《直线与椭圆综合问题》教案

《直线与椭圆综合问题》教案

一、教学目标：

1.知识与技能方面

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；

2.判断直线与椭圆的位置关系主要是代数法，即通过联立直线方程和椭圆方程所得的二次方程的根的个数来进行，当直线过某一定点时，也可利用该定点与椭圆的位置关系，来判断直线与椭圆的位置关系；

3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长；

4.掌握“设点法”的计算方法、技巧。

【强调几点】

1.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意；

2.直线与椭圆有交点时，注意由直线方程和椭圆方程联立所得二次方程的Δ≥0；

3.写韦达定理时，注意Δ>0；

4.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围。

2.方法与技巧

1.采用“设直线法”时一般利用“设而不求”的思想方法；

2.采用“设点法”时注意应用椭圆方程带入消元，利用“消元”的思想方法。

3.情感态度与价值观

培养学生勇于探索，锲而不舍的精神，激励学生的学习热情。

二、教学重难点：

1.需分析题目，打通思路，预估计算量，选择方法，设直线法还是设点法；

2.计算繁琐，难度大，导致错误率高。

三、教学过程：

【典例1】在平面直角坐标系中，已知椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的离心率为

2

3

，C为椭

圆上位于第一象限内的一点。

（1）若点C的坐标为

5

(2,)

3

，求,a b的值；

（2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且12

AB OC =，求直线AB 的斜率。 【典例分析】

（1）根据离心率23

c e a ==，点C 坐标代入方程，结合222b a c =-，可计算得出,a b 的值； （2）方法一：“设点法”设00(,)B x y ，根据向量关系，可以得出()0022,2C x a y +，再根据点B,C 在椭圆上，代入椭圆方程，可计算得出00,x y 的值，进而计算得出直线AB 的斜率； 方法二：“设直线法”首先考虑直线AB 的斜率是否存在的问题。当直线AB 的斜率存在时，设为k ，则直线:()AB y k x a =+，因为//AB OC ，可得直线:OC y kx =。分别与椭圆联立方程组，写出B,C 两点坐标，再带入12AB OC =

中求得k 的值。

【典例2】已知点)F

是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点，点12M ??? 在椭圆 C 上。

（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）若直线l 与椭圆 C 交于不同的,A B 两点,且12

OA OB k k +=- ( O 为坐标原点)，求直线l 斜率的取值范围。

【典例分析】

（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为()，利用椭圆的定义，求得2a =，再理由椭圆中222c a b =-，求得b 的值，即可得到椭圆的方程；

（2）设l 直线的方程为y kx m =+，联立方程组，采用“设而不求”的思想方法，利用韦达定理关系，求得1212,x x x x +，在由12

OA OB k k +=-，进而可求解斜率的取值范围。 四、总结

直线与椭圆综合问题是高考的热点问题，一般是一个小题、一个大题（17或18题，内容是直线与椭圆），属于中档题，是我们学生力争得分的题目，而这个题目的特点是计算量较大，重点考察学生的算理能力。而解决此类问题的方法主要是“设直线法”和“设点法”，同学们在做题时要合理选择方法，并且独立自主的进行演算，提高运算水平。