全国初中数学竞赛模拟试题十套
全国初中数学竞赛模拟试题十套
全国初中数学竞赛模拟试题(1)
班级编号、学生编号、姓名、分数、选择题(该题满分为30分，每题5分)-1。将A、B和C设置为实数，abc≠0，值为(A)-1
(二)1
那么，B2+C2-a2a+b = c
2bcc2+a2-b2+
2ca+
a2+b2-c22ab()
(三)2
(四)3
( )
Z2。如果x，y，z是实数并且x > y > z，那么正确的公式是(a) x+y > y+z (b) x-y > y-z (c) xy > yz3。在△ABC中，BC = 3，内切圆半径r = (a) 3232(D)x>y
Z2，cotB+cotC的值是()
232
3-1-23+1-2(B)
23
(三)3(四)23
( )
4.称为a =
，1+a的值为
1-a(A)3-2 (B)3+2 (C)2-3 (D)-2-3
5.已知m和n是平面上的两个不同点。有m条直线穿过m但不穿过n(称为m型直线)，有n条直线穿过n但不穿过m(称为n型直线)。如果每条m型直线与每条n型直线相交，并且每条直线通过其交点与m点或n点一起被分成若干段，则m+n条直线被分成的段的总数为
(A)2mn
(B)(m+1)(n+1) (D)2(m+1)(n+1)
ab()
(C)2(mn+m+n)
6.如果ab≠1，并且存在到期日为5a2+XXXX的某一债券，则XXXX 债券将在到期后从本金利息总额中提取。如果该债券的利率不变，到期后的本金利息总额为3498元，则该债券的年利率为_ _ _ _ _ _。
5.圆内接的凸四边形的边ab: BC: CD: da等于1: 9: 9: 8。如果交流电与直流电相交于p，那么
S△PAB∶S△PBC∶S△PCD∶S△PDA = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
如果一种商品的单价增加10%，销售量就会减少.
M.为了经销商150
产品的总销售额最大，则m的值应确定为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
3.回答问题(这个问题满分为60分，每个项目20分)
1.如图所示，∠CAB = ∠ABD = 90O，AB = AC+BD，AD在P处与BC相交，并且≧P使其与AB相切。问:0和P与AB相交是直径
吗？这是内部伤口吗？还是包括在内了？请做出判断并证明它。
D
中国人民解放军
O A
2.假设α和β是整数系数方程x2+ax+b = 0的两个实根，α 2+β 2
3.a、B和C是互不相等的数。如果以下三个等式中的任何两个是真的，那么验证:第三个等式也是真的。
(B2+BC+C2)x2-BC(b+c)x+B2 C2 = 0；(C2+ca+a2)x2-ca(c+a)x+C2 a2 = 0；
(a2+ab+b2)x2-ab(a+b)x+a2b2=0。
全国初中数学竞赛模拟考试(五)
ClassNo ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _姓名_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _得分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _一分，多项选择题(满分为30分，每项5分)
1.凸四边形ABCD的所有边都是素数，且ABCD，ab+BC = ad+CD = 20，ab > BC，则BC+ad = ((a) 6或14 (B)6 (C)14 (D)10
2.直角梯形的对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形。如果它的中线的长度是123，它的下底部的长度是()(甲)163(乙)183(丙)203(丁)223
3.在等腰三角形的斜边AB所在的直线上，点P满足S = AP2+BP2，然后()
2
(a)p有无限个位置，所以s (c)如果并且仅当p是AB的中点，并且如果p与顶点a、b中的一个重合，则对于线AB上的所有点p，s = 2cp2 (d)总是s = 2cp24。如果x+4
x+13 X+3，正整数xx的值是()
(甲)3(乙)4(丙)5(丁)6
5.如果等式3x+by+c = 0与CX-2y+12 = 0的图一致，并且n是满足上述条件的(b，c)的组数，则n等于(A)0 2
6.如图所示，如果pa = PB，中国人民银行
( )
(三)2
(d)数量有限但超过
(二)1
( )
1.如果自然数a，x，y满足a-26 = x-y，则a的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .2。如右图所示，ABCDEF已知为正六边形，m，n分别是边CD 和de的中点，线段AM和BN相交于p，然后
2
BPPN=____________。
2
Af3。自变量x的二次函数y = x-4ax+5a-3a的最小值m是a的函数，a满足不等式0 ≤ a2-4a-2 ≤ 10，则m的最大值等于_ _ _ _ _ _。
4.方程xy+3x+2y = 10的正整数解是_ _ _ _ _ _。
B P
C M
D
E N
5.a和b同时从环形轨道上的同一点a开始，向相反的方向运行。a 的速度是每秒5米，b的速度是每秒7米。当他们在a点第一次见面时，他们从头到尾见了n次面，其中n = _ _ _ _ _ _ _ _ _。在直角坐标系xOy中，x轴上的移动点M(x，0)到固定点P(5，5)，Q(2，1) 当MP+MQ取最小值时，点m的横坐标x = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
三、回答问题(题目满分60分，每题20分)
1.在锐角三角形中，A F AE
i
巴塞尔公约
D
2.有三个相似的三角形，较小的两个三角形可以放在大三角形内而不互相重叠。证明了两个小三角形周长之和不大于大三角形周长的2倍。
1 1 1
？X2-x-2 > 0，3。如果不平等群体。2的整数解只是
2x+(5+2k)x+5k全国初中数学竞赛模拟考试(6)
班级人数、姓名、分数、选择题(满分30分，每题5分)1。某学校三年级一班的学生计划星期天去上学。
他们计划在早上8: 30出发，尽可能去10000地图上最远的山。到达山顶后，他们将出发1.5小时。
对于9000小时的娱乐活动，你必须在下午3点前回到你的住处
如果平均行驶速度是3.2公里/小时，
返回M站的平均速度为4.5公里/小时，然后就可以登上M站。
这座山上最远的山峰是(a) a (b) b (c) c (d) d 2。方程2x2+7x+21 = 52x2+7x+15的实根之和是()(a)-11
(二)-7
(三)-11
2(D)-7
23.如果a > 0，则方程a-x2 = 2-| x |具有不相等的实根，并且a的值范围是()(a) a > 0 (b) 0 4.三角形的三条边的长度是一个连续的自然数，它的最大角度是最小角度的两倍，那么它的最大和最小边的比值是()(A)2
(二)5
3(C)3
2(D)7
55.工厂里的钟需要69分钟才能使分针与时针重合。如果工人的小时工资是4元，加班超过规定时间的小时工资是6元，工人按此钟完成规定的8小时工作，应付工资是()(甲)34.4元(乙)34.6元(丙)34.8元(丁)35元
6.如果A和B是正数，并且满足12345 = (111+A) (111-B)，则A和B 之间的大小接近
该部门是
(a) a > b (b) a = b (c) a 1.已知实数a、b、c满足a+b+c = 0，ABC > 0，
x =
bcc()
不确定性
A+b+c，y = | a | | b | | c | a (1+1)+b (1+1)+c (1+1)，则代数表达式x19-96xy+y3 = _ _ _ _ _ _ _。
Aab2..如图所示，在长度为9、宽度为8的矩形纸上切割出一个圆。如果在剩余的纸张上切出两个小圆O1和O2，则两个小圆的最大直径D = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
3.如果已知α和β是方程x2+x-1 = 0的两个实根，则α-3β = _ _ _ _ _ _。
4.如图所示，在四边形ABCD中，E是边界点的中点，AE和BD在f 相交。如果DF = BF，AF = 2EF，则S △ ACD: S △ ABC: S △ ABD = _ _ _ _ _ _ _。= _ _ _ _ _ _ _。
6.假设实数a、b满足a2+ab+B2 = 1且t = ab-a2-B2，则t的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _。
三、回答问题(题目满分60分，每题20分)
1.在四边形ABCD中，O是AB的中点，以O为中心的半圆(其直径小于AB)分别在E、F和G处与侧边AD、DC和CB相切。验证:AB2 = 4AD BC。
C D F E G
O A
2.假设直角三角形的两条直角边是A，B，斜边是C，A，B，C是自然数，A是质数。证明:2 (A+B+1)必须是一个完整的平方数。
3.19足球队举行单人循环赛。众所周知，每个队都至少和其他13个队打过比赛。经过验证，必须找到四个队，并且他们之间的任何两个队已经打过比赛。
A
D 4
O1O 02C
E
餐饮
5.如果已知抛物线y = x2+kx+4-k恰好在点a、b与点c处与x轴相交，则S△美国广播公司全国初中数学竞赛模拟测验(7)
ClassNo ._ _ _ _ _ _ _ _学生编号。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _姓名_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _得分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _一，选择题(满分为30分，每题5分)1。如果a-1 = 1-b = 3且a+b ≠ 0已知，则
abab3ba3 - is的值()
(一)215(二)2113(三)335(四)3313
2.在△ABC中，f点交流与1: 2，g点为高炉的中点，e点为高炉与高炉的交点，则e点与高炉的比值为()(甲)3(乙)2(丙)1(丁)1
8543eA3。如图所示，△ABC是一个锐角三角形，BE⊥AC，CF⊥F AB，那么S △ AEF: S △ ABC的值是()
2C (A)新浪(B)科萨(C)新浪2A (D)科萨(A)
4.≥O1和≥O2的半径分别为r和r，O1O2 = d。如果x的方程x2-2rx+R2-2rd+D2 = 0具有两个相等的实根，则两个圆()(a)相交，(b)
内接(c)外接(d)内接或外接(d) 5。p是△ABC内的一个点，连接PA、PB、PC，把三角形的面积分成三等份，那么p就是(△ABC () (a)内(b)外(c)垂线(c)
(1)如果购物不超过200元，就不会有折扣；
(2)如果购买超过200元但不超过500元，将根据价格给予10%的折扣。
(3)购物超过500元的，按第(2)款给予500元的折扣，购物超过500元的，给予20%的折扣。
当一个人去购物两次，他分别支付168元和423元。如果他只为同一件商品购物一次，应付金额为()522.8元(乙)510.4元(丙)560.4元(丁)472.8元(乙)并填写空格(满分为30分，每项扣5分)
1.众所周知，四个实数的乘积是1，任何一个数与另外三个数的乘积之和等于1000。那么这四个数字之和就是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
2.一所学校建了五间新教室后，每班学生的平均人数减少了6人。在多建了五间教室后，每个班的平均学生人数减少了4人。在这一变化过程中，学校的学生人数保持不变，学生人数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
3.如果xy = a，xz = b，yz = c，并且它们不等于0，则x2+y2+z2 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 4。已知二次函数y = 2x2-4mx+m2的图像与x轴有两个交点a。
如果△ABC的面积是4，顶点是c
2，则m = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
Ib5。如图所示，圆的三条边和正三角形在六个点相交。如果ag = 2，
美国空军司令部
Gf = 13，fc = 1，hi = 7，然后de = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
6.如果一个正整数分别与100和168相加，就可以得到两个完成数
平方数。这个正整数是_ _ _ _ _ _。
三、回答问题(题目满分60分，每题20分)
1.如图所示，已知AB和CD是相互垂直的弦，半径为5，垂直的脚是p，e是AB
C A E O P B
中点，PD = ab，OE = 3，试着找出CP+ce的值。
2.周长为6、面积为整数的直角三角形存在吗？请陈述你的理由。
3.证明:在任何11个整数中，6个整数的和必须能被6整除，但是任何10个整数可能没有这个性质。
全国初中数学竞赛模拟考试(八)
ClassNo ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _姓名_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _得分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _一，选择题(满分为30分，每题5分)1。如果x = 23+4695，25x4-1996x2+144 =()
(甲)0(乙)1(丙)469(丁)1996
2.有两条直线把一个正方形分成四个全等的图形()(A)1种(B)2种(C)3种(d)无限多种(3)。已知的
A3+B3+C3-3ABC = 3，则(a-b) 2+(b-c) 2+(a-b) (b-c)的值为
a+b+c()
(一)1(二)2(三)3(四)4
4.在凸五边形ABCDE中，如果∠A =∠B = 120ω，EA = AB = BC = 2，CD = DE = 4，五边形的面积是()(A)10
(二)7
3
(三)15
5.梯形ABCD的对角线相交于o，OA > oc，ob > od。取AO上的点e，使AE = oc，取BO上的点f，使BF = od，则δδAFC的面积S1等于A
△床的面积S2的关系是(a) S1 > S2 (b) S1 = S2 (c) S1 2
C 93 D
o、E、F、B
( )
不确定性
-b？b2-4acx=
2a6。①在实数范围内，一元二次方程AX+Bx+C = 0的根是；
(2)在△ABC中，如果ac2+bc2 > ab2，△ABC是一个锐角三角形；
(3)在△ABC和△A1b1c1中，a、b和c分别是△ABC的三条边，a1、B1和c1分别是△A1B1C1的三条边。如果a > a1，b > B1和c > C1，则△ABC的面积s大于△A1B1C1的面积S1。
在上述三个命题中，假命题的数量是()(一)0(二)1(三)2(四)3 2，并填空(题目满分为30分，每题5分)
1.在n (n ≥ 3)个边缘形状的内角中，最多有_ _ _ _ _ _ _个锐角。
2.在凸四边形ABCD中，BC = 8，CD = 1，ABCD的面积是1332，那么AB = _ _ _ _ _ _ _。
10？A+b+c =，222a+b = c？3.正数a，b，c满足吗？ab的最大值是_ _ _ _ _ _。
4.正三角形ABC内切圆O，M和N分别是AB和AC的中点，MN 相交圆O延伸到该点。
在点p处将BD连接到AC，然后PC = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
PAN 5..有两条道路OM、ON沿OM方向以30o、80m的角度相交。在美国有一所小学。当拖拉机朝开的方向行驶时，路的两边都是50度
众所周知，这种拖拉机的速度为18公里，噪音在0米以内。
/小时，则拖拉机在“开”方向行驶时会给小学带来_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _秒的噪音。6 .假设x，y是正整数，xy+x+y = 23，x2y+xy2 = 120，x2+y2 = _ _ _ _。回答问题(这个问题满分为60分，每个项目20分)
1.在梯形ABCD中，ABCD，ab = 125，CD = da = 80。对角线BD能把梯形分成两个相似的三角形吗？如果没有，给出证据；如果是，请找出边界和边界的长度。d80c
80
B 125 A
2.已知x上的方程x2+px+q = 0具有两个不相等的实根。证明了当k≠0时，方程x2+px+q+k (2x+p) = 0也有两个不相等的实根，并且一个根在x2+px+q = 0的两个根之间。
3.在坐标平面上，垂直和水平坐标为整数的点称为积分点，顶点为积分点的多边形称为积分点多边形。验证:一个四边形必须在一个有积分点的凸五边形上找到，以覆盖至少5个积分点。
全国初中数学竞赛模拟考试(九)
班级编号，学生编号，姓名，分数，选择题(满分30分，每题5分)1.19961996十位数上的数字是()(a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 92。如果凸n边F(n≥4)的所有对角线都相等，那么()(A)F是四边形(B)F是五边形(C)F 是四边形或五边形(D)F是具有相等边或相等内角的多边形
3.如果已知A，B和C是不完全相等的实数，那么方程X2+(A+B+C) X+(A2)约为X
+B2+C2) = 0 () (a)有两个负根(b)有两个正根(c)有两个相同符号的实根(d)没有实根4。使得正n边形状的每个内角是整数度的n的数目是()(A)16 (B)18 (C)20 (D)22
5.在{1，2，？，100}在这100个整数中，取任意数量的k，这样在这个数量的k中，两个数的和等于另外两个不同数的和。那么，满足条件的k的最小值是()(A)21 (B)24 (C)27 (D)30
A6。如图所示，在△ABC中，D是边AC上的一个点。以下四种
在这种情况下，△ABD∽△ACB不一定是真的()
ABD =拉丁美洲和加勒比海地区
B
如果360 = 3，360 = 5，则723 (1-y) = _ _ _ _ _ _ _ _ .如图所示，□ABCD，A1B 1∑A2B 2∑A3B 3∑A4B 4∑BC，C1D1
∑C2D 2∑AB将□ABCD分成15个小平行四边形。如果四边形C2A4D1B1的面积是S1，并且s □ mnpq = s0，则s□ABCD = _ _ _ _ _ .3。如果x = 1-
2xy1-2x-yC
D B1 B2 B3 B4 C1 C2男Q P D1 D2 B A1 A2 A3 A4
14x，1-2x+22x2-23x3+24x4-？- 21995x1995的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _。
4.在Rt△ABC中，? b = 90o，ab = 4，BC = 2，d是Rt△ABC中的任何一点，d分别是三角形三条边的平行线EF、MN、PT，如果s是△DEP、△DMF和△DNT的面积之和，则s的最小值为_ _ _ _ _ _。
5.如图所示，b是直径Ac≧O上的一个点，半径为3，BC = 2，其中AB和BC分别为直径≧O1、8802、88p与8801、8802、88O相切，则半径r8802的长度为_ _ _ _ _ _。已知半径为1和2的两个圆在点p 处外切，然后在点PA处外切
O1 O B O2 C P和两个圆的切线之间的距离是_ _ _ _ _ _ _ _。3.回答问题(该问题满分为60分，每题20分)。1.如图所示，o是△a>b>c内的任何一点，直线A0、B0、co在p、q、r处与三条边相交。如果a>b>c，验证:op+Oq+或中华民国
2.假设方程X2+AX+1 = B的两个根是自然数，证明A2+B2是一个复合数。
3.在一个8×8的棋盘中，定义“棋子”的规则如下:在棋子走之前:在棋子走之后1A 2B 31:23A意味着棋子A是1号，在经过棋子B之后，跳到3号，吃掉棋子B。所有的棋子只有一条路可走，但是可以向上、向左和向右跳。根据以下要求设计初始状态:
(1)下棋前，前4行没有棋子；
(2)经过一系列的移动后，第一行只剩下一个棋子；(3)初始状态使用最少的件数。
请画一张初始状态下所用棋子的地图，并给出运动的简要描述。
全国初中数学竞赛模拟考试(10)
ClassNo ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _姓名_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _得分_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _一分，多项选择题(满分为30分，每项5分)
1.在△AB-AC中，光盘( )
(一)两者之间的关系是(一)△ (二)科萨(三)塔纳(四)科塔
( )
2.如果x0是方程ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0)的根，则δ= B2-4ac，q = (2ax0+b) 2
△= 2000年第一季度
2
△>Q (C)2
2000
不确定性
( )
(4)
2000
3.如果x-y = 2，x2+y2 = 4，则x2000+y2000的值为
4.如果⊙0在△ABC的三条边上，切点是x，y，z，那么△XYZ满足(a)每个角等于60o (C)中其他两个角之和的一半，类似于△ABC
一个角是钝角
( )
每个角度等于△ ABC 5。写下从19到96的两个数字，形成一个自然数N，N = 19202122？949596.如果n的素因子分解中3的最高幂是3k，那么k = (a) 0
(二)1
(三)2
(四)3
( )
6.众所周知，在△ABC中，3
(乙)-3(丙)0.3(丁)3-2
2.填空(本主题30题，每题5题)1。
1995年？1997年？1999年？2001+16=__________。
2.正△ABC的边长是1，p是AB，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB(Q，r，
s是垂直英尺)，如果sp = 1，则AP = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
43.如图所示，在四边形ABCD中，AB = BC = 1，13D
C
A2-1+32，然后
3-2T等于
B __________。
5.在△ABC中，AB = BC，√ ABC = 20o，在AB的边上取一个点m，使BM = AC，然后√。
资产管理公司的学位等于_ _ _ _ _ _。
6.假设点p在直角坐标系中的坐标是(0，1)，o是坐标的原点，1.已知的正整数P，Q是素数，7P+Q和PQ+11是素数，计算(P2+QP) (Q2 +PQ)。
2.如图所示，让H为等腰△ABC的垂直中心，让点A到底部BC的距离变小，而底部BC保持不变。产品的价值如何变化(变大？更小？没有变化？)，试着解释原因
H
不列颠哥伦比亚
3.用红色和蓝色中的一种给飞机上的每一个点上色。证明有一个直角三角形，斜边长度为2000，锐角为30o，有三个相同颜色的顶点。
高中数学竞赛模拟试题一汇总
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第26讲 含参数的一元二次方程的整数根问题
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法． 例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0 有两个不相等的正整数根． 解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得 由于x1，x2是正整数，所以 m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12， 解得m=2．这时x1=6，x2=4． 解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知 所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即 m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73， 只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5． 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根． 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是
这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法． 例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值． 分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来． 解因为a≠0，所以 所以 所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5． 例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程 mx2-(m-1)x＋1＝0 有有理根，求m的值． 解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令 Δ=(m-1)2-4m＝n2， 其中n是非负整数，于是 m2-6m+1=n2，
2012年全国高中数学联赛模拟试题二
2012年全国高中数学联赛模拟试题二 一、选择题：每题6分，满分36分 1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知 n m x = 50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 2、若2 6cos cos ,22sin sin = +=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A 2 2 B 2 3 C 2 6 D 1 3、P 为椭圆 19 162 2 =+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆92 2 =+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分 别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（ ） A 2 9 B 32 9 C 4 27 D 34 27 4．函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5．已知,x y 均为正实数，则22x y x y x y + ++的最大值为（ ） . (A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 43 6．直线y=5与1y =-在区间40, πω????? ? 上截曲线 sin (0, 0)2y m x n m n ω =+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n= 2 2 m ≤ （B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=2 2 m > （D ）3,2m n >= 二、填空题：每小题9分，满分54分 7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有 23 ) ()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f . 8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对 称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为 1 +n n 的点为n A ，横坐标为 n n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为 （1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x . 10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x . 11．设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点，则2 2 O A O B AB +- 的最小值为 ___________________． 12．已知A B C ?中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . A A 1 1 1 图1 2019全国高中数学联赛模拟试题（二） 第一试 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、已知集合()??????+=--=123,a x y y x A ，()()(){} 1511,2=-+-=y a x a y x B ．若?=B A ，则a 的所有取值是 （A ）－1，1 （B ）－1，21 （C ）±1，2 （D ）±1，－4， 25 2、如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 、N 在AB 1、BC 1上，且AM ＝BN ．那么， ①AA 1⊥MN ； ②A 1C 1∥MN ； ③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1； ④MN 与A 1C 1异面． 以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3、用S n 与a n 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则n n n S a ∞→lim 的值为 （A ） 43 （B ）45 （C ）47 （D ）4 9 4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有 （A ）216个 （B ）252个 （C ）324个 （D ）432个 5、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负 实数．则c b a a b ++-的最大值是 （A ）31 （B ）21 （C ）3 （D ）2 6、双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定 （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）以上情况均有可能 初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8 ∴x＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积） ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除，那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除，那么x＝__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时，5 9610能被7整除 5、当n=__________时，n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3 整除的数共有几个？为什么？ No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ，且 1 1 c n 恒成立，则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ， 2 2 c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是． 9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值． 1 1 L 1 10、求s 1 ，则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯） 12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ． b c c a a b 2 （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题） 乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a ， y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b ， a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 （ a b b a )2 2(a b b a) 4b ， a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1，在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）. B 由图象，显然有 k BC k AB ，即 a b b b b a ， A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ，亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t ， f (t ) 单 a t t 调递减，而 b b a ， f (b) f (b a) ，即 a b b b b a ， x y . 2、解法 1 原式 a c a c n ． n a c a c ．而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ，且当 b c a b ，即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号． a c a c 4 ． n 4．故选 C ． a b b c min 2018年全国初中数学联合竞赛 笫一试 一、选择题(42分) 1.已知a=2-1,b=22-6,c=6-2,那么a 、b 、c 的大小关系是( ) (A)a 高二数学竞赛模拟试题 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =， N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） (A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．16 2．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ） (A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6 (π 平移后，它的一条对称轴是4 π = x ，则θ的一个 可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6 π (D)12π 4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有 ()200823f x f x x ?? ? ?? +=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 5.已知,αβ分别满足100411004,10g βαα β=?=?，则αβ?等于( ) ﹙A ﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚ ﹙D ﹚2008. 6.直线20ax y a -+=与圆22 9x y +=的位置关系是（ ） （A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定 7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） (A)．100 (B). 101 (C).200 (D).201 8．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ） 全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集 第二十一讲分类与讨论 分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始． 有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？ 因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论． 任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个． 上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论． 分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论． 例1求方程 x2-│2x-1│-4=0 的实根． x2+2x-1-4=0， x 2-2x ＋1-4=0， x 1＝3，x 2=-1． 说明 在去绝对值时，常常要分类讨论． 例2 解方程x 2-[x]=2，其中[x]是不超过x 的最大整数． 解 由[x]的定义，可得 x ≥[x]=x 2-2， 所以 x 2-x -2≤0， 解此不等式得 -1≤x ≤2． 现把x 的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解． (1)当-1≤x ≤0时，原方程为 x 2-(-1)=2， 所以x=-1(因x=1不满足-1≤x ＜0)． (2)当0≤x ＜1时，原方程为 x 2=2． (3)当1≤x ＜2时，原方程为 x 2-1=2， 所以 (4)当x=2时，满足原方程． 2019-2020年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题6分，共30分） 1．方程1) 1(3 2=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ， 使四边形DECB 的面积为 43，则EA CE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5 1 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 8．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且 198=+q p ，则p ＝ ． 9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． A B F C E D · D C O B A 全国初中数学竞赛辅导（初三分册）全套 第一讲分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 例1 解方程 解令y=x2＋2x-8，那么原方程为 去分母得 y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0， y2-4xy-45x2=0， (y+5x)(y-9x)=0， 所以 y=9x或y=-5x． 由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1． 经检验，它们都是原方程的根． 例2 解方程 y2-18y+72=0， 所以 y1=6或y2=12． x2-2x＋6=0．此方程无实数根． x2-8x+12=0， 所以 x1=2或x2=6． 经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根． 例3 解方程 分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为 整理得 去分母、整理得 x＋9=0，x=-9． 经检验知，x=-9是原方程的根． 例4 解方程 分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为 即 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)． 例5 解方程 分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为 全国初中数学竞赛初赛模拟试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30） 一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 1. 方程 020091 1=-x 的根是 A. 20091 - B. 20091 C. -2009 D. 2009 2. 如果0<+b a ，且0>b ，那么2a 与2b 的关系是 A ．2a ≥2b B ．2a ＞2b C ．2a ≤2b D ．2a ＜2b 3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是 A ．k B ．h C ．e D ．d 4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65° 图2 （第3题图） （第4题图） 5. 已知a 2=3，b 2=6，c 2=12，则下列关系正确的是 A ．c b a +=2 B ．c a b +=2 C ．b a c +=2 D. b a c +=2 6. 若实数n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是 A ．1 B ．21 C ．0 D. -1 7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是 A ．∠A ＞ 60° B ．∠C ＜60° C ．∠B ＞45° D ．∠B ＋∠C ＜90° 8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是 A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P 到圆心0的距离为9，则通过P 点且长度是整数值的弦的条数是 A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 10. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象 如图所示，记b a p +=2，a b q -=，则下列 结论正确的是 A ．p ＞q ＞0 B ．q ＞p ＞0 C ．p ＞0＞q D ．q ＞0＞p 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11. 已知 |x |=3，2y =2，且y x +＜0，则y x = . 12. 如果实数b a ,互为倒数，那么=+++221111 b a . 13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个， 绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为52 ，那么，随机从中摸出一个黄球的概 率为 . 14. 如图，在直线3+-=x y 上取一点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ， 若矩形OAPB 的面积为4，则这样的点P 的坐标是 . 15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE= ∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有 条. （第10题图） D F B A E C C 全国初中数学竞赛辅导（初三）讲座（3） 例1：解方程084223=+--x x x 。 例2：解方程()()()()197412=+++-x x x x 。 例3：解方程()()()6143762=+++x x x 。 例4：解方程01256895612234=+-+-x x x x 。 例5：解方程52222=??? ??++x x x 。 例6：解方程()()821344=-++y x 。 例7：解方程()()02652112102234=++++---a a x a x a x x ，其中a 是常数，且6-≥a 。 解答：（1）221==x x ，23-=x （2）28552,1±-=x 2554,3±-=x （3）32 1-=x 35 2-=x （4）23 ,32 ,21 ,24321====x x x x （5）2,121=-=x x （6）4,021-==x x （7）622,1+± =a x ，934,3+±=a x 。 练习： 1、填空： （1）方程()()()()24321=++++x x x x 的根为__________。 （2）方程0233=+-x x 的根为__________。 （3）方程025********=+--+x x x x 的根为__________。 （4）方程()()()2 222222367243+-=+-+-+x x x x x x 的根为__________。 （5）方程()()()29 134782=+++x x x 的根为__________。 2、解方程()()()()431121314x x x x x =++++。 3、解方程403322 =??? ??-+x x x 。 全国初中数学竞赛试题及参考答案 一．选择题（5×7'=35'） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 52恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 116.-≤≤-t D 【分析】20232 35352<<-????????<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ． 注意到15=x 时，只有4个整数解．所以 2116152314-≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）； 再考虑等根： ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84= →=--=?a a ，当21,272,1==x a . 故27, 8,4=a ，2 1,1,1-=x 共3个.本题选C ． 2018年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题5分，共30分） 1．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且 3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EA CE 的值为（ ） （A ） 21 （B ）31 （C ）4 1 （D ）51 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 6．从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q(p ≠q)，构成函数y=px-2和y=x+q ，若两个函数图象的交点在直线x=2的左侧，则这样的有序数组(p ，q)共有( ) (A)12组 (B)10组 (C)6组 (D)15组 二、填空题（每小题5分，共30分） 7．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 8．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜ 2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 9．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且198=+q p ，则p ＝ ． 10．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． · D C O B A 第十一讲勾股定理与应用 在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理． 勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即 a2+b2=c2． 勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系： a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形． 早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法． 关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法． 证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和． 过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为 AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG， 所以△ACE≌△AGB(SAS)．而 所以 S AEML=b2．① 同理可证 S BLMD=a2．② ①+②得 S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2， 即 c2=a2+b2． 证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知 △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC， 所以 AG=GH=HB=AB=c， ∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°， 因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即 化简得 a2+b2=c2． 全国高中数学联合竞赛试题（校模拟） 第 一 试 时间：10月16日 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有，则b 的取值范围是（ ） A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为（ ） A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。 第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.（1）19×11=12×?è??19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×?è?? 12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分 （3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分 （2）∠APC =∠α+∠β. 理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ， 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE ， ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 （3）当点P 在BD 延长线上时， ∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时， ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 （2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意，得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分2019全国高中数学联赛模拟试题(二
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