专题5.1 统计(精讲精析篇)(解析版)
专题5.1统计（精讲精析篇）
提纲挈领
点点突破
热门考点01 随机抽样
1.简单随机抽样的特点
(1)抽取的个体数较少；(2)是逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．
2.抽签法与随机数法的适用情况
(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况． (2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． 3.分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． (3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量
各层个体数量
”．
提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取n i ＝n ·N i
N (i ＝1,2，…，k )个个体(其中i
是层数，n 是抽取的样本容量，N i 是第i 层中个体的个数，N 是总体容量)．
【典例1】（2019·山东省泰安实验中学高一开学考试）总体由编号为01，02， ，29，30的30个个体组成，
现从中9抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第3列开始，向右读取，则选出来的第6个个体的编号为（）
70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03
56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93
A．12 B．13 C．03 D．40
【答案】C
【解析】
从随机数表第1行第3列开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号依次为29，17，12，13，26，03，则第6个个体的编号为26．
故选C．
【典例2】（2020·横峰中学高三其他（理））某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（）A．1260 B．1230 C．1200 D．1140
【答案】D
【解析】
设女生总人数为：x人，由分层抽样的方法可得：
抽取女生人数为：804238
-=人，
所以
8038
2400x
=，解得：1140
x=
故选：D
【典例3】下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A．0B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】
①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因
为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．故选A．
【总结提升】
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
2.分层抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提：分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取．
(2)遵循的两条原则：
①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
3. 两种抽样方法的特点、联系及适用范围
热门考点02 茎叶图及其应用
1.当数据个数较少时，用茎叶图可精确地记录每个数据．如果数据是两位数，那么茎表示十位数，叶表示个位数，如果数据是三位数，那么茎表示百位数和十位数，叶表示个位数．
2.茎叶图的绘制需注意：
（1）“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；
（2）重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．
（3）数据分布一般是茎从上到下由小到大，叶从茎侧向外按从小到大排列．
3.茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以
确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．
【典例4】(2017·山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )
A ．3,5
B ．5,5
C ．3,7
D ．5,7
【答案】A 【解析】
由茎叶图，可得甲组数据的中位数为65，从而乙组数据的中位数也是65，所以y ＝5. 由乙组数据59,61,67,65,78，可得乙组数据的平均值为66，故甲组数据的平均值也为66， 从而有56＋62＋65＋74＋70＋x 5
＝66，解得x ＝3.
【典例5】(2019·济南模拟)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】A 【解析】
由茎叶图可得，获“诗词达人”称号的有8人，据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为10
8240
?= (人)． 【特别提醒】
茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． ①“叶”位置只有一个数字，而“茎”位置的数字位数一般不需要统一； ②茎叶图上重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.
热门考点03 频率分布直方图
1.频率、频数、样本容量的计算方法 (1)频率组距
×组距＝频率． (2)频数样本容量＝频率，频数频率＝样本容量， 样本容量×频率＝频数． (3)各个小方形的面积总和等于1 . 2．频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差/组数；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 3．频率分布直方图中数字特征的计算
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
(4)在很多题目中，频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．
【典例6】（2017北京，文17）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）5人；（Ⅲ）3 2 .
【解析】
（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6
+?=，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4
-=.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9
+++?=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955
-?-=.学科%网
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为
5 40020
100
?=.
【典例7】（2016高考四川文科）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.
a ；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.04．
【答案】（Ⅰ）0.30
【解析】
（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.
同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.
由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，
解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000. （Ⅲ）设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5
所以2≤x<2.5.
由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
【总结提升】
1.两个主要考查角度：
（1）利用频率分布直方图求频率、频数． （2）利用频率分布直方图估计总体
2.熟记结论：(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1；
(2) 频率组距×组距＝频率；
(3)频数/样本容量＝频率，此关系式的变形为频数/频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数 3.易错防范：频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率
热门考点04 样本的数字特征
众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平；
中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平； 平均数：反应一组数据的平均水平；
方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．
【典例8】（2020·全国高考真题（文））设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（ ） A ．0.01 B ．0.1
C ．1
D ．10
【答案】C 【解析】
因为数据(1,2,,)i ax b i n +=，的方差是数据(1,2,,)i x i n =，的方差的2a 倍，
所以所求数据方差为2100.01=1? 故选：C
【典例9】（2020·全国高考真题（理））在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且4
11i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A ．14230.1,0.4p p p p ====
B ．14230.4,0.1p p p p ====
C ．14230.2,0.3p p p p ====
D ．14230.3,0.2p p p p ====
【答案】B
对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+?++?=，
方差为()()()()2
2
2
2
2
1 2.50.1
2 2.50.4
3 2.50.4
4 2.50.10.65A s =-?+-?+-?+-?=；
对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+?++?=，
方差为()()()()2
2
2
2
21 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-?+-?+-?+-?=；
对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+?++?=，
方差为()()()()2
2
2
2
21 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-?+-?+-?+-?=；
对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+?++?=，
方差为()()()()2
2
2
2
21 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-?+-?+-?+-?=.
因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.
【典例10】（2019年高考全国Ⅱ卷文）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）
8.602≈．
【答案】（1）产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%． 【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得，
所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为147
0.21100
+=． 产值负增长的企业频率为
2
0.02100
=． 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比
（2）1
(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100
y =
-?+?+?+?+?=， ()52
2
1
1100i i
i s n y y ==-∑ 22222
1(0.40)2(0.20)240530.20140.407100
??=
-?+-?+?+?+??? =0.0296，
0.020.17s ==≈，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%． 【总结提升】
1.众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论
(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．
(2)方差的简化计算公式：s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]或写成s 2＝1n (x 21＋x 2
2＋…＋x 2n )－x 2
，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． 2.主要命题角度：
（1）样本的数字特征与频率分布直方图交汇 （2）样本的数字特征与茎叶图交汇
①在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．
②茎叶图既可以表示两组数据，也可以表示一组数据，用它表示的数据是完整的数据，因此可以从茎叶图中看出数据的众数(数据中出现次数最多的数)、中位数(中间位置的一个数，或中间两个数的平均数)等． （3）样本的数字特征与优化决策问题交汇：利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据
①平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． ②用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．
巩固提升
1.（2020·四川省宜宾市第四中学校高三二模（文））某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比
依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（ ） A ．96 B ．72
C ．48
D ．36
【答案】B 【解析】 由题意得
23
872.99
n n n -=-∴=选B. 2.（2017课标1，文2）为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值
D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数
【答案】B 【解析】
刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B
3．（河南省洛阳市2019届高三第三次统考）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A ．100，10
B ．100，20
C ．200，10
D ．200，20
【答案】D
【解析】由题得样本容量为(350020004500)2%100002%200++?=?=， 抽取的高中生人数为20002%40?=人，则近视人数为400.520?=人，故选D ．
4．（2020·四川省棠湖中学高三一模（文））新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（ ）
A．样本容量为240
B．若样本中对平台三满意的人数为40，则40%
m= C．总体中对平台二满意的消费者人数约为300
D．样本中对平台一满意的人数为24人
【答案】B
【解析】
选项A，样本容量为60004%240
?=，该选项正确；
选项B，根据题意得平台三的满意率
40
40%
25004%
=
?
，40
m=，不是40%
m=，该选项错误；
选项C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意人数约为150020%300
?=，该选项正确；
选项D，总体中对平台一满意人数约为20004%30%24
??=，该选项正确.
故选：B．
5．（2020·河南省高一期末）已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s为（）
A．5
2
B．3 C．
7
2
D．4
【答案】C
【解析】
因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x，方差为2s，
由平均数和方差的计算公式可得
755
5
8
x
?+
==，
()2
2
74557
82
s
?+-
==.
故选：C.
6．（广东省汕头市2019届高三第二次模拟（B 卷)）在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是
A ．成绩在[70,80]分的考生人数最多
B ．不及格的考生人数为1000人
C ．考生竞赛成绩的平均分约70.5分
D ．考生竞赛成绩的中位数为75分
【答案】D
【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[70,80]的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000?=，故B 正确；由频率分布直方图可得：平均分等于450.1550.15650.2750.3850.15?+?+?+?+?+950.170.5?=，故C 正确；因为成绩在[40,70)的频率为0.45，由[70,80]的频率为0.3，所以中位数为
0.05
701071.670.3
+?
≈，故D 错误．故选D ． 7.（福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检）已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =< B ．270,75x s => C ．270,75x s ><
D ．270,75x s ><
【答案】A
【解析】由题意，可得705080607090
7050
x ?+-+-=
=，
设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，
则2222212481
75[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50
x x x =
-+-++-+-+-
22212481
[(70)(70)(70)500]50x x x =
-+-++-+， 22222212481
[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50
s x x x =-+-++-+-+-
22212481
[(70)(70)(70)100]7550
x x x =
-+-++-+<，
所以275s <．故选A ．
8．（2020·双峰县第一中学高一月考）甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：
以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确．．．的是（ ） A ．平均数相同 B ．中位数相同 C ．众数不完全相同 D ．丁的方差最大
【答案】D 【解析】
由图的对称性可知，平均数都为5；
由图易知，四组数据的众数不完全相同，中位数相同；
记甲、乙、丙、丁图所对应的方差分别为2222
1234,,,s s s s ，则
()()22
21450.5650.51s =-?+-?=，
()()()2
2
2
2
2450.3550.4650.30.6s =-?+-?+-?=，
()()()()()22222
23350.3450.1550.2650.1750.3 2.6s =-?+-?+-?+-?+-?=，
()()()()()22222
24250.1450.3550.2650.3850.1 2.4s =-?+-?+-?+-?+-?=，
所以丙的方差最大． 故选：D ．
9．(河南省郑州市2019届高三第三次质量检测)某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则42x y +的值是( )
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
【答案】A
【解析】因为中位数为12，所以4x y +=，数据的平均数为
1
(223420191910
x y ?+++++++++2021)11.4+=，要使该总体的标准差最小，即方差最小，所以22(1011.4)(1011.4)x y +-++-=222
2.8( 1.4)( 1.4)2(
)0.722x y x y +--+-≥=，当且仅当1.4 1.4x y -=-，即2x y ==时取等号，此时总体标准差最小，4212x y +=，故选A ．
10．（2020·全国高三（理））某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍.下面的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A ．从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长
B ．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本
C ．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本
D ．2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的2倍 【答案】D 【解析】
对于A ，根据统计图分析可知，从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量分别是：15.5，38.5，43.3，
58.4是逐年增长的，故A 是合理的；
对于B ，2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量按从小到大的顺序排列为：15.5，38.5，43.3，50.1，58.4，60.8，其中位数为
43.350.1
46.72
+=本，故B 是合理的；
对于C ，因为最大阅读量为60.8本，最小阅读量为15.5本，所以极差为60.815.545.3-=本，故C 是合理的；
对于D ，2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和为58.450.160.8169.3++=本，前三年纸质书人均阅读量总和为15.538.543.397.3++=本，169.397.32194.6≠?=， 故D 是不合理的. 故选：D.
11．（2020·双峰县第一中学高一月考）某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min ），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
从题设中提供的频率分布直方图可算得在区间[0,5),[5,10)内各有0.012051??=个，答案A 被排除；在区间[10,15)内有0.042054??=个；在区间[15,20)内有0.022052??=个；在区间[20,25)内有0.042054??=个；
在区间[25,30),[30,35)内各有0.032053??=个，答案C 被排除；在区间[35,40)内有0.022052??=个，答案D 被排除；依据这些数据信息可推知，应选答案B ．
12. 已知一组正数x 1，x 2，x 3的方差s 2
＝13(x 21＋x 22＋x 2
3－12)，则数据x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1的平均数为 .
【答案】3
【解析】由方差的计算公式可得
s 2＝1
n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]
＝1n [x 21＋x 22＋…＋x 2n －2(x 1＋x 2＋…＋x n )·x ＋n x 2] ＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n －2n x 2＋n x 2) ＝1n (x 21＋x 22
＋…＋x 2n )－x 2， ∴由题意x 1，x 2，x 3的方差s 2＝13(x 21＋x 22＋x 23－12)，知x 2＝4，
又x 1，x 2，x 3均为正数，故x ＝2.
所以数据x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1的平均数是2＋1＝3，故答案为3.
13．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考（文））已知一组数1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______. 【答案】26
5
【解析】 依题意
1267
4,45
m m ++++==.所以方差为
()()()()()22222
114244464745??-+-+-+-+-??[]126944955
=+++=. 故答案为：
26
5
. 14.（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考（文））2018年俄罗斯世界杯将至，本地球迷协会统计了协会内180名男性球迷，60名女性球迷在观察场所（家里、酒吧、球迷广场）上的选择，制作了如图所示的条形图，用分层抽样的方法从中抽取48名球迷进行调查，则其中选择在酒吧观赛的女球迷人数为__________人．
【答案】4 【解析】
总球迷是180+60=240人
家里的女性球迷是120×25%=30人 球迷广场女性：80×
12.5%=10人 所以在酒吧观赛的女球迷是60-30-10=20人 抽样中，选择在酒吧观赛的女球迷人数为
20
48=4240
? 人 15．（2020·甘肃省会宁县第四中学高一期中）某网站举行“卫生防疫”的知识竞赛网上答题，共有120000人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100人的成绩进行统计，其中成绩分组区间为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：
（1）求m 的值；
（2）成绩不低于90分的人就能获得积分奖励，求所有参赛者中获得奖励的人数；
（3）根据频率分布直方图，估计这次知识竞赛成绩的平均分（用组中值代替各组数据的平均值）. 【答案】（1）0.03m =（2）6000人（3）76分 【解析】
（1）由频率分布直方图的性质，可得()100.0050.020.040.0051m ?++++=， 解得0.03m =.
（2）由频率分布直方图，可得成绩在[]90,100之间的频率为100.0050.05?=， 所以可估计所有参赛者中获得奖励的人数约为1200000.056000?=人. （3）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，
可得平均分的估计值为550.05650.2750.4850.3950.0576?+?+?+?+?=分.
16．（2020·上林县中学高一开学考试）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
(0.0.5),(0.5,1),(4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图的a 的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.
【答案】(1) 0.3a =； (2)36000；（3）2.04. 【解析】
（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×
0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ， 解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000. （Ⅲ）设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5
所以2≤x<2.5.
由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
解析几何离心率(教师版)
. . .页脚 解析几何小练习（以离心率为主） 1．若直线1x y a b +=通过点(cos sin )M αα， ，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．2211 1a b +≤ D ． 22 11 1a b +≥ 【答案】D 【解析】方法1：由题意知直线 1x y a b +=与圆221x y +=有交点，则2 22 211 111a b a b ++≤1, ≥. 方法2：设向量11(cos ,sin ),(,)a b ααm =n =，由题意知 cos sin 1a b αα += 由?≤m n m n 可得22cos sin 1 1a b a b αα= ++≤1 2．如图，AB 是平面a 的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面a 运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( ) （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线 【答案】B 【解析】本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P 到直线AB 的距离为定值，若忽略平面的限制，则P 轨迹类似为一以AB 为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！ 还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除C 与D ，又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！ 3．如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122 22 b a b r a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A ）3 （B ）5 （C ） 2 5 （D ）31+
小学奥数 几何计数 专题
1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 2 1223(2)2 n n n ++++= ++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 教学目标 知识要点 几何计数
二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 例题精讲 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小 棍？（4级） 【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三 角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4级） 【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多
八年级物理(1-5)章基础检测
第一章物态变化基础测试姓名得分 1、温度指物体的，温度计是根据的性质制成的，体温计的分度值是℃，量程是℃。 2、1℃的规定是。体温计与实验室温度计主要的区别是 3、常见的晶体有，常见的非晶体有，晶体的熔化条件是 晶体和非晶体的主要区别是 4、在下图中填出六种物态变化及其吸放热情况： 5、汽化有和两种方式，前者的特点是：发生在液体的， 在温度下进行，要热；后者的特点是：发生在液体的， 在温度下进行，要热。影响蒸发快慢的因素有。 6、初春或深秋田野里有雾、锅里冒出“白气”、口中呼出“白气”、刚从冰箱里取出的冰棒冒出“白气”这都是现象；雨 水的形成、露水的形成、从寒冷室外进入教室时眼镜片“出汗”这都是现象， 使气体液化的方法有和。 7、六种物态变化中吸热的有放热的有 8、湿衣服晾干、潮湿的地面变干、农村人家晾干菜、人身上的汗干了、锅里面的水加热一段时间后减少了这都是现象，人出汗后扇扇子是为了。 9、下雪、降霜、玻璃窗上出现冰花这都是现象；樟脑丸变小、雪人未熔化而变小、冰冻的衣服晾干、灯丝用久会变细这都是现象；灯泡变黑是因为它先发生现象，后发生现象而形成的。 10、将原来插在酒精瓶中的温度计拿出来，其示数变化的情况是。 11、写出下列图象的名称： 12、右图所示的是冰的图象，由此图可知： （1）冰的熔点是℃，它的凝固点是℃； （2）在AB过程中，冰要热，温度，处于态；在BC过 程中，冰要热，温度，处于态；在CD过程中，水要热，温度，处于态。 （3）判断：①物体吸收热量，温度一定会升高（）；②物体放出热量，温度一定会降低（）。③只要晶体的温度达到熔点，它就能熔化（）。 13、右图所示的是水的图象，由此图可知： （1）水的沸点是℃； （2）AB过程中，水要热，温度；在BC过程中，水要热，温度。 （3）判断：①液体沸腾时，吸收热量，温度不断升高（）；②只要液体的温度达到沸点，液体就能沸腾（）。 14、读出右图温度计的示数：甲是℃，乙是℃。一只没有甩过的医用温度计指示的读数是38.2℃,用它先后来测两位病 人的体温时,都没有先用力往下甩.如果两人的实际体温分别是37.3℃ 和39.1℃ ,那么这支温度计上先后显示的读数分别是， 16、解释现象 （1）为什么“下雪不冷化雪冷”？ （2）寒冷的冬天，为什么口中会呼出“白气”？（课本P15 图中问题引申） （3）从电冰箱里取出的啤酒瓶，一会儿瓶身为什么会“出汗”？ （4）能用水银温度计测南极的最低气温吗？能用酒精温度计测沸水的温度吗？ （5）制造灯泡的灯丝为什么要用钨而不用铁？ （6）水的沸点永远都是100℃吗？ 17、在用温度计测水温的实验中： （1）下图中使用温度计正确的做法是 （2）使用温度计的规则有哪些？ 18、说出下列现象属于那种物态变化 大雾漫天（）吃雪糕解渴（）碘粒变成了紫色蒸气（） 打开香水瓶闻到香味（）云中的小冰晶（）钢水浇铸成火车轮（）
小学奥数计数问题之递推法例题讲解【三篇】
小学奥数计数问题之递推法例题讲解【三篇】 分析与解答： 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。 【第三篇】 例题：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？ 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的
编号依次是：8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。 第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢? 第一次：2000÷2＝1000 第二次：1000÷2＝500 第三次：500÷2＝250 第四次：250÷2＝125 第五次：125÷2＝62 ……1 第六次：62÷2＝31 第七次：31÷2＝15 ......1 第八次：15÷2＝7 (1) 第九次：7÷2＝3 ......1 第十次：3÷2＝1 (1) 所以共需报10次数。 那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是： 2×2×2×…×2＝1024（号）
新版精选2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整考试题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷 平面解析几何初步 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3 B ．2 C ．13- D ．12 -(2008全国2理) 2．设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则 m+n 的取值范围是 （A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+?--∞ （C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+?--∞ 3． 直线l 过点（-1，2）且与直线垂直，则l 的方程是 A ．3210x y +-= B.3270x y ++= C. 2350x y -+= D. 2380x y -+= 二、填空题 4．若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆 在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ▲ ． 5．光线从(2,0)A -出发经10x y --=反射后经过点(5,5)B ，则反射光线所在的直线方程是 ； 分析：轴对称的应用，直线的方程.250x y --=. 6．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的中心坐标为(3，2)，其一边AB 所在直线的方程为x-y+1=0，则边AB 的对边CD 所在直线的方程为 。 7．若(1,0),(2,3)A B -，则AB =______，AB 的中点坐标为_________
解析几何专题含答案
椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
八年级初二物理《物质的简单运动》计算题专题练习
八年级初二物理《物质的简单运动》计算题专题练习 1.沪宁高速公路长300千米，若规定汽车的最高速度为120千米/时，那么汽车跑完这条公路需用几小时? 2．光传播的速度为3×108米/秒，光从太阳到地球所需时间为8分20秒,求：太阳和地球之间的距离。 3．某人5分钟步行通过的路程是0.9千米，则此人步行时的速度为多少米/秒?合多少千米/时?若以这样的速度行走半小时可以通过多长的路程。 4.一列长310米的火车,用13米/秒的速度匀速通过一隧道需要1分10秒的时间，求隧道的长度。 5.一列火车长200m，以36km/h的速度通过一座长1.6km的大桥。问火车从上桥到全部离开大桥所用的时间是多少？ 6．在火车站，通常可见到列车运行时刻表。从其中的T14次列车时刻表 可知，列车从蚌埠至济南区间段运行所经历的时间为多少分钟？在此过 程中的平均速度均为多少？(结果取整数) 7. 小明上午9点出发骑车前往相距12km的外婆家，动身前他打电话告诉外婆他到达的时间，他先以15km/h 的正常速度骑了12min，因在路边书摊买书用了6min，为了不迟到，他随后以18km/h的速度骑行，最终按时到达外婆家。求：(1)小刚在全程的平均速度；(2)小明在电话里约定的到达时间。 8.一个物体作直线运动，前一半路程的平均速度为v1，后一半路程的平均速度为v2，则全程的平均速度为多少？ 9.从遵义到重庆江北机场的路程为296km，一辆小车以74km/h的平均速度行驶了一半路程后，又以lOOkm ／h的平均速度行驶完后一半路程。求： (I)这辆小车从遵义到重庆江北机场所需的时间是多少h? (2)这辆小车从遵义到重庆江北机场的平均速度是多少km/h?
高三地理地球的运动复习教案2
第四讲 地球的运动 第三课时 四、地球自转和地球公转的关系——黄赤交角 1．概念：黄赤交角是地球自转的赤道面与公转的黄道面之间的夹角， 目前是23°26′。如图4-13。 2．黄赤交角的影响：由于黄赤交角的存在，并且地轴在宇宙空间的方 向不因季节而变化，因而，太阳直射点相应地在南北回归线之间往返移 动,称为太阳直射点的回归运动。如图4-14。 [经典例题 8] 读图4-15 （阴影部分为夜半球)，回答； ①若此刻西半球为夜半球，太阳直射点的经度是 ( ) A ．东经70° B ．东经90° C ．西经70° D ．西经110° ②此日在( ) A ．3月21日前后 B ．6月22日前后 C ．9月23日前后 D ．12月22日前后 【解析】①从图中可以看出：半个地球被经线平均分成了六份，由此可推每两条相邻经线相差30度；又已知该图为西半球，则图中右侧边界经线为西经20°，中间的经线为西经110°。且该图为夜半球，则该西经20°经线时间为6点(晨线与赤道的交点)，西经110°经线(夜半球的中间经线)时间为0点，与0点时刻经线相对的经线(大阳直射的经度)为东经70°，其时间为11点。 ②此图晨昏线与经线重合，节气为春分或秋分日，此图背面为昼半球，太阳在图的里面(垂直于卷面)。注意地轴的倾斜方向与地球公转方向，并想一想教材中的地球公转示意图。 【答案】①A ②C [经典例题9] 如果地球的黄道面与赤道面夹角变为0°，则下列说法正确的是 ( ) 图4-14
A．北京与纽约的昼夜长短一样 B．广东地区的四季更加分明 C．北半球中纬度7月份气温将变高 D．大气环境将改变，两极变暖 【解析】如果黄赤交角为0°，四季变化将消失，B错误；昼夜长短除两极点外都变成一样，北半球中纬度7月份气温会由于太阳直射点停留在赤道而变低; 两极将变冷，D错误。故A正确。 【答案】A 五、主要由地球公转产生的地理意义： 1．太阳直射点的移动的影响：使地球表面接受 到的太阳辐射能量，因时因地而变化。这种变化 可以用昼夜长短和正午太阳高度的变化来定性 描述。如图4-16。 2．昼夜长短的变化： (1)昼夜长短的判读 晨昏线将地球上的纬线分成昼弧和夜弧两部分，昼弧和夜弧的长短决定昼长与夜长。弧长15°为1小时。在日照图中，常常画出经线，上图中相邻两条经线经度差为30°，地方时相差2小时。昼夜的时间长短可通过读经度差数得出。 (2)昼夜长短时空规律总结 ①纬度分布规律总结： a．(赤道处始终昼夜平分；春分日、秋分日全球各地昼夜平分。 b．同一纬线上各点昼夜长短相同；南北半球同纬度昼夜长短相反。 c．太阳直射点所在半球昼长夜短，且纬度越高，昼越长，另一半球相反。 d．太阳直射点在赤道与南、北(南北回归线之间)往返移动，极昼、极夜现象范围也经历了不断扩大、缩小的过程。 ②季节变化规律图示：(以北半球为例)
解析几何离心率专题突破
求离心率练习 注意：椭圆的离心率10<
小学奥数奥数计数问题
乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，其中，完成第一步有m1 种不同的方法，完成第二步有m2 种不同的方法，…… 完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有m1 ×m2 ×……×m n种不同的方法。 例1 上海到天津每天有 2 班飞机，4 趟火车，6 班汽车，从天津到北京有 2 班汽车。假期小茗有一次长途旅游，他 从上海出发先到天津，然后到北京，共有多少种走法? 例2 “IMO”是国际奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用红、黄、蓝三种颜色的笔来写，共有多少种写法？ 【巩固】在日常生活中，人们用来装饭、菜的有餐碗和餐盘，用来吃饭的有餐勺、餐叉和餐筷。如果一种装饭菜的和一种吃饭的餐具配作一套，那么以上这些可以组成不重复的餐具多少套? 例3 小红、小明准备在5×5的方格中放黑、白棋子各一枚，要求两枚不同的棋子不在同一行也不在同一列，共有多少种方法？ 【巩固】右图中共有 16 个方格，要把 A、B、C、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？
例4 用数字0，1，2，3，4，组成三位数，符合下列条件的三位数各多少个？ ①各个位上的数字允许重复；②各个位上的数字不允许重复； 【巩固】由数字 0、1、2、3 组成三位数，问：①可组成多少个不同的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 【拓展】由数字 1、2、3、4、5、6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 例5 把1～100 这100 个自然数分别写在100 张卡片上，从中任意选出两张，使他们的差为奇数的方法有多少种？ 小结：应用乘法原理解决问题时要注意： ①做一件事要分成几个彼此互不影响的独立的步骤来完成； ②要一步接一步的完成所有步骤； ③每个步骤各有若干种不同的方法。 加法原理：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做法，…，第 k 类方法中有 mk 种不同的做法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mk种不同的方法．例6 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150 本，不同的科技书200 本，不同的小说100 本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？
2020高考数学专题复习-解析几何专题
《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23
2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ）
小学奥数-几何计数-专题
几何计数 知识框架图几何计 数8计数综合7-7 教学目标 .掌握计数常用方法；1熟记一些计数公式及其推导方法；2. .根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．3本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并 渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 知识要点 一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些条直线最多将平面分成处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n12个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分2)(nn?n??????223……2成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．
二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形 也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 例题精讲 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层， 共用了多少根小棍？（4级） 【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4
平面解析几何初步复习总结
教学内容：平面解析几何初步复习 教学目的 1.复习《平面解析几何初步》的相关知识及基本应用 2.掌握典型题型及其处理方法教学重点、难点 平面解析几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法知识分析 （一）平面直角坐标系中的基本公式主要掌握数轴上点的坐标公式、数轴上两点的距离公式、平面上两点的距离公式、线段中点的坐标公式。这些公式是进一步学习直线、圆和其他曲线 的基础，要理解它们之间的内在联系，既能运用这些公式进行简单的计算，又能运用这些公式解决较为复杂的数学问题，这就需要对问题进行适当的转化。 通过由数轴上的基本公式到坐标系中的基本公式的研究，逐步掌握由简单到复杂的认识方法；通过点与坐标的对应关系，感受形与数的统一，领会数形结合的思想，培养数形转化的意识和能力；由数轴上和坐标系中的基本公式的特点，感受数学世界既丰富多彩又和谐统一，领略数学的对称之美、简洁之美、和谐之美。 （二）直线的方程 1. 直线的方程和方程的直线 若直线l的方程记为f（x, y） 0，则需满足两条： 1）直线l 上的每一个点，其坐标都是方程 f （x, y） 0的解； （2）坐标满足方程 f （x, y） 0的点都在直线l 上。 2. 直线的方程 （1）直线方程的几种特殊形式直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是直线方程的特殊形式。在特殊形式中，点斜式是最基本最重要的，其余三种形式都可以由点斜式推出。
以上几种特殊形式的直线方程都有明显的几何意义，当具备这些几何条件时便能很容易的写出其直线方程，所以在解题时要恰当地选用直线方程的形式。 一般地，已知一点，通常选择点斜式；已知斜率，选择点斜式或斜截式；已知截距或两 点，选择截距式或两点式。 与直线的截距式有关的问题： ①与坐标轴围成的三角形的周长|a| |b| a b； |ab| 1 2 ②直线与坐标轴围成的三角形的面积为2 ； ③直线在两坐标轴上的截距相等，则k＝－1，或直线过原点。 （2）直线方程的一般形式和直线方程的特殊形式比较，直线方程的一般形式适用于任何位置的直线，特别地，当 C B＝0，且A ≠0时，可化为x＝－A ，它是一条与x轴垂直的直线；当A＝0且B≠0时，C 可化为y＝－B ，它是一条与y 轴垂直的直线。 （3）直线在坐标轴上的截距直线的斜截式方程和截距式方程中提到的“截距”不是“距离”，“截距”可取一切实数，而“距离”是一个非负数。如直线y＝3x－6在y 轴上的截距是－6，在x 轴上的截距 是2。 因此，题目的条件中若出现截距相等这一条件时，应分为①零等；②非零等这两种情形进行讨论；题目的条件中若是出现截距的绝对值相等这一条件，应分为①零等；②同号等；③异号等这三种情形进行讨论，以防丢根。 3.两条直线的位置关系对于坐标平面内的任意两条直线，它们的位置关系从特殊到一般依次是重合，平行和相交，其中相交里面有一种特殊情况是垂直。因此，教材里面首先研究了两条直线相交，进而研究两条直线的平行和垂直，遵循了由一般到特殊的原则。 两条直线的平行和垂直，作为两条直线之间的特殊关系，对于研究其他曲线的性质，有着非常重要的作用。因此，两条直线的平行和垂直的条件要熟练掌握，并充分认识到它的地位和作用。 4.点到直线的距离解析几何里所研究的曲线实际上就是点按照某种规律运动形成的轨迹，研究点的运动规律，往往要以已知的点或直线作为参照，研究动点相对于这些已知点（定点）或直线（定直线）相对位置关系。点到直线的距离便是重要的参考量之一，在解析几何中处于重要位置起着不可替代的作用。熟练掌握这个知识点有利于提高对今后所学有关曲线知识的理解深度。
【精选】人教版八年级上册物理 物体的运动实验专题练习(word版
一、初二物理物体的运动实验易错压轴题（难） 1．在“测量物体运动的平均速度”实验中。 （1）如图甲所示，小球从高处沿斜面由静止开始滚下，频闪照相机记录了小球在相同时间内通过的路程。用刻度尺测出小球在相同时间内通过的路程，根据测量数据作出了s—t图象如乙所示，由图可知，频闪照相机拍照的时间间隔为_____________s； （2）根据图乙可知，小球在BC段的平均速度为_____________m/s； （3）假设斜面足够长，小球从A处滚下，经过2s到达E点（图乙中未画出），则该小球到达E点时通过的路程为______m。 【来源】江苏省连云港市东海县2019-2020学年八年级（上）期末考试物理试题 【答案】0.5 0.6 1.6 【解析】 【详解】 [1]由图乙可知频闪照相机拍照的时间间隔为0.5s； [2]由速度公式 s v t =得到小球在BC段的平均速度为 BC BC 0.4m0.1m0.3m =0.6m/s 0.5s0.5s s v t - ===； [3]由图乙知OB段即0s到0.5s内小球的平均速度为： OB OB OB 0.1m =0.2m/s 0.5s s v t == CD段小球即1s到1.5s内的平均速度为： CD CD CD 0.9m0.4m =1m/s 0.5s s v t - == 又由第一问知道小球0.5s到1s内的速度为0.6m/s可得1.5s到2s内小球的平均速度为1.4m/s，所以1.5s到2s内小球的运动路程为： 1.4m/s0.5s0.7m s vt ==?= 所以该小球到达E点时通过的路程为 0.9m0.7m 1.6m +=。 2．在“探究纸锥下落的快慢”的活动中，小明制作了一个直径8.0cm的纸锥，某次实验用
专题复习案例地球的运动及反思
专题复习案例《地球的运动》及反思 省淳中高三地理备课组芮爱国 [考纲要求] 1、地球自转的方向、速度和周期。地球自转的地理意义：昼夜交替、地方时、沿地表作水 平运动物体的偏移。 2、地球公转的方向、轨道、速度和周期、黄赤交角。地球公转的地理意义：正午太阳高度 的变化、昼夜长短的变化、四季的形成、五带的形成。 [考点剖析] 1、地球自转运动重点内容有： ①自转运动的规律如自转方向、周期、速度等； ②自转运动的意义如昼夜更替、地方时差及地转偏向等。其难点为以极点为中心经纬网图 上自转方向判断、晨昏线判读及地球上水平运动物体运动方向发生偏转的规律。 今后的高考可能会将这些知识与生产、生活实际联系起来，考查其应用能力，如利用线速度考查卫星发射点的有利条件，利用国际和国内大事发生的时间进行时差的计算，利用地转偏向考查三角洲形成的方位、河道两岸的侵蚀与堆积、河港的选址等。 2、地球的公转运动考点主要侧重于以下几个方面： ①黄赤交角及其意义；②光照图的判读及应用； ③地球运动与生活实际的联系。 估计本考点仍将是今年高考考查的重点内容之一，其中地球的运动规律、太阳光照图等知识与热点时事联系，将是考查的主要方向。 [知识纲要] 一、地球自转的方向和周期、速度 二、地球公转的方向、轨道、周期 三、黄赤交角及其影响。 四、地球自转引起的地理意义 （一）昼夜交替 （二）地方时 （三）沿地表水平运动物体的偏移 五、地球公转的地理意义 （一）引起正午太阳高度的变化 （二）昼夜长短随纬度和季节变化 （三）四季更替 （四）五带划分：
[考点梳理] 一、地球自转的方向和周期、速度 1、地球自转的方向：自 向 。地轴北端始终指向 星。 从北极上空看，地球做作 方向旋转。 从南极上空看，地球做作 方向旋转。 注意：经纬线形状、极点、赤道和旋转方向。在右图方框内以 南极为中心作图。 2、周期：地球自转一周（360o）所需的时间。为1 日， 为 时 分 秒。1太阳日为 小时。 【例1】乘船从上海至旧金山，船上乘客观察的现象正确的是 A 、恒星日不变，太阳日为24时 B 、恒星日不变，太阳日大于24时 C 、恒星日不变，太阳日小于24时 D 、恒星日不变，太阳日为24时 3、速度： 线速度：单位时间走过的线长。赤道周长约4万千米，线速度最大（约为 km/h ），向高纬 ，两极为 。纬度为α°的某地其线速度约为 角速度：单位时间转过的角度。旋转体速度快慢的计量值。地球各地角速度 ，为 °／小时，两极为 。 二、地球公转的方向、轨道、周期 1、方向：自 向 ，从北极上空看，地球沿 方向绕太阳运转。 2、轨道：为近似于圆的 ，太阳位于椭圆的一个 上。 3、周期： 1 年= 日 时 分 秒（以恒星为参照物） 3．地球公转速度 （1）公转角速度：绕日公转一周360°，需时一年，大致每日向东推进1°。 （2）公转线速度：平均每秒约为30千米。 （3）近日点与远日点： 1月初过 点，7月初过 点。
数学-高中数学求椭圆的离心率习题专题
圆锥曲线的离心率问题的求解 离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是描述曲线形状的重要参数． 椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据； 双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据； 而抛物线的离心率是特征值1. 圆锥曲线的统一定义是按离心率的范围不同，确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物线的类型. 求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特征三角形.常用方法: １.利用曲线定义。圆锥曲线的统一定义是与离心率密不可分的,在题目中挖掘这隐含信息有助于解题． ２.利用曲线变量范围。圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的,充分利用这一点，可优化解题． ３.利用直线与曲线的位置关系。根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的不等式，可迅速解题． ４.利用点与曲线的位置关系。根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是一个重要的解题途径． 5.联立方程组。如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式并求其解． 6.三角函数的有界性。用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易解． 7.用根的判别式根据条件建立与ａ、ｂ、ｃ相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解 8.构造关于e 的方程求解. 9.数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线形和圆。因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。 圆锥曲线的离心率练习题 1、已知椭圆的方程 222 2 1(0)x y a b a b +=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，P 是椭圆上的一点 若12PF PF =，求椭圆离心率的取值范围。 2、已知椭圆的方程 222 2 1(0)x y a b a b + =>>，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一点 若123 F PF π ∠= ，求椭圆离心率的取值范围。
(完整版)小学奥数几何计数专题
知识框架图 7 计数综合 7-8 几何计数 1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 2 1223(2)2 n n n ++++= ++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 教学目标 知识要点 几何计数
二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 【例 1】下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小 棍？（4级） 例题精讲
知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -基础
《解析几何初步》全章复习与巩固 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； 2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系； 3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标； 4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离； 5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程； 6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径； 7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：直线方程的几种形式 （1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用． （2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕． （3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+； ③2 2 0(0)Ax By C A B ++=+≠； ④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．
要点二：两条直线的位置关系 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． (1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为0 90，互相平行； (2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为0 90），另一条直线的倾斜角为0 0时，两直线互相垂直。 2．斜率都存在时两直线的平行： （1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ （2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则 1l ∥2l ? 2 1 2121C C B B A A ≠= 。 要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。 3．斜率都存在时两直线的垂直： （1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥?=-l l k k ； （2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则 1l ⊥2l ?02121=+B B A A ． 要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式： 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2 2 00B A C By Ax d +++= 2．两平行线间的距离公式 已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与 2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 。 要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可 要点四：对称问题 1．点关于点成中心对称 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。 设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--。 2．点关于直线成轴对称
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