）无法确定 5、梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=BC ，AC ⊥BC ，则∠ACD=( )

（A ）45° （B ）30° （C ）60° （D ）40°

6、如图，O 为梯形ABCD 的对角线的交点，图中面积相等的三角形共有( ).

（A ）一对 （B ）两对 （C ）三对 （D ）四对 7、直角梯形两腰的比为2:

1，则它的锐角是（ ）

（A ）45° （B ）30° （C ）60° （D ）40°

8、如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C=90°，若AB=AD=a ，∠A=60°，求梯形的周长和面积。

D C

B

A

9、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，E 是下底BC 的中点，且∠EAD=∠EDA，

求证：梯形ABCD 是等腰梯形。

10、如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，AB=2BC ，BD 平分∠ABC，且∠ABD=30°。

求证：四边形ABCD 是等腰梯形。

D C

B

A

A

B

C

D

E D

C

B

A

O

答案： 1、B

2、D

3、D

4、C

5、B

6、C

7、A

8、连结BD ，a 235 ，a 8

33

9、提示：证明△ABE≌△DCE

10、提示：作DE∥BC 交AB 于E ，证明AD=DE=BC.

青岛版(五四)数学八年级上5.4平行线的性质定理和判定定理(同步练习)

5.4 平行线的性质定理和判定定理 1．下列命题中正确的有（） ①相等的角是对顶角；②若a∥b，b∥c，则a∥c； ③同位角相等；④邻补角的平分线互相垂直． A．0个B．1个C．2个D．3个 2．有下列四种说法： （1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 （2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直 （3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 （4）平行于同一条直线的两条直线平行． 其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（） A．B．C．D． 4．如图，∠C=110°，请添加一个条件，使得AB∥CD，则符合要求的其中一个条件可以是． （4题图）（5题图）（6题图）（7题图） 5．如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1=50°，则∠2的度数为． 6．如图，l∥m，∠1=120°，∠A=55°，则∠ACB的大小是． 7．如图，直线a∥b，∠1=110°，∠2=55°，则∠3的度数为． 8．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．

9．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD与M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G，求∠MGC 的度数． 10．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．

参考答案 1．C 2．D 3．B 4. ∠BEC=70°5．50° 6．65° 7．55° 8．解：∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABC=130°， ∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°， ∴∠2=∠BDC=50°． 9．解：∵∠EMB=50°， ∴∠BMF=180°﹣50°=130°． ∵MG平分∠BMF， ∴∠BMG=∠BMF=65°． ∵AB∥CD， ∴∠MGC=∠BMG=65°． 10．证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∵AB∥CD，∠CFE=∠E， ∴∠1=∠CFE=∠E， ∴∠2=∠E， ∴AD∥BC． 初中数学试卷 桑水出品

(八年级数学教案)平行线等分线段定理

平行线等分线段定理 八年级数学教案 教学建议 1．平行线等分线段定理 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等． 注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成． 定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段． 2．平行线等分线段定理的推论 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰． 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。 记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”． 推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分． 重难点分析

本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础. 本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意. 教法建议 平行线等分线段定理的引入 生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑： ①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等； ②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论. 教学设计示例 一、教学目标 1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.

2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力． 3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力． 4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美 ●二、教法设计 学生观察发现、讨论研究，教师引导分析 ●三、重点、难点 1．教学重点：平行线等分线段定理 2．教学难点：平行线等分线段定理 ●四、课时安排 l课时 ●五、教具学具 计算机、投影仪、胶片、常用画图工具 ●六、师生互动活动设计 教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习

平行线分线段成比例教案

l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） （引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m 上所截得的线段相等，那么在直线n 所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。 那如果所截得的线段不等呢这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理. 活动三：分析探索，新知学习 问题2：已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH ，那么擦出其中1条如l 3后有何结论 l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A

5.3.1平行线的性质(教案)

5.3.1平行线的性质 (教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

5.3 平行线的性质 5.3.1 平行线的性质 【知识与技能】 1.掌握平行线的性质定理. 2.综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算. 【过程与方法】 1.经历猜想、实践、探究不难得到平行线的性质定理.在此基础上，结合前节的知识，进行简单的证明或计算. 2.培养学生逆向思维的能力. 【情感态度】 培养学生逆向思维的能力. 【教学重点】 掌握平行线的性质定理，综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算. 【教学难点】 综合运用平行线的判定及性质进行简单的证明或计算. 一、情境导入，初步认识 问题利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？二、思考探究，获取新知 可将上述问题细化： 1.如图，直线a∥b,直线a,b被直线c所截. （1）请填表： （2）如果a与b不平行，∠1与∠2还有以上关系吗？

（3）通过（1）（2）的探究，你能得到什么结论？ 2.如图，直线a∥b,则∠3与∠2相等吗为什么∠3与∠4互补吗 思考1.你能根据以上探究，归纳出平行线的三个性质定理吗？ 2.平行线的性质定理与相应的判定定理是怎样的关系？ 【归纳结论】1.平行线的性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 2.平行线的性质定理与相应的判定定理的已知部分和结论部分正好相反，它们是互逆关系. 三、运用新知，深化理解 1.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠A与∠C有怎样的大小关系，为什么？ 2.已知AB∥CD,直线EF分别交AB，CD于M，N，MP平分∠EMA，NQ平分 ∠MNC，那么MP∥NQ，为什么？ 3.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=_____.

三角形一边的平行线判定定理

第三讲：三角形一边的平行线判定定理 一、知识要点： 1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 数学表达： 如图，直线DE 截△ABC 得两边AB 、AC ， 若① AD AE DB EC =,②AD AE AB AC =,③BD EC AB AC = 中之一为已知条件，则DE ∥BC 2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 数学表达： 若点D 、E 分别在射线AB 、AC 上，如图（1）或分别在他们的方向延长线上如图（2），且具备上述条件①、②、③之一，则D E ∥BC. 牛刀小试： 1、如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上。判断在下列条件下能否推出D E ∥BC,为什么？ （1） 2 3 AD DB =,AE=2，AC=3 （2）25AD AB =,25DE BC = （3）23AD DB =,53 AC CE = 2、△ABC 中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么能推出D E ∥BC 的条件是（） A 、 AB 3=AD 2,EC 1=AE 2B 、AD 2=AB 3,DE 2 =BC 3 C 、 AD 2=DB 3,CE 2=AE 3D 、AD 3=AB 4,AE 3 =EC 4 二、典型例题 例1、如图EF ∥BC ，3 1 =AC AF ，BF=4，FD=2，求证：EF ∥ AD AD E D C B A

EF BC 例2、如图所示，M 为AB 的中点，EF ∥AB,连接EM 、FM ，分别交AF 、BE 于点C 、D ，连接CD 。 求证：CD ∥AB. 分析：判定两直线平行的方法一般有四种：（1）通过“三线八角”的相等或互补判定两直线平行；（2）通过三角形、梯形中位线定理判定两直线平行；（3）通过平行四边形的判定间接证平行；（4）通过比例线段证平行。 本题运用第（4）种方法，因为它包含了比例线段的几种基本图形。 例3、如图，已知MB ∥ND ，PA PD PB ?=2，求证： NB ∥MA M N ABDP 例4、作图题：已知线段a 、b 、c 求作线段x ，使a ：b =c ：x 扩展训练： 例5、如图△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，DEFG 为平行四边形，连BG 、CF 且分别延长交于H ，连AH ，求证：AH ∥DG A DE BC GF H A DE H GF B 三、课堂练习 一、选择题： 1、 如图在ΔABC 中，DE 与AB 、AC 交于D 、E ，由以下比例式能判定DE//BC 的是 () O F E D C B A

5.4平行线的性质定理和判定定理

7.3平行线的判定 【知识沙盘】 【学习目标】 1.会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来规范证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”. 2.能用平行线的判定解决一些简单的问题. 【重点】1. 能规范证明平行线的判定定理. 2.平行线判定定理的简单应用. 【难点】用数学语言和符号语言对文字命题的表述. 【学情分析】 经过前面的学习我们发现，我们得打的任何一个结论都要有依据。而我们根据这些“依据”推理、证明，从而得到结论的过程叫做证明。在“同位角相等，两直线平行”的基本事实下，我们将通过演绎推理得到“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直

线平行”，从而得到平行线的判定定理. 【教学过程】 一、导入 你能用折纸的方法折出两条平行线吗？你的依据是什么？通过前面的学习，我们知道了“同位角相等，两直线平行”的基本事实，那我们能利用它证明另外两个判定定理吗？让我们一起来探究吧！ 二、自主学习 阅读并完成学习指导书的知识储备，完成【自主学习】A级和B级. 三、交流研讨 出示答案，自主订正 四、精讲部分 （一）不讲内容： ①知识储备、归类总结 ②A级1,2 （二）略讲内容： ①B级 3 3.蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中 o = B70 = ∠.试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论. D ∠ = C A110 = ∠ ∠，o

直线平行） 　（同旁内角互补，两ＢＤ（等式的性质） Ｂ（已知） Ｂ，直线平行） 　（同旁内角互补，两（等式的性质） （已知） ，理由：ＢＤ解：C A A A DC AB D A D A C A DC A B O O //18070110//18070110////o o o o ∴=∠+∠∴=∠=∠∴=∠+∠∴=∠=∠ （三）精讲内容： ① C 级 4 4.如图，点Ｄ，Ｅ分别在AB 和AC 上，.ABC BE ∠平分 （１）若DEB DBE ∠=∠,求证：BC DE //. （２）若BC DE //，求证：BDE ?为等腰三角形. （３）在(1)的条件下，若O EBC 25=∠，求BDE ∠的度数．

初数学平行线分线段成比例定理

初数学平行线分线段成比例定理

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章§5.2 [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。 定理的基本图形

∵l 1∥l 2∥l 3 ∴EF BC DE AB DE AB = == 应。 ② 为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式： EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 L L L 图1-（1） C F A B E D F C 图1-（2）3 E D 12B A F 3 L C 图1-（3） 2L L 1B E A 图1-（4） F L 3 C L 2L 1B D A 3 L 2L L 1(D)(E)

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理教材梳理素材新人教A版4-1!

一平行线等分线段定理 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、平行线等分线段定理 1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c 交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图1-1-2)，如果AB=BC，那么A′B′=B′C′. 图1-1-2 图1-1-3 2.对于定理的证明，如图1-1-3所示，分m∥n和m不平行于n两种情况证明.当m∥n时，直接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式. 3.定理的条件是a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多. 方法点拨定理图形的变式:对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图1-1-4):如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线DE的位置变化不影响定理的结论. 图1-1-4 4.定理的作用：利用本定理可将一线段分成n等分，也可以证明线段相等或转移线段的位置. 图1-1-5 误区警示平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图1-1-5. 二、平行线等分线段定理的推论 1.平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰. 2.两个推论的证明如下: 推论1:如图1-1-6(1)，在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′,交AC′于B′点，求证:B′是AC′的中点. 证明:如图1-1-6(2)，过A作BB′与CC′的平行线，∵a∥b∥c，AB=BC，

(完整版)初数学平行线分线段成比例定理

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章 §5.2 [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比 EF BC = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形

又∵ 43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7 3 =DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则 ∵ 32=DC BD ∴ DB=x x DC 3 14 73232=?= ∴9 14 3314==x x EG BD

例3 分析 BC//FE 证明：∵则例4 分别连结E ，DB 首先观察证明：∵点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可 例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线上，且C C B B A A '''//// 求证：C C B B A A '='+'111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。 证明：∵A A C C ''// ∴ BA C B A A C C '='' ∵B B C C ''// ∴B B C C ='' ∴1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C ∴B B A A '+'11

九年级数学 【教案】平行线分线段成比例

九年级数学 平行线分线段成比例 一、教学目标 1．知识目标： 了解平行线分线段成比例定理 2．能力目标： 掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 二、教学过程分析 1.复习提问 （1）什么叫比例线段？ 答：四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ：b =c ：d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段. （2）比例的基本性质？ 答：如果 a ：b =c ：d ，那么ad =bc. 如果 ad =bc ，那么 a ：b =c ：d . 如果 a ：b =c ：d ，那么(a-b)：b =(c-d)：d; (a+b)：b =(c+d)：d. 2.引入新课 做一做 在图4-6中，小方格的边长均为1，直线l 1 ∥ l 2∥ l 3，分别交直线m ，n 与格点A 1 ，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3. 图4-6 （1）计算 的值，你有什么发现？ （2）将2l 向下平移到如图4-7的位置，直线m,n 与2l 的交点分别为21,B A 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其它位置呢？ （3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 12122323B B B B A A A A 与

3.分组讨论，得出结论 平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 4.想一想 （一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ （二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

平行线的性质定理

8.4平行线的判定定理 7数导—010 授课时间：2014年3月日班级：姓名： 一、学习目标 1、掌握平行线的性质定理“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补” 2、在与前一节判定定理的联系中，体会互逆的思维过程。 3、进一步理解证明的基本步骤和书写格式。 4、发展学生的初步的演绎推理能力。 二、重难点 重点：平行线的性质定理。 难点：明确推理证明每一步的理论依据，证明格式和步骤的规范性。 三、学习过程： （探究一）两直线平行的性质定理1：两直线平行，同位角相等 结合学习目标独立思考，翻看课本48—49页了解性质定理一的证明过程，由此，我们可以得到两直线平行的第一个性质定理： （探究二）两直线平行的性质定理2：两直线平行，内错角相等 （1）你能将命题“两直线平行，内错角相等”用“如果…那么…”的形式表示出来吗？请写出来。 （2）通过（1）的表示，请找出该命题中的条件和结论。 条件： 结论： （3）通过（2）的条件和结论，你能写出已知、求证吗？并根据已知画出几何图形和完成证明过程中的填空。 已知： 求证： 证明：∵a∥b（） ∴∠3=∠2 （） ∵∠1=∠3（） ∴∠1= （） 由此，我们可以得到两条直线平行的第二个性质定理： （探究三）两直线平行的性质定理3：两直线平行，同旁内角互补 独立思考，脱离课本完成下列问题： （1）、通过定理“两直线平行，内错角相等”的学习，你能结合图形直接写出命题“两直线平行，同旁内角互补”的证明过程吗？试试看。已知：如图a∥b，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的同旁内角。 求证：∠1+∠2=180° 证明： 由此，我们可以得到两条直线平行的第三个性质定理： 预习自测 1、如图a∥b，写出相等的同位角： . 写出相等的内错角：， 写出互补的同旁内角： 2、如图a∥b，∠1=68°，那么：∠2的度数为 3、如图，已知：DE∥BC，∠ABC=52°，∠BED=18° 求：∠ABE的度数 四.课堂学习 1、小组展示探究二的证明过程，进一步规范证明定理的基本步骤。 2、小组展示探究三的证明过程。你还能用其他方法求证吗？组内交流。

平行线等分线段定理练习及答案

【金版学案】2015-2016学年高中数学1.1平行线等分线段定理练习 新人教A版选修4-1 1．平行线等分线段定理：如果一组________在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 2．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必________第三边． 3．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________另一腰． 4．如图所示，D、E、F分别△ABC三边的中点，则与△DEF全等的三角形有________个． 预习导学 1．平行线 2．平分 3．平分 4．3 ?一层练习 1．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是( ) 1．C 2．如图所示，l1∥l2∥l3，直线AB与l1、l2、l3相交于点A、E、B，直线CD与l1、l2、l3相交于点C、E、D，AE＝EB，则有( )

A ．AE ＝CE B ．BE ＝DE C ．CE ＝DE D ．C E ＞DE 2.C 3．如图所示，AB ∥CD ∥EF ，且AO ＝OD ＝DF ，BC ＝6，则BE 为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 3.A 4．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与直线a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和点A ′、 B ′、 C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32 ，则B ′C ′＝________． 4.32 5．如上图所示，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点M 是AD 的中点，CM 交AB 于点P ，

DN ∥CP .若AB ＝6 cm ，则AP ＝________；若PM ＝1 cm ，则PC ＝________. 5.2 cm 4 cm ?二层练习 6．AD 是△ABC 的高，DC ＝1 3 BD ，M ，N 在AB 上，且AM ＝MN ＝NB ，ME ⊥BC 于 E ，N F ⊥BC 于F ，则FC ＝( ) A.23BC B.23BD C.34BC D.34BD 6.C 7．在梯形ABCD 中，点M 、N 分别是腰AB 与腰CD 的中点，且AD ＝2，BC ＝4，则 MN 等于( ) A ．2.5 B ．3 C ．3.5 D ．不确定 7．B 8．顺次连接梯形各边中点的连线所围成的四边形是________． 8.平行四边形 9．梯形中位线长10 cm ，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3 cm ，则该梯形中的较大的底是________cm. 9.13 10．如图，F 是AB 的中点，FG ∥BC ，EG ∥CD ，则AG ＝________，AE ＝________． 10.GC ED ?三层练习

第二讲：三角形一边的平行线性质定理解析

第二讲：三角形一边的平行线性质定理 一、知识要点： 1复习、同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比， （2） （1） D C B A D C B A 如图（1）： ABD ADC S BD S DC = 如图（2）：若A D ∥BC,则 ADC ABC S AD S BC = 2、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 如图（1），若D E ∥BC ，则 AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CE AB AC = 1 ＝＝特殊地：EC AE DB AD ， 如图（2），若D E ∥BC ，则 AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DA EB DC = E D E （2） （1） C B A D C B A 3、三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 如图（1）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，则 AD DE AE AB BC AC == ; 如图（2）已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE ∥BC ，则 AB BC AC AE DE AD == .

小试牛刀： 选择题 1、在“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例”定理证明中，所用的思想方法是（ ） A 、先证明特殊情况成立，再证得一般情况成立 B 、利用平行线性质 C 、利用三角形全等 D 、把线段的比转化为面积的比，再把面积比转化成线段的比 一、填空题 1、 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AE=_______EC 2、 已知：D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AE=6，AD=3,AB=5,则 AC=____________ 3、 已知：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别是边AB 、AC 上的点，若AD:AB=2:9,EC-AE=5 厘米，则AC=_______厘米。 4、 如图，已知：AC ∥BD ，AB 与CD 交于点O 。若AC:BD=2:3,AO=1.2,则AB=___________. 5、 如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AD:BD=3:4，BE 和CD 相交于点O ，则EO:OB=____________。 第1题 E D C B A 第4题 O D C B A O E D C B A 二、典型例题： 例1、 如图所示，D E ∥AB,EF ∥BC ，AF=5厘米，FB=3厘米，CD=2厘米。求BD 。 F E D C B A

平行线分线段成比例定理(一)

[文件] sxc2jja0013.doc [科目] 数学 [年级] 初二 [章节] [关键词] 平行线分线段成比例 [标题] 平行线分线段成比例定理(一) [内容] 教学目标 1.理解平行线分线段成比例定理，并能初步应用它进行简单的计算. 2.培养学生类比联想及用运动的思维方式看待问题的能力. 教学重点和难点 平行线分线段成比例定理及应用. 教学过程设计 一、类比联想、发现定理 1.复习平地线等分线段定理的内容及数学表达式，如图5-13. ∵l 1//l 2//l 3，AB=BC ， ∴EF=FG. 2.将上述命题改写成比例的形式. ∵l 1//l 2//l 3//l 4，AB:BC=1:1， ∴EF:FG=1:1，则有 1==FG EF BC AB 3.运用类比方式将比值从1推广到正实数m 得出猜想. 教师启发学生思考： 在图5-13中，l 1//l 2//l 3//l 4，AB=BC=CD ，1,1≠≠BD AB CD AC ，那么还有类似比例式成立吗? 学生可从图中看出 2 1,12====FH EF BD AB GH EG CD AC ，猜想推广应成立.

4.举例进一步验证猜想. 教师可再举出图5-14中，AB BC 等于其它更一般的实数的两个例子，来进一步验证猜想. 5.(选)用面积法证明猜想. 对于学生程度较好的班级，教师可用三角形面积公式来严格证明猜想成立，具体做法见设计 说明. 二、用运动的观点深刻认识定理的内容 1.让学生归纳以上情况，并用语言准确叙述定理内容，以及画图写出部分数学表达式. 2.教师强调“对应”的含义，并介绍结合图形形象记忆的方法，如： 右全 左全右下 左下右上 左上右全 右下左全 左下右全 右上左全 左上右下 右上右下 左上=====,,, 3.用运动的观点识别定理的各种变式图形中的比例线段.(见图5-15，不断平移DF) 强调由平行线分线段成比例定理所得比例式中，四条线段与平行直线和被截 两直线的交点位置无关，尤其是图5-15(a)中的M 点，图5-15(c)的N 点. 三、应用举例、变式练习 例1 已知：如图5-16，l 1//l 2//l 3. (1)AB=3，DE=2，EF=4，求BC ； (2)AC=8，DE=2，EF=3，求AB.

初数学平行线分线段成比例定理

初数学平行线分线段成 比例定理 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章 § [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、 主要知识点 1． 平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2． 三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3． 三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4． 三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、 重点剖析 1． 平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。 EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2． 三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形

解：过E 作EG ∥BC 交AD 于G ，则在△ADC 中，AC AE DC GE =

又∵ 43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7 3 =DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则 ∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 3 14 73232=?= ∴9 14 3314==x x EG BD B B C C ' '//AB C A B B C C '=''1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C C C B B A A ' ='+'1 11C C B B A A ' ='+'1 111=''+''B B C C A A C C 1==AD BF BC DE AD =CB DB =1=-=-DE DB AD BC 1=-AD BC FC BF =CE FC AE EN =EM BF =射线AM 2. 在AM 3. 连结BE

5平行线的性质定理

授课人修世刚备课时间 3.26 上课时间 4.2 执教班级7.6 课题平行线的性质定理 教学课时 1 教学课型（新授、复习、 习题、实验等） 新授课 教学目标 一）教学知识点 1.平行线的性质定理的证明. 2.证明的一般步骤. （二）能力训练要求 1.经历探索平行线的性质定理的证明.培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力. 2.结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论.并能总结归纳出证明的一般步骤. （三）情感与价值观要求 通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性. 教学重点、难点(一)重点在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导． (二)难点推理过程的规范化表达． 媒体运 用 电子白板 预设过程（应包括课程导入、预习自学、展示交流、当堂练习检测等）

Ⅰ.巧设现实情境，引入新课 ［师］上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系.其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？ 这节课我们就来研究“如果两条直线平行”. Ⅱ.讲授新课 ［师］在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成： 两直线平行，同位角相等. 下面大家来分组讨论 议一议：利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？ ［生甲］利用“两条直线平行，同位角相等”可以证明：两条直线平行，内错角相等. ［生乙］还可以证明：两条直线平行，同旁内角互补. ［师］很好.下面大家来想一想： （1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？ （2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ （3）你能说说证明的思路吗？ 图1

专题14 平行线分线段成比例定理与三角形形的“四心”(解析版)

专题14 平行线分线段成比例定理及三角形的“四心” 一、知识点精讲 （一）平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l ，直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3 A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图，123////l l l ，有AB DE BC EF =.当然，也可以得出AB DE AC DF =.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 二、典例精析 【典例1】．如图， 123////l l l ，且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF . 【答案】见解析

【解析】1232////,,3AB DE l l l BC EF \==Q 28312,.235235 DE DF EF DF ====++ 【典例2】在ABC V 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ， 求证：AD AE DE AB AC BC == 【答案】见解析 【解析】 证明（1） //,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠Q ADE ∴V ∽ABC V ，.AD AE DE AB AC BC ∴ == 证明（2） 如图过A 作直线//l BC ，////,l DE BC Q AD AE AB AC ∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF Y ，因而.DE BF = //,.AE BF DE EF AB AC BC BC ∴==Q .AD AE DE AB AC BC ∴== 从上例可以得出如下结论： 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【典例3】已知ABC V ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上. 【答案】见解析 【解析】

《平行线的性质定理》教学设计

《平行线的性质定理》教学设计 学习目标： 1.进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式 2.会根据“两直线平行，同位角相等”证明平行线的其它性质定理 3.正确区别平行线的判定和性质. 学习重点：平行线的性质定理的应用. 学习过程： 一、课前准备 1.平行线有哪些性质？你能证明它们的正确性吗？ 2.平行线的性质公理. 【预习检测】 1. 如图a∥b，写出相等的同位角： . 写出相等的内错角， 写出互补的同旁内角 2. 如图a∥b，∠1=68°，那么：∠2的度数为 3.如图，已知：DE∥BC，∠ABC=52°，∠BED=18° 求：∠ABE的度数

二、课堂学习 【自主探究，同伴交流】 自学课本87—88页内容后，小组内合作交流，讨论以下问题; 1. 已知：a∥b 求证：∠1=∠2 你证明的命题用文字叙述为 可以简单地叙述为 2.已知：如图a∥b，∠1，∠2是直线a和b被直线c截出的同旁内角，求证：∠1+∠2=180° 你证明的命题用文字叙述为 可以简单地叙述为 3.已知：如图AD∥BC，AB∥DC 求证：∠A=∠C

4.已知：如图DE∥AB，∠1=∠A 求证：DF∥AC 【自主应用，高效准确】 1.已知：如图∠1=∠2，∠3=1000，求：∠4的度数 2.已知：如图a∥b，b∥c 求证：a∥c 你证明的命题用文字叙述为 可以简单地叙述为 3. 已知：如图∠1=∠2=∠3=550，求：∠4的度数

【拓展延伸，提升能力】 4、已知：如图AB∥CD求证：∠A＋∠C＋∠E=1800 5.已知：如图AB∥CD，猜想∠A、∠C、∠E的关系，并证明你 的猜想. 6.已知：如图AB∥CD，∠B=1000，∠C= 1200，，，求∠E的度数 【当堂巩固，达标测评】 1.如图所示AB∥CD，∠C=1150，∠A= 250，则∠E的度数为（） A．700B．800 C．900D．1000 2. .如图所示a∥b，∠1=1050，∠2=1400则∠3的度数为（）

平行线分线段成比例测试题

D B E F 4.1-4.2平行线等分线段定理与 平行线分线段成比例定理 考纲要求： 1．探索并理解平行线分线段定理的证明过程； 2．能独立证明平行线分线段定理的推论1、推论2 ； 3.平行线分线段成比例定理与推论的区别 4.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题 一：知识梳理 1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 2.三条平行线截两条直线，所得的对应线段 推论：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线。所截得的三角形的三边与原三角形的三边 二：基本技能： 判断下列命题是否正确 1. 如图△ABC 中点D 、E 三等分AB ，DF ∥EG ∥BC ，DF 、EG 分别 交AC 于点F 、G ，则点F 、G 三等分AC （ ） 2. 四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CD 上若AM=BM 、 DN=CN 则AD ∥MN ∥BC ( ) 3. 一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相等，则这组 平行线能等分线段。 （ ） 4. 如图l 1//l 2// l 3且AB=BC ，那么AB=BC=DE=EF （ ） 5．如图，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 则： BC DE AC AE AB AD = = （ ） 三:典型例题 1 已知线段AB ，求作：线段AB 的五等分点。 2 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，E 是CD 的中点.求证EA ＝EB 。 4 3. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中 点，BM 的延长线交AC 于N ，求证：AN= 2 1 CN 。 4.如下图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=60°,AB=BC,E 为AB 的中点，求证:△ECD 为等边三角形。 5：已知：△ABC 中，E 、G 、D 、F 分别是边AB 、CB 上的一点，且GF ∥ED ∥AC ，EF ∥AD 求证：.BC BD BE BG = A C G C B E D F l 3 l 2 l 1 A