必修4《平面向量》测试题及答案
平面向量
一、选择题
1．在△中，＝，D，E分别是，的中点，则( )．
A ．AB与AC共线
B．DE与CB共线
(第1题) C．AD与AE相等
D．AD与BD相等
2．下列结论正确的是( )．
A．向量AB与BA是两平行向量B．若a，b都是单位向量，则a＝b
C．若AB＝DC，则A，B，C，D四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足
OC＝OA＋OB，其中，∈R，且＋＝1，则点C的轨迹方程为( )．[来源:学&科&网]
A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－1)2＝5
C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0 4．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a 与b的夹角是( )．
A ．6π
B ．3π
C ．23π
D ．56π 5．已知四边形是菱形，点P 在对角线上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )．
A ．λ(A
B ＋AD )，λ∈(0，1)
B ．λ(AB ＋B
C )，λ∈(0，22
)
C ．λ(AB －A
D )，λ∈(0，1) D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22
)
6．△中，D ，E ，F 分别是，，的中点，则DF ＝( )．
A ．EF ＋ED
B ．EF －DE
C ．EF ＋A
D D ．EF
＋AF [来源:学,科,网]
7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12 8．点O 是三角形所在平面内的一点，满足OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，则点O 是△的( )．
A ．三个内角的角平分线的交点
B ．三条边的垂直平分线的交点
C ．三条中线的交点
D ．三条高的交点
9．在四边形中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，D C ＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形为( )．
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．梯形
D ．菱形
10．如图，梯形中，AD＝BC，EF∥AB∥CD则相等向量是( )．A．AD与BC B ．OA与OB
C．AC与BD D．EO与OF
(第10题)
二、填空题
11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．
12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．
13．已知平面上三点A，B，C满足AB＝3，BC＝4，CA＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．
14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋)⊥(a－b)，则实数m等于．
15．已知A，B，C三点不共线，O是△内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△的．
16．设平面内有四边形和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c , OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形的形状是．
三、解答题
17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB ＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？
18．如图，已知△，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D 分别是，，的中点，且与交于F，求DF．
(第18题)
19．如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，求证：⊥(利用向量证明)．
20．已知向量a＝( θ，θ)，向量b＝(3，－1)，求|2a－的最大值．
参考答案
一、选择题 1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向． 2．A 解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．
3．D 解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，
OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3
)， ∴ (x ，y )＝(3－，＋3)，∴???βαβα33＋＝－＝y x ，又＋
＝1，由此得到答案为D ．
4．B 解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，
∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，
∴ a 2＝b 2，即＝．∴2＝2 θ＝22θ．解得 θ＝2
1． ∴ a 与b 的夹角是3
π． 5．A 解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ
∈(0，1)．
6．D 解析：如图，∵AF ＝DE ，
(第1题)
∴DF＝DE＋EF＝EF＋AF．
(第6题)
7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．
而＝4，a·b＝60°＝2，
∴2－2－96＝－72，解得＝6．
8．D解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA, 即OA·(OC－OB)＝0，
故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，
∴O是△的三条高的交点．
9．C解析：∵AD＝AB＋BC＋D C＝－8a－2b＝2BC，∴AD ∥BC且AD≠BC．
∴四边形为梯形．
10．D解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量．
二、填空题
2．解析：A，B，C三点共线等价于AB，BC共线，11．－
3
＝OB－OA＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，
＝OC－OB＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)，
又A，B，C三点共线，
2．[来源:学科网]∴5(4－k)＝－7(－k－4)，∴k＝－
3
12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)，
∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ， ∴ ???0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得???4＝1＝－1＝－x x x 或 ∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，
∴ △为直角三角形且∠＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB
＝BC ·CA ＋CA ·AB
＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2
CA ＝－25． 思路2：∵
AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠＝90°， ∴ ∠＝CA AB ＝53，∠＝CA BC
＝5
4． 根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，
BC ·CA ＝BC
·CA ∠＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB ∠＝3×5×(－5
3)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)．
∵ (a ＋)⊥(a －b )，
∴ (a ＋)·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0?m ＝3
23． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，
OC 为邻边作□交于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，
又 OA ＋OC ＝－OB ，
(第15题)
D (第13题)
∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△的重心． 16．答案：平行四边形． 解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形为平行四边形．
三、解答题
17．λ＜－1． 解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)．
AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］
＝(3，１)＋λ(5，7)
＝(3＋5λ，１＋7λ)．
∵ AP ＝AB ＋λAC ，
∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∴ ???+=-+=-λλ713532y x 即???+=+=λλ7455y x [来源:学.科.网]
要使点P 在第三象限内，只需??
?<+<+074055λλ 解得 λ＜－1． 18．DF ＝(4
7，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，
AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．
又 D 是的中点，
∴ AD ＝2
1(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．
又 M ，N 分别是，的中点，
(第18题)
∴ F 是的中点，
∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． 19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．
∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋4
3a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0．
∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ． 本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．
20．分析：思路1：2a －b ＝(2 θ－
3，2 θ＋1)， ∴ |2a －2＝(2 θ－
3)2＋(2 θ＋1)2＝8＋4 θ－43 θ．[来源:学科网]
又4 θ－43 θ＝8( θ3π－ θ3π)＝8(θ－3π)，最大值为8，
∴ |2a －2的最大值为16，∴|2a －的最大值为4．
思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －表示2a ，b 终点间的距离．|2＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，的最大值为4．
(第19题)