2016年高考数学理试题分类汇编
立体几何
一、选择题
1、(2016年北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A.
16 B.13 C.1
2
D.1 【答案】A
2、(2016年山东高考)有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三 视图如右图所示,则该几何体的体积为
(A )π32+31
(B )π32+
31 (C )π62+31 (D )π6
2+1
【答案】C
3、(2016年全国I 高考)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆
中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π
3
,则它的表面积是
(A )17π (B )18π (C )20π (D )28π
【答案】A
4、(2016年全国I 高考)平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,
α平面ABCD =m ,α平面ABB 1 A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为
(A )3(B )2
(C )3 (D )13
【答案】A
5、(2016年全国II 高考)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A )20π (B )24π (C )28π (D )32π 【答案】C
6、(2016年全国III 高考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的
是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为
(A )18365+(B )54185+(C )90(D )81 【答案】B
7、(2016年全国III 高考)在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球,
若AB BC ⊥,6AB =,8BC =,13AA =,则V 的最大值是 (A )4π (B )92π(C )6π (D )323
π 【答案】B 二、填空题
1、(2016年上海高考)如图,在正四棱柱1111D C B A ABCD -中,底面ABCD 的边长为3,1BD 与底面所成角的大小为3
2
arctan ,则该正四棱柱的高等于____________
【答案】2
2
2、(2016年四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是__________.
【答案】
3 3、(2016年天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m ),则该四棱锥的体积为_______m 3.
【答案】2
4、(2016年全国II 高考),αβ是两个平面,,m n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果,,//m n m n αβ⊥⊥,那么αβ⊥.[ (2)如果,//m n αα⊥,那么m n ⊥. (3)如果//,m αβα?,那么//m β.
(4)如果//,//m n αβ,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有..(填写所有正确命题的编号) 【答案】②③④
5、(2016年浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的
表面积是cm 2,体积是cm 3.
【答案】7232
6、(2016年浙江高考)如图,在△ABC 中,AB =BC =2,∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ,满足PD =DA ,PB =BA ,则四面体PBCD 的体积的最大值是.
【答案】
12
三、解答题
1、(2016年北京高考) 如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA PD ⊥,
PA PD =,AB AD ⊥,
1AB =,2AD =,5AC CD ==.
(1)求证:PD ⊥平面PAB ;
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值;
(3)在棱PA 上是否存在点M ,使得//BM 平面PCD ?若存在,求AM
AP
的值;若不存在,说明理由.
【解】⑴∵面
PAD 面ABCD AD =
面PAD ⊥面ABCD
∵AB ⊥AD ,AB ?面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ?面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB
⑵取AD 中点为O ,连结CO ,PO
∵CD AC ==∴CO ⊥AD
∵PA PD =
∴PO ⊥AD
以O 为原点,如图建系
易知(001)P ,,,(110)B ,,,(010)D -,,,(200)C ,,,
则(11
1)PB =-,,,(011)PD =--,,,(201)PC =-,,,(210)CD =--,, 设n 为面PDC 的法向量,令00(,1)n x y =,
011,120
n PD n n PC ??=???
?=-?
????=??,,则PB 与面PCD 夹角θ有
sin cos ,1
n PB n PB n PB
θ?=<>=
=
⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD
设AM AP
λ=,()0,','M y z
由(2)知()0,1,0A ,()0,0,1P ,()0,1,1AP =-,()1,1,0B ,()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=?- ∴()1,,BM λλ=--
∵BM ∥面PCD ,n 为PCD 的法向量 ∴0BM n ?=
O x y z P
A
B
C
D
即102
λλ-
++=
∴1=4
λ
∴综上,存在M 点,即当14
AM
AP
=
时,M 点即为所求.
2、(2016年山东高考)在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上
底面圆O '的直径,FB 是圆台的一条母线.
(I )已知G ,H 分别为EC ,FB 的中点,求证:GH ∥平面ABC ; (II )已知EF =FB =12
AC =2
3,AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.
【解】(Ⅰ)连结FC ,取FC 的中点M ,连结HM GM,, 因为GM//EF ,EF 在上底面内,GM 不在上底面内, 所以GM//上底面,所以GM//平面ABC ; 又因为MH//B C ,?BC 平面ABC ,
?MH 平面ABC ,
所以MH//平面ABC ; 所以平面GHM//平面ABC ,
由?GH 平面GHM ,所以GH//平面ABC . (Ⅱ) 连结OB ,B C AB = OB A ⊥∴O 以为O 原点,分别以O O OB,OA,'为z y,x,轴, 建立空间直角坐标系.
BC AB ,32AC 2
1
FB EF ===
= , E
F B A
C
G
H
E
F
B A
C O
,
O
x
y
z
3)(22=--='FO BO BF O O ,
于是有)0,0,3A(2,)0,0,3C(-2,)0,3B(0,2,)3,3F(0,, 可得平面FBC 中的向量)3,(30,-BF =,)0,,(3232CB =, 于是得平面FBC 的一个法向量为)1,3,3(1-=n , 又平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(2=n , 设二面角A -BC -F 为θ,
则777
1cos ==
=
θ. 二面角A -BC -F 的余弦值为
7
7
. 3、(2016年上海高考)将边长为1的正方形11AAO O (及其内部)绕的1OO 旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为2
3π,11A B 长为3
π,其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
(1)求三棱锥111C O A B -的体积;
(2)求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小。 【解析】
试题分析:(1)由题意可知,圆柱的高1h =,底面半径1r =. 确定1113
π
∠A O B =
.计算111
S ?O A B 后即得.
(2)设过点1B 的母线与下底面交于点B ,根据11//BB AA ,知1C ∠B B 或其补角为直线
1C B 与1AA 所成的角.确定C 3
π
∠OB =
,C 1B =.得出1C 4
π
∠B B =.
试题解析:(1)由题意可知,圆柱的高1h =,底面半径1r =. 由11A B 的长为3
π,可知1113
π
∠A O B =
.
111111111113sin 24
S ?O A B =
O A ?O B ?∠A O B =, 111111C 13
V 3S h -O A B ?O A B =?=.
(2)设过点1B 的母线与下底面交于点B ,则11//BB AA , 所以1C ∠B B 或其补角为直线1C B 与1AA 所成的角. 由C A 长为
23π,可知2C 3
π
∠AO =, 又1113
π
∠AOB =∠A O B =
,所以C 3
π
∠OB =,
从而C ?OB 为等边三角形,得C 1B =. 因为1B B ⊥平面C AO ,所以1C B B ⊥B . 在1C ?B B 中,因为1C 2
π
∠B B =
,C 1B =,11B B =,所以1C 4
π
∠B B =,
从而直线1C B 与1AA 所成的角的大小为4
π
.
4、(2016年四川高考)如图,在四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,90ADC PAB ∠=∠=?,
1
2
BC CD AD ==
,E 为棱AD 的中点,异面直线PA 与CD 所成的角为90?. (I )在平面PAB 内找一点M ,使得直线//CM 平面PBE , 并说明理由;
(II )若二面角P CD A --的大小为45?,求直线PA 与
平面PCE 所成角的正弦值.
【解】(I )延长AB ,交直线CD 于点M , ∵E 为AD 中点, ∴1
=2AE ED AD =,
∵1=2BC CD AD =,
∴ED BC =,
∵//AD BC 即 //ED BC ,
∴四边形BCDE 为平行四边形,//BE CD , ∵AB CD M =, ∴M CD ∈, ∴//CM BE , ∵BE ?面PBE , ∴//CM 面PBE ,
∵M AB ∈,AB ?面PAB ,
∴M ∈面PAB 故在面PAB 上可找到一点M 使得//CM 面PBE .
(II )过A 作AF EC ⊥交EC 于点F ,连结PF ,过A 作AG PF ⊥交PF 于点G , ∵90PAB =∠,PA 与CD 所成角为90, ∴PA AB ⊥,PA CD ⊥, ∵=AB CD M ,
∴PA ABCD ⊥, ∵EC ?面ABCD , ∴PA EC ⊥,
∵EC AF ⊥且AF AP A =, ∴CE ⊥面PAF , ∵AG ?面PAF , ∴AG CE ⊥,
∵AG PF ⊥且AG AF A =, ∴AG ⊥面PFC ,
∴APF ∠为所求PA 与面PCE 所成的角, ∵PA ⊥面ABCD ,=90ADC ∠即AD DC ⊥.
∴PDA ∠为二面角P CD A --所成的平面角, 由题意可得=45PDA ∠,而=90PAD ∠, ∴PA AD =,
∵BC CD
=,四边形BCDE是平行四边形,=90
ADM
∠,∴四边形BCDE是正方形,
∴45
BEC =
∠,
∴=45
AEF BEC =
∠∠,
∵90
AFE=
∠,
∴2
=
2
AF AE,
∴
2
2
4
tan==
AD
AF
APF
AP AP
=
∠
,
∴1
sin=
3
APF
∠.
5、(2016年天津高考)如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(I)求证:EG∥平面ADF;
(II)求二面角O-EF-C的正弦值;
(III)设H为线段AF上的点,且AH=2
3
HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)证明:找到AD中点I,连结FI,
∵矩形OBEF,∴EF OB
∥
∵G、I是中点,∴GI是ABD
△的中位线
∴GI BD
∥且1
2
GI BD
=
∵O是正方形ABCD中心
∴1
2
OB BD
=
∴EF GI ∥且EF GI =
∴四边形EFIG 是平行四边形 ∴EG FI ∥
∵FI ?面ADF ∴EG ∥面ADF
(Ⅱ)O EF C --正弦值
解:如图所示建立空间直角坐标系O xyz -
z x
A
()00
B ,
,)00
C ,
,()02
E ,,()002
F ,,
设面CEF 的法向量()1n x y z =,,
(
)(
)
(
)(
)
110000220n EF x y z n CF x y z z ??=?==?
?
?=?=+=??
,,,,,
得:01x y z ?=?
=??=?
∴(
)
1201n =,,
∵OC ⊥面OEF ,
∴面OEF 的法向量()
2100n =,,
121212
2cos 3n n n n n n ?<>=
=
=
,
12sin 1n n <>=, (Ⅲ)∵23
AH HF =
∴()
224020555AH AF ?
===????
,,